Методические указания и задания к выполнению расчетной работы по теме «Растяжение и сжатие стержней»
жүктеу/скачать 1,22 Mb.
|
1 2
Байланысты:СРС 3 Созылу-Сығылу деформациясы
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.2 Методические указания к выполнению задачи №1
- 1.3 Пример решения задачи №1
| 1 Задача № 1. Проверочный расчет на прочность и жесткость при растяжении-сжатии
1.1 Условие задачи Стальной ступенчатый стержень находится под действием продольных сил F1, F2, F3 (рис. 1): модуль упругости Е=2·105 МПа; допускаемое напряжение на растяжение и на и сжатие одинаково и равно [σ] = 235 МПа; предельно допустимая величина продольного перемещения сечения [u] = 2 мм. Требуется: – построить эпюры продольных сил (эпюра N), нормальных напряжений (эпюра σ) и продольных перемещений сечений стрежня (эпюра w); – проверить стержень на прочность и жесткость. Данные к задаче № 1 взять из табл.1, схему выбрать по рис.1. Таблица 1
1.2 Методические указания к выполнению задачи №1 В задаче № 1 требуется построить эпюры продольных сил (эпюра N), нормальных напряжений (эпюра σ) и продольных перемещений поперечных сечений (эпюра w). Эпюра – это график изменения какого-либо фактора по длине стержня, в котором абсцисса соответствует местоположению сечения на оси, а ордината показывает значение исследуемого фактора в данном сечении. Для построения эпюры продольных сил стержень разбивается на участки, границами которых являются точки приложения внешних сосредоточенных сил (F1, F2, F3) и жестко защемляющая опора (реакция R). Затем, в пределах каждого участка проводится произвольное поперечное сечение, в котором определяется продольная сила. Величина продольной силы в произвольном сечении равна алгебраической сумме проекций на продольную ось стержня всех сил, расположенных с одной стороны от сечения. При этом, если внешняя нагрузка направлена от сечения, то в выражение продольной силы она входит со знаком «плюс». Если внешняя нагрузка направлена к сечению, то в выражение продольной силы она входит со знаком «минус». Отмеченное выше следует использовать для проверки выражений N, по которым и строится эпюра продольных сил. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях возникают равномерно распределенные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения: (1) где А – площадь поперечного сечения. Нормальные напряжения при растяжении принимаются положительными (N>0), а при сжатии – отрицательными (N<0). Согласно (1) нормальное напряжение зависит от величины продольной силы, а также от размеров поперечного сечения. Поэтому для рассматриваемого в данной задаче ступенчатого стержня нормальные напряжения будут разными на участках, где или N или А различны. Вследствие этого при построении эпюры нормальных напряжений границами участков являются не только точки приложения внешних сосредоточенных сил, включая опорнуюю реакцию, но и места изменения размеров поперечных сечений. Тогда в пределах каждого участка во всех сечениях величины N и А, а, следовательно, и σ будут постоянными. По построенной эпюре σ определяется максимальное по модулю нормальное напряжение – σmax. Условие прочности при растяжении-сжатии по методу доускаемых напряжений записывается в следующем виде: (2) где [σ] – допускаемое напряжение материала растяжению-сжатию. При растяжении-сжатии согласно гипотезе плоских сечений поперечные сечения после деформации стержня занимают новые положения, параллельные своему первоначальному. Продольное перемещение исследуемого сечения зависит от того, относительно какого сечения вычисляется перемещение, поскольку величина перемещения представляет собой изменение расстояния между двумя сечениями. Если один из концов стержня жестко защемлен, то перемещения определяются относительно защемленного сечения, т.