Методикалық нұсқау

Оқиғалар өрісіне мүмкін емес оқиға ϑ ақиқат оқиға U жатады. Өйткені (2),(3) бойынша А+Ā=U, А*Ā=ϑ. Оқиғалар алгебрасында қандай да оқиғаларға бірігу, қилысу және толықтыру операцияларын қолданғанда шыққан оқиғалар сол оқиғалар өрісінен сыртқа шықпайды, яғни оқиғалар алгебрасы қарастырып отырған оқиғаларға қарағанда жабық система құрайды. Осы айтылғандарды мысалдармен түсіндірейік.

1-мысал. Кездейсоқ А оқғасынан туған оқиғалар алгебрасына

ϑ,A,Ā,U (6)

жатады.

Шынында, бірігуден шыққан оқиға осы алгебрада жатыр, өйткені А+А=А. Сондай-ақ, қиылысудан шыққан оқиға (6) да жатыр, өйткені А*А=А, толықтырудан шыққан оқиға (6)-да жатыр. Өйткені U-A=U. Мүмкін емес оқиға ϑ, ақиқат оқиға U (6)-да жатуы оқиғалар алгебрасы анықтамасынан мәлім. Сонымен осы 4 оқиғаларға аталған операциялардың қай-қайсын қолдансақ та, одан шыққан оқиғалар осы оқиғалар алгебрасы (6)-да жатады.

2.ϑ*A=ϑ, A*Ā=ϑ, A*U=A т.т

3. ῡ=U, Ā=A, Ū=ϑ т.т

2-мысал. Кездейсоқ А және В оқиғаларынан туған оқиғалар алгебрасын құру керек болсын.

Шешуі.1. Мүмкін емес оқиға ϑ ақиқат оқиға U оқиғалар алгебрасында жатады.

2.А және В-ға толықтаушы оқиғалар сәйкес Ā және Ḃ

3. Бірігу амалын орындағанынан мынадай оқиғалар шығады:

А+В, А+Ḃ, Ā+Ḃ, Ā+Ḃ.

4. Қилысу операциясын орындағаннан мынадай оқиғалар шығарады:

АВ,АḂ, ĀВ, ĀḂ.

5. Бірігу және қилысу операциясын орындағаннан мынадай оқиғалар шығады:

АВ+ĀḂ, АḂ+ĀВ.

1-5 пукттегі оқиғалар жинағы оқиғалардың алгебрасын құрайды. Бұлардың саны 16 олар:

ϑ,А,В,Ā,Ḃ,А+В, А+Ḃ,Ā+В,Ā+Ḃ, А*В,А*Ḃ,Ā*В,Ā*Ḃ, АВ+ĀḂ,А Ḃ+ĀВ,U. (7)

Осы оқиғаларға аталған операцияларды қолданудан туған әр қандай оқиға осы оқиғалардың әйтеуір біреуі болады.

Мысалы, АḂ-ға қарама-қарсы оқиға Ā+В болады, яғни

(A+B)()=AB т.т

Бұдан аталған операцияларды қайталап орындалғаннан өрісте көрсетілген оқиғалардан өзге оқиғалар тумайтынын көрдік. Олай болса бұл алгебра А және В оқиғаларына қарағанда тұйық система болады.

Сонымен, қорта келгенде ықтималдықтар теориясының әрбір мәселесінде сынау және оқиғалардың белгілі системасы Ƒ пен жұмысымыз болады, яғни қандайда сынау жүргізілгенде осы Ƒ системадағы әйтеуір бір оқиға пайда болады, оның үшін бұл Ƒ системасы туралы мынадай талаптар қойылады дейміз.

1. 
   Егер Ƒ системасына А және В оқиғалары жатса, онда бұларға бірігу, Қилысу және толықтыру операцияларының шыққан оқиғалар да жатады.
   

Осы талаптарды қанағаттандыратын оқиғалардың Ƒ системасын оқиғалар алгебрасы немесе оқиғалар өрісі деп атаймыз. Бұл система элементін ,(7)-дегі оқиғаларды, кездейсоқ оқиға деп қарастыруға болатын 18-параграфтан қара.

Мұндағы құрастырып отырған оқиғалар саны да жәнек операциялар саны да шекті. Ал операциялар саны санаулы шексіз болған жағдайын 18-параграфтан қара.

