Научно-методический журнал Серия: Естественно-технические науки. Социальные и экономические науки. Филологические науки

Ilim h
á
m jámiyet. №2.2023
5
ИЗОМЕТРИИ 
LOG
-АЛГЕБР И ИХ ВЗАИМОСВЯЗЬ С РАЗЛИЧНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ 
ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО Σ-КОНЕЧНЫХ МЕР 
Р.З.Абдуллаев 
– доктор физико-математических наук, профессор
Ташкентский университет информационных технологии имени Мухаммада Ал-Хоразмий 
М.Абдимуратов –
магистрант 
Ф.Узакбаева 
– магистрант 
 Нукусский государственный педагогический институт имени Ажинияза 
Таянч сўзлар: 
изометриялар, лог-алгебралар, с-чекланган ўлчовлар, Аренс алгебралари, F -фазолар. 
Ключевые слова:
изометрии, log-алгебры, σ-конечные меры, алгебры Аренса, F-пространства. 
Key words:
isometries, log-algebras, σ-finite measures, Arens algebras, F-spaces. 
Интегрируемость функций на отрезке [0,1] с 
p
-ой 
степенью определяет скорость роста функций, т.е.
скорость роста больше у тех функций у которых
меньше степень их интегрируемости (наименьшая сте-
пень 
(0, ),
p


с которой интегрируема функция).
Очевидно, имеют место следующие включения 
p
q
L
L
L



,
0,
p
q
   
 
где 
p
L
это пространства
интегрируемые с 
p
-
степенью и 
L

это алгебра
существенно ограниченных функций на отрезке [0,1] . 
В работе [1], были введены алгебры 
log
-
интегрируемых функций 
log
L
и изучены их свойства. В 
частности, было показано, что такая алгебра является 
полным метрическим пространством. Из неравенства 
(
)
( )
( )
p
log
f z
f z

│ │ │ │
получаем
p
log
L
L

, для 
(0, ).
p


Пусть ( , )
S Х

- алгебра измеримых функций на из-
меримом пространстве 
( , )
Х

с σ-конечных мерой 
µ
. 
Рассмотрим пространство 






,
,
:
| ( ) |
p
p
Х
L
Х µ
f
S Х µ
f x
dµ


 

и функционал 
 
1
p
p
p
X
f
f x
d



 




является нормой 
на 
(
, )
p
L
Х

в случае 
(1, ) .
p
 
Из курса функциональ-
ного анализа известно, что 
( , )
p
L Х

является полным 
линейным пространством, т.е. баноховым простран-
ством относительно нормы 
p
. Рассмотрим множе-
ство (аренс 2) 




 




1
,
,
:
,
1,
,
.
p
w
X
p
p
L
Х
f
S Х
f x
d
p
L
Х




 




  






 

( , )
w
L Х

является метрическим пространством от-
носительно метрики, порожденной системой полунорм 
{|| || } [1, ) 
p
p
 
. Также рассмотрим множества 
0
0
( , )
( , ) 
w
p
p
L Х
L Х


 
 
и 
1
( , )
( , ).
u
p
p
L Х
L Х


 
 
Следующее множество введено и изучено в [1]. 




 
,
,
: log(1
log
X
L
Х
f
S Х
f x d








 





является 
F
-пространством относительно
F
-нормы 
 
log(1
log
X
f
f x d




. Эти пространства рассмотрены 
в работах [3-7]. 
Теорема 1
. Пусть 
µ
конечная мера. Тогда (
i
) 
( , ),
( , )
q
p
L
L Х
Х



при 
0
p
q
   
; (
ii
) 
0
( , )
w
L Х

-
является алгеброй; (
iii
) 
0
( , )
( , )
w
w
L Х
L Х



; (
iv
) 
0
( , )
( , )
w
L Х
L Х




. 
Доказательство. 
Пусть дана положительная функ-
ция 
( , )
q
f
L Х


. Тогда 
f
можно представить в виде 
суммы двух функций. 
( )
i
Пусть 
f
произвольная функция из 
( , )
q
L Х

. Не 
ограничивая общности можно считать ее положитель-
ной. Тогда 
f
можно представить в виде суммы двух 
1
1
2
( ),
( )
0,
f x
x
X
f x
x
X


 


, 
1
2
2
0,
( )
( ),
x
X
f
x
f x
x
X


 


, 
где 


1
:
( )
1
X
x
X
f x



, 


2
: ( ) 1
X
x
X f x
 

так 
как 
( , )
q
f
L Х


, то 
( )
q
x
f x
d

 

. Тогда в силу поло-
жительности 
f
и очевидных неравенств для 
0
p
q
 
имеем 
1
2
2
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
p
p
X
X
X
q
q
q
X
X
f
x d
f
x d
f
x d
f
x d
f
x d
f
x d

















Следовательно 
( , )
p
f
L Х


т.е. 
( , )
( , ).
q
p
L Х
L Х



( )
ii
Пусть 
f
,
g
( , )
L Х



. Тогда 
( , ),
p
f
L Х


и 
( , )
q
g
L Х


для всех 
,
(0, ).
p q
 
Из 
( )
i
следует, что 
p
и 
q
можно выбрать больше единицы. Тогда из нера-
венства
r
p
q
fg
f
g

имеем, что 
(
, )
r
f g
L Х

 
для любого 
[1, ).
r
 
Следовательно, 
0
( , )
L Х


- алгеб-
ра 
( )
iii
0
( , )
( , )
L Х
L Х





, т.к. 
( , )
( , )
q
p
L Х
L Х



при 
0
p q
   
. 
( )
iv
для доказательства 
( )
iv
необходимо предъ-
явить неограниченную функцию интегрируемую в лю-
бой степени 
(0, )
p
 
. Такой функцией будет функция 
( )
log
f x
x

. 
( )
v
. Выполнение этого включения следует из того, 
что существует не ограниченная функция интегрируема 
в любой степени.
 
