Методикалық нұсқау

3 қайталамалы терулер.

Өткен параграфтарда қайталамайтын теруді өзгешелігі кемінде бір элементінде болатын орналастыру деп анықтадық. Мұнда элементтерінің орналасу реті ескерілетін.

Мысалы 1,2,3 цифрлардан екіден жасалған теру болатын. Олар 1 2, 1 3, 2 3. Мұндағы 1,2,3 элементтері жеке комбинацияда қайталанбайтын. Сондықтан мұндай комбинацияны қайталамайтын теру дейтінбіз.

Енді айтайық,магазинде /формасы бірдей завод 1,2,3 цифрлармен нөмірленген конфета сатылады дейік. 5 конфетаны неше тәсілмен сатып алуға болады? Осыны шешу керек

Бұл есептің өткенде қарасырылған есептерден айырмасы төмендегіше:

Біріншіден, конфеталар қандай ретпен орналасуына ешқандай шарт қойылып отырғаны жоқ. Сондықтан, бұл есеп қайталамалы орналастыруллар есебіне келмейді, өйткені онда элементтердің орналасу реті есепке алынатын. Ал теру есебіне жуық келеді деуімізге болар еді. Олай дейік десек, мұнда комбинацияға енетін элементтер қайталанып еніп отыруы мүмкін. Мысалы, сатып алынған бес конфетада бірінші номерлі болуы мүмкін, немесе 4- уі І ші номерлі, біреуі үшінші номерлі т.т. яғни жеке номерлі конфеталар іріктемеге қайталанып еніп отыр. Мұндай комбинацияның қайталамалы теру деп атаймыз.

Мұның формуласын қорыту үшін мынадай бір мысал қарастырайық

9-мысал. Жәшікке орналасатын шар санына да және шарлардың орналасу ретіндеде ек қойма са, онда n жәшікке к шарды неше тәсілмен орналастыруға болады?

Шешуі. Мұны көрсету үшін бір науны үстіңгі жағы ашық n бірдей жәшікке бөлейік. Бұл жәшіктер ортақ фонера мен ажыратылып тұрсын, ал шеткі жәшіктердің 1-1 жағы қозғалмайтын етіп бекітілген болсын. Сонымен, бұл n жәшік n+1 фонера мен ажыратылып тур да, ортадағы n-1 фонерасы жылжымалы, яғни бір бірімен орындарын ауыстыруға болады. Бұларды бірден n-1 ге дейінгі сандар мен номерлейтін. Осы n жәшікке орналасқан шарларды бірден к ге дейінгі сандармен номерлейтін. Сонда номерленген фонерамен шар саны n+k-1 болады. Бұл жағдайда әрбір номерленген санды өзгеше деп қарастырсақ, онда бұл есеп элементтері қайталанбайтын теру формуласына келеді, яғни n+k-1 деп к бойынша алынған теру санына анқтауға тіреледі бұл болады, яғни

Бұл қайталама теру формуласы болады. Енді осы 6,7 параграфтарда келтірілген комбинаторика формулаларын физикалық есептерге қолданып, кейбір теориялармен байланысын көрсетейік.

§8 частицалардың ұяларда орналасуы және статистикалық физика туралы.

Бір элементар оқиғалар кеңістігінде әр түрлі ықтималдықтарды қарастыруға болады. Бұлай қарастыру ол элементарлық оқиғаларға қойылатын шартқа байланысты.

Бұған дәлелді статистикалық физикадан келтірейік, өйткені тең мүмкіндікті оқиғалардың толық группасының қалай жасалуына байланысты Больцман Максвелл, Линден Белла, Ферми Цирака, Бозе Энштеин физикалық статистикасының бірі болады. Бұл физиктер өздерінің теориялық тұжырымдауын частицалардың пайда болу ықтималдықтарын есептеу арқылы дәлелдеген. Бірақ бұларда элементар оқиғалар кеңістігі бірдей болғанымен әрқасысының есептеген ықтималдығы әр түрлі болып шыққан. Бұл айтылғандарды частицалардың ұяларға орналасуын мысалмен түсіндірейік. Бұл мысал қандай оқи,аларды тең мүмкіндікті болады деп қарасырудың маңыздылығын көреседі.

1-мысал. K частица n ұяда (n>k) кездейсоқ орналасатын болсын. Әрбір частицаның ұяда орналасу ықтималдығы бірдей және ол 1\n ге тең.

Сонда а/ белгілі k ұяда бір бір частицадан орналасу, б/ қандай да k ұяда бір бір частицадан болу ықтималдығын анықта :

Шешуі: аталған әрбір статистика үшін ықтимал мәнін анықтаймыз.

І. Больцман Максвелл статистикасында /бұған газдардың үластірімділігі бағынады/ частицалар бір бірімен приципиал айырымды/ различимы/ болады, яғни әртүрлі екі ұядағы частицаларды ауыстырса жаңа үлестірімділік шығады. Бірақ бір ұяда тұрған екі частицаны ауыстырғаннан жаңа үлестірімділік шықпайды.

мұнда бір ұядағы частицаларс санына шек қойылмайды, яғни ұя бар десек, бір ұяда болатын частицалар саны о болуы да 1 болуы да,..., k мүмкін. Бірақ әрбір ұяға түсетін частица ықтималдықтарын бірдей деп ұғады.

Бұл Больцман Максвелл статистикасында барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар саны ға тең, өйткені әрбір частица әрбір n ұяда қалауынша орналасуы мүмкін.

а/ n ұяның белгіленген k ұясында частицаларды бір бірден орналастыру саны k! ге тең. Өйткені частицалар бір бірінен прнципиал различимы.

Демек, ықтималдық

б/ n ұяның қандайда /белгіленілмеген / к ұясында частицаларды бір бірден орналастыру n нен к бойынша алынған теруге тең. Өйткені частицалар бір бірінен принципиалды различимы.

2.Линдер-Белла статистикасында /бұған жұлдыздар системасындағы фазалық кеңістіктегі элементарлық көлемдер бағынады/ частицалар бір‑бірінен принципиально ажыратылады /различимы/, бірақ әрбір ұяда бірден артық частица болмайды, яғни әрбір ячейкада не 0, не 1частица болуы мүмкін.

Олай болса тең мүмкіндікті оқиғалар саны –ға тең.

а/n ұяның белгіленген k ұясында частицаларды бір‑бірден k! тәсілмен орналастыруға болады. Өйткені частицалар принципиаль различимы.

Бұл оқиғаның пайда болуына қолайлы элементар оқиғалар саны болғандықтан, ықтималдық

б/ n ұяның қалған /белгіленілмеген/ k ұясында частицалардың бір‑бірден орналасу саны өйткені частицалар бір‑бірінен принципиал различимы.

Бұл оқиғаның барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар санына тең, сондықтан

*

3.Ферми‑Дирака статистикасында /бұған, мысалы, электронды газ бағынады/, частицалар принципиаль ажыратылмайды/ не различимы/ әрбір ұяда бірден артық частица болмайды. Сондықтан барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар саны ‑ге тең.