к. его перемещение равно нулю. Если жестко защемления (заделки) нет, то условно перемещение какого-либо сечения принимают равным нулю и перемещения других сечений определяют относительно этого сечения. Перемещение произвольного сечения равно абсолютной деформации участка стержня, заключенного между неподвижным сечением и рассматриваемым сечением. Если в пределах этого участка величины N, E и А постоянны, то на основании закона Гука (3) где ∆l – абсолютное удлинение (укорочение) данного участка; N – продольная сила; l – длина участка; Е – модуль упругости материала. Произведение Е·А называется жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении-сжатии, которая характеризует сопротивляемость стержня упругому деформированию в зависимости от свойств материала (Е) и размеров поперечного сечения (А). В формулу (3) значение продольной силы подставляется со своим знаком, поэтому при растяжении l> 0, а при сжатии l < 0. Если рассматриваемый участок стержня состоит из n участков, в пределах каждого из которых величины N, E и А постоянны, то (4) где i – номер участка. Отметим, что при построении эпюры перемещений количество участков устанавливается точно так же, как и при построении эпюры σ . Условие жесткости по методу допускаемых перемещений имеет вид (5) где – максимальное по модулю значение продольного перемещения, которое определяется по построенной эпюре w; – предельно допустимое значение перемещения, которое устанавливается нормами и техническими требованиями. Для проверки правильности построенных эпюр используются их характерные свойства. В частности, эпюры N и σ имеют скачки в сечениях, где приложены сосредоточенные силы. Кроме того, для ступенчатого стержня эпюра σ имеет скачки в местах изменения размеров поперечных сечений. В эпюре перемещений на границах каждого участка получаются изломы. На участках, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюры N и σ постоянны, а эпюрf w изменяется по линейному закону. 1.3 Пример решения задачи №1 Пример 1. Исходные данные для расчета стержня. Стальной ступенчатый стержень находится под действием продольных сил F1=360 кН; F2=1440 кН; F3=1800 кН (рис. 3,а). Задано; L1=L2=L3=2 м; A= 26 см2; A1=A, A2=2A, A3=3A [σ] = 235 МПа – допускаемое напряжение материала; Е = 2·105 МПа – модуль упругости материала; [w] = 2 мм – допустимая величина продольного перемещения сечений стержня. Решение. 1) Построение эпюры продольных сил. Для построения эпюры N проводим в пределах каждого из пяти участков произвольное поперечное сечение (рис. 3,б-к) и из рассмотрения нижних отсеченных частей стержня находим: Примечание: Рассечение стержня можно выполнять мысленно, без отрисовки отсеченных частей стержня. По полученным результатам строим эпюру продольных сил (рис. 4,б). 2) Построение эпюры нормальных напряжений и проверка условия прочности. Для кадого из участков определяем: По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений σ, как показано на рис. 4,в. Проверяем условие прочности (2): откуда следует, что условие прочности выполняется. 3) Определение абсолютных продольных деформаций участков стержня. Определим абсолютные продольные деформации каждого из пяти участков (l1=L1, l2=L2/2, l3=L2/2, l4=L3/2, l5=L3/2) по формуле (3): 4) Построение эпюры продольных перемещений и проверка условия жесткости. Определяем продольные перемещения сечений, расположенных на границах участков BD, DE, EK, KL и LC (рис. 4,а). wС=0 – сечение жестко защемлено; wL=∆l5= 0,461 мм – сечение перемещается вниз; wK= ∆l5+ ∆l4=0,461- 0,692= -0,231 мм – сечение перемещается вверх; wE = ∆l5 + ∆l4 + ∆l3 = wK +∆ l3 = -0,231 - 1,038 =- 1,269 мм − сечение перемещается вверх; wD = ∆l5 + ∆l4 + ∆l3 + ∆l2 = wE + ∆l2 = -1,269 + 0,346= -0,923 мм – сечение перемещается вверх; wB = ∆l5 + ∆l4 + ∆l3 + ∆l2 + ∆l1= wD + ∆l1 =-0,923 + 1,385 = 0,462 мм – сечение перемещается вниз. Отметим, что перемещение концевого сечения стержня (сечение В) равно абсолютной деформации всего стержня Следовательно, первоначальная длина стрежня (l = 6 м) увеличилась после деформации на 0,462 мм. По полученным значениям перемещений строим эпюру w (рис. 4,г). Проверяем стержень на жесткость: Следовательно, условие жесткости (5) выполняется. жүктеу/скачать 1,22 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2