4-мысал. Кластан шақырылған кез келген бір оқушының белгілі бір пәннен алған жақсы болуы А оқиғасы, орташа болуы В оқиғасы , нашар болуы С оқиғасы болсын.

А+В, , АВ, АС, АС+В,

оқиғаларын сипаттап беру керек.

Шешуі. А+В оқиғасы А не В оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болатынын көрсетеді. Сондықтан А+В оқиғасы деп оқушының жақсы немесе орташа оқитынын түсінеміз. А+В оқиғасы А+В оқиғасына кері оқиға , Ол- баланың нашар оқитынын көрсететін С оқиғасы, яғни . А+В=С. Осы сияқты А+С=В болады. АВ оқиғасы- мүмкін емес оқиға, өйткені оқушының алған бағасы бірден жақсы да, қанағаттандыралық та болуы мүмкін емес. Осы сияқты АС да мүмкін емес оқиға. Ал АС+В=В болатынын байқау оңай.

А оқиғасы кері оқиға Ā оқушының орташа В не нашар С оқуын сипаттайды, демек, Ā=В+С. Ал Ā =В+С және В+С=А болатынынан Ā=А болатыны түсінікті. Осы сияқты В=В болатынын сипаттап беру қиын емес.

§2. ЭЛЕМЕНТАРЛЫҚ ОҚИҒАЛАР. ОҚИҒАЛАР КЕҢІСТІГІ.

Тәжірибеге қойылатын негізгі шарт оның мүмкін болатын нәтижесін көрсете білуімізде екендігін көрдік. Ал тәжірибе жүргізгенде мүмкін нәтиженің бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болса, ондай нәтижені бұдан былай элементарлық оқиға дейміз. Мұны ωмен белгілейміз. Элементарлық оқиғалар- әрі қарай жіктелмейтін оқиғалар. Ал сынау нәтижесі болса, тек бір ғана элементарлық оқиғамен көрсетіледі.

Тәжірибенің барлық мүмкін нәтижелері жиынын, яғни барлық элементарлық оқиғалар жиынын, элементарлық оқиғалар кеңістігі дейміз. Мұны {ω} мен белгілейміз. Элементарлық оқиғалар жиыны {ω}-ның әрбір ішкі жиыны оқиға деп аталады. Сөйтіп, оны А,В,С,… әріптерімен белгілейміз. Мысалы, кубты лақтырғанда барлық мүмкін нәтижелер жиыны {ω}={А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆,} элементарлық оқиғалар. Осы {ω} жиынында анықталған оқиғаларды қарастырайық:

а) Нөмірлері 3-тен артық болмау А={А₁, А₂, А₃} оқиғасын құрайды. Бұл А {ω}

ә) Тақ нөмірлі ұпайлар оқиғасы В={А₁, А₃, А₅} оқиғасын құрайды. Бұл В {ω}.

Элементарлық оқиғалар кеңістігінің геометриялық кескінін қандайда кеңістік десек, онда элементарлық оқиғалар осы кеңістік нүктесі болады.

Евклид геометриясын құрғанда «нүкте» және «түзу» анықталмайтын бастапқы ұғым деп қарастырған сияқты, ықтималдықтар теориясында да элементарлық оқиға және оның нүктесін бастапқы ұғым және бұл теория көлемінде анықталмайтын ұғым деп қараймыз. Мұны берілген деп қарастырамыз.

Сонымен, А оқиғасын элементарлық оқиғалар кеңістігіндегі белгілі элементарлық оқиғалар жиыны деп анықтауға келісеміз.

Сынау нәтижесінде сөзсіз пайда болатын оқиғаны ақиқат оқиға десек, онда оны барлық, ЭОК-мен теңестіруге болады, сөйтіп U={ω} мен белгілейді. Сынау нәтижесінде сөзсіз пайда болмайтын оқиғаны мүмкін емес оқиғасы десек, онда бұны бір де элементарлық оқиғасы болмайтын бос жиын деуімізге болады. Сөйтіп, оны ϑ={ω} символымен белгілейміз.

