Нақты сандар теориясы(нақты сандар жиыны нақты сандардың қасиеттері. Нақты сандардың абсолют шамасы)
жүктеу/скачать 0,61 Mb.
|
На ты сандар теориясы(на ты сандар жиыны на ты сандарды асиетт
| Функция лимитінің анықтамсы.
Монотонды,шектелген тізбектер.(Мононтонды және шектелген тізбектер.Тізбектің дәл шекаралары.Монотонды тізбектің жинақтылық белгісі.е-саны.Больцано-Вейерштрасс теоремасы) Біз тізбектің екі қасиетін - жинақталуын және шенелгендігін - анықтадық. Жинақталатын тізбектің шенелгендігің бірақ шенелген тізбектің жинақталмауы мүмкін екенін көрсеттік. Бір жағдайда осы екі қасиет эквивалентті екен — ол тізбектің монотонды болуы. А н ы қ т а м а. тізбегі берілсін. Егер әрбір п (п= 1, 2,...) үшін болса, онда оны кемімейтін тізбек деп, ал болса, онда оны өспелі тізбек деп атайды. Егер әрбір п (п = 1, 2, ...) үшін болса, онда оны өспейтін тізбек деп, ал болса, онда оны кемімелі тізбек деп атайды. Бұл тізбектердің әрқайсысы монотонды деп аталады. Өспелі және кемімелі тізбектерді қатаң монотонды деп атайды. Әрине, өспелі тізбек кемімейді, ал кемімелі тізбек өспейді. Сол себептен, кемімейтін және өспейтін тізбектер үшін дәлелденген кез келген тұжырым сәйкес өспелі және кемімелі тізбектер үшін де орындалады. Сонымен бірге, қатаң монотонды тізбектердің монотонды тізбектерге қарағанда ерекше қасиеттері де бар. Мәселен, монотонды тізбектің мәндерінің бәрі де шегіне тең болуы мүмкін (мысалы, үшін), ал қатаң монотонды тізбектің бірде- бір мәні шегіне тең бола алмайды. Расында да, өспелі тізбегі а нақты санына ұмтылып, белгілі бір о үшін болса, онда барлық үшін Сөйтіп, оң саны үшін болғанда демек, тізбегі а санына ұмтылмайды. Қайшылыққа келдік. Монотонды тізбектер бір жақты шенелген болады, өспелі тізбектер—төменнен, кемімелі тізбектер — жоғарыдан (әрқайсысы бірінші мүшесімен шенелген). М ы с а л д a p: 1". —өспелі шенелген тізбек, 2°. хп = п—өспелі шенелмеген тізбек, 3°. хп= (—1) п • п — шенелмеген, шегі жоқ монотонды емес тізбек. 4°. — шенелген, шегі жоқ, монотонды емес тізбек. 5°. — шенелген, жинақталатын, монотонды емес тізбек. Енді монотонды тізбектер туралы негізгі теореманы дәлелдейік. Т е о р е м а. тізбегі монотонды болсын. Онда оның шегі бар (ақырлы әлде ақырсыз) және кемімейтін болғанда өспейтін болғанда {х1; х2 ... }. Сондықтан, монотонды және шенелген тізбектің әрқашанда нақты мәнді шегі бар болады, өйткені онда жиынының супремумы мен инфимумы нақты сан болады. Д ә л е л д е у. тізбегі кемімейтін болсын. Онда келесі екі жағдайдың біреуі және тек қана біреуі орындалады: — нақты сан (тізбектің барлық мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелген). (тізбектің барлық мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелмеген). 1-жағдай. ɛ оң саны берілсін. Супремумның анықтамасы бойынша: 1) а саны жиынының жоғарғы шекарасы, яғни барлық п үшінболады; 2) саны жиынының жоғарғы шекарасы емес, яғни теңсіздігі орындалатын тізбектің мүшесі табылады. тізбегі кемімейтін болғандықтан үшін теңсіздігі орындалады. Осының бәрін қорытындылап мынаған келеміз: Әрбір үшін теңсіздігі орындалады, ал бұл жағдай символдар арқылы былай бейнеленеді: 2-жағдай. ɛ оң саны берілсін. Онда ɛ-нан үлкен тізбектің мәні бар болады, яғни теңсіздігі орындалатын номері табылады. Енді тізбектің кемімейтін екенін ескерсек, онда әрбір үшін болады, демек, шектің анықтамасы бойынша Теорема дәлелденді. Өспейтін тізбек үшін теорема дәл осылай дәлелденеді. Е с к е р т у. Дәлелденген теореманың қорытындысын сақтап, шартын сәл жеңілдетуге болады: тізбегінің тек қана белгілі бір номерден бастап монотонды болуы талап етіледі, өйткені тізбектің шегіне алғашқы мүшелерінің (қандай да ақырлы жиынын алсақ та) әсері жоқ. жүктеу/скачать 0,61 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|