Методикалық нұсқау

ә/ Алдымен n-ді анықтайық. Берілген 7 әріптен әрқайысы 4 әріптен тұратын комбинация А⁴_7­­­­=840 тәсілімен таңдалынды. Мұнымыз барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар саны. Демек, n=840. Енді аталған сөздің пайда болуына қолайлы элементар оқиғалар саны m-ді табамыз.

4 әріпті тіркес ішіндегі бізге қолайлысы тек бірінші орында «К» әрпі, екінші орында «Е», үшінші орында «Н», төртінші орында «Т» әрпі тұратын «КЕНТ» сөзі ғана болмақ. Бұл сөз тек бір-ақ рет кездеседі. Сондықтан ықтималдық мынаған тең: Р(А)=Р(КЕНТ)=1/840≈0,012,

2.Алмастырулар.

N элементтен N-нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп атайды.

Алмастырулардың бір-бірінен айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана, өйткені әрбір алмастырудағы элементтердің саны бірдей. Сонда /1/ формуладан N=k десек,

Р­­_N=А_N^N =1*2*3….N=N! (4)

2-мысал. 1-мысалда келтірілген Е,К,М,Н,Т,Ш,Ы әріптерінен: а/ неше алмастырулар жасауға болады? ә/ карточкаларды қатарынан қойғанда «ШЫМКЕНТ» сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. а/ Айырмасы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын 7! алмастырулар жасауға болады.

ә/Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей. Сонда тең мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар саны n=7! болады. Бұлардың ішінде «Шымкент» сөзінің шұығу мүмкіндігі біреу-ақ демек, оның ықтималдығы

Р(А)=Р(ШЫМКЕНТ)=1/7!=1/5040.

3. 
   Терулер.
   

Сондай-ақ айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулардың дербес түрін теру деп атайды.

Сонымен N элементтен әрқайысы k элементтен алынған терулер санын С^k­_N деп белгілесек, k элементтен жасалған алмастыру Р_k десек, онда сол N элементтен k-дан алынған орналасуда /А^k_N-де/ алмастырудың да терудің де қасиеттері қамтылғандықтан

А^k_N=С^k_N Р_k (5)

А^k_N , Р_k мәндерін /5/ формулаларға қойсақ, шығатыны:

Бұл өрнектін оң жақ бөлігіндегі бөлшектің алымын да, бөлімін де 1*2*3…/N-k/ санын көбейтсек,

яғни

формуласы шығады. Бұл формуланы мұнан былай жиі қолданамыз. /4/ формула N=0 және k=0 мәндерінде дұрыс болу үшін 0!=1 деу керектігі естеріңде болсын. N мен k мәндері үлкен болғанда С^k_N мәнін /6/ формуламен есептеу аса қиынға соғады. Сондықтан факториалдар логарифмдерін пайдалану қолайлы. Осы себепті кітаптың соңында 100 факториалға дейінгі сандар логарифмдердің таблицасын келтірдік /кітап соңындағы 1-таблицаны қара/.

N!-ды есептеудің жуық формуласында пайдаланады. Бұған көбінесе анализден белгілі мына отирлинг формуласы алынады.

N!=

Есеп шығарғанда әдетте мұның екі жағын логарифмдейді. Терудің негізгі екі қасиетін келтірейік.

1-қасиеті.

Мұны дәлелдеу үшін /6/ формуладағы k орнына N-k қоямыз.

Сонда

шығады./6/ және /8/ өрнектердің оң жақ бөліктері тең болғандықтан, бұлардың сол жақ бөліктері де тең болады, яғни

С^k_N= С^N-k_N (8)

2-қасиеті.

С^k_N= С^k-1_N-1+ С^k_N-1. (10)

Мұны дәлелдеу үшін С^k-1_N-1, С^k_N-1 орындарына бұлардың /6/ формуладағы мәндерін қойып жазсақ, шығатыны:

Терудің екінші қасиетін пайдаланып Паскаль ұшбұрышы деп аталатын төмендегі схеманы келтіру қолайлы.

Паскаль ұшбұрышы.

Бұл ұшбұрыштың құрлысымен танысқанда мынадай ережені байқау қиын емес: төменгі қатардағы әрбір сан /екі шеткісін қоспағанда/ оның үстіңгі қатарындағы /сол цмфрдың үстіндегі/ оң жақ және сол жақ екі санның қосындысына тең, яғни

С^k_N-1 мәні N қатар үстіндегі N-1 қатардағы теру мәндеріне сәйкес /10/-шы формула негізінде табылған. Сонымен С^k_N-1 мәні N қатары мен k диагональдың қилысуындағы санға тең. Мысалы N=8, k=3 болғанда С³₈ мәні 8-қатар мен k=3-ке сәйкес диагоналдағы 56 санына тең.

Әрбір қатардағы сандар қосындысы 2^N санына тең. Мысалы, N=3 болғанда

1+3+3+1=8=2³

N=7 болғанда 1+7+21+35+35+21+7+1=128=2⁷

Бұл /1+1/⁷ биномын Ньютон формуласы бойынша жіктегенге тең. Шынында Ньютон формуласы бойынша (а+вх)ⁿ биномын жіктесек мынадай болады:(а+вх)ⁿ=аⁿ+а^n-1вх+а^n-2в²х²+…..+ав^n-1х^n-1+вⁿхⁿ