§1-те келтірелген қасиеттер элементар оқиғалар кеңістігінде де орындалады. Онда оқиғалар арасындағы қатыстар және оқиғалар алгебрасы туралы сөз еткенде жиын ұғымы мен ұластырып отырдық. Бірақ ол жиын элементтерінің саны жайлы сөз қозғаған жоқпыз . Ал жоғарыда келтірілген мысалдарда ЭОК шекті жиын болып келеді. Мысалы, монетаны лақтырғанда ЭОК 2 элементтен құралса, кубты лақтырғанда ЭОК 6 элементтен құралады. Бұнда ЭОК элементтері шексіз болмайды деген тұжырым шықпайды. Мәселен, егерде монетаны қанша тиын жағы пайда болғанша лақтыра берсек, сондай-ақ оқты қашан нысанаға тигенше ата берсек т.т. онда элементар нәтижелері принципінде шексіз тізбек жасайды.

Сонымен шекті яшексіз санаулы және шексіз санақсыз тізбек аламыз.

Біз қазір нәтижелері тең мүмкіндікті шекті я санаулы шексіз дискретті элементарлық оқиғалар кеңістігімен айналысамыз. Осыған байланысты ықтималдықтың классикалық анықтамасын келтіріп теория құру жағын қарастырамыз.

§3.ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ КЛАССИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ.

Қандай болмасын математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құрылатын болғандықтан, біз ықтималдықтар теориясының құрылуын ықтималдықтың классикалық анықтамасына негіздеп бастаймыз. Ілгеріде ықтималдықтар теориясын бұдан да басқа анықтама негізінде құруға болатынын көрсетеміз.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасын алғаш рет берген Лаплас /1749-1827/ еді. Ықтималдықтың бұл анықтамасы тең мүмкіндікті шекті элементтер оқиғалар кеңістігінде қарастырылады және өте қарапайым. Сондықтан да біз ықтималдықтар теориясын баяндауды осы анықтамадан бастаимыз.

Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар логикалық анықтама беруді қажет етпейді. Жалпы сынау нәтижесінде бірнеші элементар оқиғалар пайда болуы мүмкін болса және олардың біреуінің пайда болу мүмкіндігінің, екіншісіне қарағанда, артықшылығы бар деп айта алмайтын болсақ, басқаша айтқанда сынаулар нәтижесінің симметриялы қасиеті болса, мұндай элементар оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді. Бұған 1-ші параграфта келтірілген 2-ші мысал айғақ. Өйткені кубтың әрбір жағының пайда болуы мүмкіндігі бірдей .Сондықтан бұлар тең мүмкіндікті/яғни тең ықтималдықты/ элементар оқиғалар болады.

А₁, А₂,…, А_п оқиғалары тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын /системасын/ құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін / мүмкін болатын/ нәтижелердің толық тобы немесе элементар оқиғалар кеңістігі деп атайтынын көрдік. Сонда {ω}={А₁, А₂, …, А_п}.

жалпы саны n{ω} мен белгілейміз. Әрбір элементар оқиғаның шығу мүмкіндігінің мөлшері, ықтималдығы . Ал, тең мүмкіндікті, үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын А₁, А₂, …, А_п элементар оқиғалардың бірнешеуі бір А оқиғасының пайда болуын тудыруы мүмкін , яғни екінші сөзбен айтқанда, құранды А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға бөлінеді және олардың кез-келген біреуінің пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығатын болады . Мысалы, кубты бір рет лақтырғанда оның кез келген тақ нөмері А₁, А₃, А₅ пайда болуынан, А оқиғасының пайда болуын байқаймыз. Былайша айтқанда, А оқиғасы тақ нөмерлі А₁, А₃, А₅ үш оқиғаға бөлініп отыр. Бұл тақ нөмерлі элементар оқиғалар саны /ол 3-ке тең/ осы А оқиғасының пайда болуына қолайлы. Мұны m {ω} мен белгілейміз. Мұнда {ω} ={А₁, А₃, А₅}. Сонымен, сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінбейтін элементар оқиғаларды осы оқиғаға, А-ға қолайлы дейміз.

1. 
   мысал. Жәшікте 10 шар бар. Олардың 4-еуі ақ 6-уы қызыл шар. Жәшіктегі шарды араластырып жіберіп ,қарамай тұрып бір шарды алайық. Алынған шар ақ болып шығуының / А оқиғасы/ сандық мөлшерін /ықтималдығын/ анықтау керек.
   

Анықтама. А оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар санының (m {ω} сынаудың тең мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар санына n{ω}) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады