Научно-методический журнал Серия: Естественно-технические науки. Социальные и экономические науки. Филологические науки

жүктеу/скачать 4,81 Mb.

Pdf көрінісі

бет	21/231
Дата	30.07.2023
өлшемі	4,81 Mb.
	#179664

1 ... 17 18 19 20 21 22 23 24 ... 231

Байланысты:
2-сан 2023 (1-серия)

1-teorema. ( ) k J E   

Ilim h
á
m jámiyet. №2.2023
14
1
2
1
2
(
) 0 ... 0
0
(
) ... 0
... ... ... ...
0 0 ...
(
)
s
k
k
k
s
J
J
J
J









 







(1)
1-teorema.
( )
k
J
E




matrica ushın
1
( ) 1,(
1,
1), ( ) (
)
k
k
i
k
 
 
 



 
yaǵnıy ol tómendegi
kanonikalıq

-matricaǵa ekvivalent
1 0 ... 0 0
0 1 ... 0 0
... ... ... ... 0
1 0
0 1 (
)
k
 

















(2)
Dálillew.
Bul
1 0 ... 0
0
1 ... 0
( )
... ... ... ... ...
0 ... ... ... 1
0 ... ... ...
k
J
E
 
 


 





















(3)
matricanıń determinantı
(
)
k
 

ǵa teń. Determinant
bóliwshi
( )
k
 
unitar bolǵanı ushın
( ) (
)
k
k
 
 


.
Eger (3) dıń birinshi baǵanası hám aqırǵı qatarın óshirsek,
diagonalında 1 sanı, diagonaldıń joqarısında 0 sanı bolǵan
matricanı alamız. Bunnan
1
( ) 1
 

. Bul matricada birdey
nomerli qatar hám baǵanalardı izbe-iz óshirip, bul
 
 
2
1
...
1
k
 
 

 

ekeni kórinedi.
Nátiyje.
( )
k
J
E



matricanıń rangi onıń tártibine teń
bolıp,


( ( )
)
(
)
k
k
D J
E
 
 



, yaǵnıy birden-bir
(
)
k
 

kópaǵzalıdan ibarat.
Mısal
. Matricanıń Jordan normal formasın tabıń[4]
0
1
0
4
4
0
2
1
2
A




 







Sheshiliwi:
A
matricanıń xarakteristikalıq teńlemesin
dúzemiz
1
0
E
4
4
0
0
2
1
2
A






 















 
 

3
4
2
4 2
4
2
4 2
2
0












 


 




 

2.


Onda
A
matricasınıń Jordan normal forması
2
1
0
0
2
1 .
0
0
2
A
J




 





2-teorema
.
C
maydandaǵı hár qanday
A
matrica
qandayda bir jordan matricasına uqsas. Bul Jordan
matricası
A
arqalı jordan ketekleriniń orın almasınıwına
shekem dállik menen tabıladı (bul Jordan matricalarınıń hár
biri
A
matricanıń jordan normal forması dep ataladı) [1].
Dálillew.
n n
A C


berilgen bolsın. Oǵan uqsas bolǵan
n n
J
C


jordan matricasın tabamız.
A
hám
J
matricalardıń
uqsaslıǵı olardıń xarakteristikalıq
A
E


hám
J
E


—
matricalardıń ekvivalentligine teń kúshli.

Matricanıń xarakteristikalıq
det(
)
A
E


kópaǵzalını
kóremiz. Ol tek 1 kompleks kоrenge iye (kórenler eseli
menen esaplanǵanda). Bul
1
,...,
t


sanlar
( )
 
dıń turli
kórenleri
1
,...,
t
k
k
natural sanlar – bul kórenlerdıń eselisi
bolsın.
Onda
1
...
t
k
k
n
  
hám
1
1
( )
( 1) (
) ...(
)
t
k
k
n
t
 
 
 
 


.
Bunnan
A
E


matricanıń rangi onıń tártibine teńligi kelip shıǵadı.

Bul
1
( ),..., ( )
n
 
 
kópaǵzalılar
A
E


matricanıń
invariant kóbeytiwshileri bolsın. Onda

1
1
1
( )... ( )
( )
(
) ...(
)
t
k
k
n
n
t
     
 
 




.

Bunnan
1
( ),(
1, )
n p
p
q


 

invariant kóbeytiwshiler
tómendegi kóriniske iye:

1
2
1
1
2
( )
(
) (
) ...(
)
p
p
tp
k
k
k
n p
t


 
 
 
 




.

Eger bul ańlatpada qandayda bir
t

kóren qatnaspasa,
saykes
(
)
ip
k
i
 

kóbeytiwshini birge teń dep esaplaymız.
Bunday kóbeytiwshi ushın
0
ip
k

.

Buǵan tiykarlanıp
A
E


matricanıń elementar boli-
wshileri

1
11
12
2
21
22
1
2
1
2
1
2
1
2
(
) (
) ...(
)
(
) (
) ...(
)
...............................................
(
) (
) ...(
)
q
q
qt
t
t
k
k
k
t
k
k
k
t
k
k
k
t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
















(4)

kóriniske iye[3].

Jordan ketekleri menen elementar boliwshiler arasıdaǵı
uyqaslıqtan, sızıqlı operatordıń diagonallasıwshılıǵı onıń
barlıq elementar bóliwshileriniń birinshi tártipli ekenligine
teń kúshli. Aqırǵı shárt bolsa óz gezeginde eń keyingi
( )
n
 
invariant kóbeytiwshinıń eseli kórenleri joqlıǵına
teń kúshli. Solay etip, sızıqlı operatordıń diagonallawshı
bolıwı ushın onıń eń keyingi invariant kóbeytiwshisiniń
eseli kórenleri bolmawı zárúr hám jetkilikli.

F
sanlı maydan sonday bolsa, ol jaǵdayda
det(
)
A
E


xarakteristikalıq kópaǵzalı sızıqlı kóbeytiwshilerge ajıralsa,
teoremanıń bunday
F
maydan hám sızıqtı
A
operatorlar
ushın orınlı bolıwı dálillewden tikkeley kórinedi. Ker-
isinshe,
F
maydandaǵı
A
matrica
F
maydandaǵı qanday da
bir Jordan matricasına uqsas bolsın. Onda
A
E


menen
J
E


invariant kóbeytiwshileri birdey, sonday eken
1
det(
)
( 1)
( )... ( )
n
n
A
E

   

 
kópaǵzalı hám sızıqlı
kópaǵzalılarǵa ajıraladı. Solay etip, tomendegi teorema
orınlı.
3-teorema.
F
maydandaǵı shekli olshemli sızıqlı keńis-
likte sızıqlı operatordıń jordan bazisi bar bolıwı ushın onıń
xarakteristikalıq kópaǵzalısı
F
maydanda sızıqlı kóbeyti-
wshilerge ajıralıwı zárúr hám jetkilikli[3].

Mısal kóremiz.

1
3
4
4
1 8
6
7
7
A














Matricaǵa
uqsas
jordan
matricanı
tabamız.
Xarakteristikalıq

1
3
4
4
7
8
6
7
7
A
E












 








kópaǵzalınıń determinant bóliwshileri
1
( ) 1,
 

2
( ) 1
 

(bul 4
7
7
6
,
6
7
3













4
8
4(
12)
6
7


 


minorlar óz ara apiwayı),

Ilim h
á
m jámiyet. №2.2023
15
3
2
3
( )
5
3 (
3)(
1)
   




 
 


.

Bunnan
2
1
2
3
( )
( ) 1, ( )
(
3)(
1)
   
 







.

Elementar bóliwshiler
(
3)


hám
2
(
1)


. Olarǵa 3
sanınan hám ketegi

1
1
0
1









jordan kletkaları saykes keledi.

Demek,
A
matrica bul

3
0
0
0
1
1
0
0
1
J














Jordan matricasına uqsas.

Mısal.
Matricanıń Jordan normal formasın tabıń[2]
0
3
2
3
0
1
2
2
1
B




 






Sheshiliwi:
B
matricanıń xarakteristikalıq teńlemesin
dúzemiz
3
2
E
3
1
0
2
2
1
B











Determinanttı esaplasaq tómendegige iye bolamız
3
2
9
9
0.





 
Kóbeytiwshilerge jiklep




1
3
3
0





 
.
Bunnan
1
2
3
1,
3,
3





 
menshikli mánisler
shıǵadı.
Onda
B
matricasınıń Jordan normal forması
1
0
0
0
3
0 .
0
0
3
B
J




 






Ádebiyatlar
1. Хожиев Ж., Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси: Математика ва механика-математика
факультетлари талабалари учун дарслик. –Т.: ―Ўзбекистон‖, 2001, 304-б.
2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. –Москва: 1966, - С. 384.
3. Тронин С.Н. Лекции по алгебре. Выпуск 2. // Жорданова нормальная форма матрицы. –Казань: 2012, -С.78.
4. Бортакоский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах. Глава 7. -Москва: «Высшая школа»,
2005.

жүктеу/скачать 4,81 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 17 18 19 20 21 22 23 24 ... 231