Теорема 2. 
Имеют место следующие утверждения: 
( )
i
( , )
u
L Х

- 
является 
алгеброй; 
( )
ii
log
( , )
( , )
u
L Х
L
Х



; 
( )
iii
log
( , )
( , )
u
L Х
L
Х



. 
Доказательство. 
( )
i
. Сначала покажем замкну-
тость 
( , )
u
L Х

относительно возведения в квадрат. 

Ilim h
á
m jámiyet. №2.2023
6
Пусть 
(
, )
u
f
L Х


, тогда 
( )
p
X
f x
d

 

для 
некоторого 
(0, ).
p


Отсюда следует 


2
2
( )
p
X
f
x
d

 

, т.е. 




2
2
,
,
u
p
f
L
Х
L Х




. 
Пусть теперь 
,
( , )
u
f g
L Х


, тогда 


2
2
2
(
)
,
2
u
f
g
f
g
f g
L Х




 

. 
( , )
u
f g
L Х

 
. Следовательно 
( , )
u
L Х

замкнуто 
относительно умножения. 
( )
ii
. Не ограничивая общности можно считать что 
[0,1]
Х

. Пусть 
( , )
u
f
L Х


, т.е. 
( , )
p
f
L Х


для 
некоторого 
(0, ).
p


Следовательно 


1
,
p
f
L
Х



. Тогда из неравенства 
log
/
p
t
t
p

имеем 




1
1
0
0
1
log 1
( )
1
( )
p
f x
dx
f x
dx
p



 


, т.е. 


log
,
f
L
Х


. 
( )
iii
. Не ограничивая общности можно считать что 
[0,1].
Х

Функция 
1
log
( , )
x
e
L
Х


и 
1
( , )
u
x
e
L Х


. 
Действительно 
1
1
1
0
0
1
log
x
e
dx
dx
x

 


, 
т.е. 
1
log
( , )
x
e
L
Х


. Далее для любого 
(0, )
p


имеем 
1
1
0
0
2
p
x
p
e
dx
dx
x

 


. Следовательно 
log
( , )
( , )
u
L Х
L
Х



. 
Итак, для конечных мер верны следующее включения 
0
log
u
p
q
L
L
L
L
L
L





 

, 
где 
,
[
)
0
p
 
. Теперь рассмотрим функциональные 
пространства 
0
log
,
,
,
p
L L L L


на полуоси 
[0, )

. Через 
F
обозначим финитные функции на (
[0, )

,µ), т.е. все 
те измеримые функций 
f 
на
 
(
[0, )

,
µ
), для которых 




:
[0
)
0
,
(
)
.
µ x
f x



 
Пересечение любого 
подпространства 
L 
из алгебры измеримых функций 
S
[0, )

с алгеброй 
[0, )
L


будем обозначать 
( )
b
L
. 
Теорема 3.
Имеют место следующие строгие вклю-
чения: 
0
1
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
w
u
b
b
t b
s b
b
log b
p b
q b
b
F
L
L
L
L
L
L
L
L








Доказательство.
p
q
f
f

верного для 
f
L


.
и 
log(1 | | )
x
x


верно для 
[0, )
x


. Все остальные 
включения очевидны. Отметим также, что все эти 
включения строгие. Действительно, функция
 
   
1
[
)
[
1 /
,
1,
1,
0,1)
p
x
x
f x
x

 
 


 
Не интегрируема в р-ой степени, но интегрируема в 
степени q. 
 

2
2
1
,
,
1/
, 
1, 2
.
0,
,
1/
n
n x
n n
n
n
f x
x
n n
n










 








Тогда 
 
2
1
1
0
1
,
n
n
n
f x dx
n
n







 



т.е. 
1
( )
b
f
L

. Но из соотношений 
 




2
0
1
1
1
,
n
log
n
f x dx
n






 


 
следует, что 
(
)
log b
f
L

. Чтобы доказать строгость 
первого включения необходимо предъявить ограничен-
ную функцию 
f 
не равную нулю [0, ∞) и интегрируе-
мую в любой степени 
(0, )
p
 
. Такой функцией будет 
( )
.
x
f x
e


Эта функция не принадлежит 
(
,
)
b
F
так как 
ее 
({ }
0). 
f


Приведем определение понятия паспорта булевой 
алгебры из [10]. Пусть 
X
– произвольная полная булева 
алгебра,
,
e
X

[0, ] {
:
}
e
X
e
g
X g
e




. Через ( )
e
X

обозначим минимальную мощность множества, плот-
ного в 
e
X
в (
о
)-топологий. Бесконечная полная булева 
алгебра X называется однородной, если 
(
)
(
)
e
g
X
X



для 
любых 
ненулевых 
,
e g
X

. 
Мощность 
1
( )
(
)
X
X



где 1-единицы булевой алгебры 
X
, 
называется весом однородной булевой алгебры 
X
. 
Введем теперь понятие паспорта для булевых алгебр 
с 
σ
-конечной мерой. Пусть 
X
-полная не атомическая 
булева алгебра и µ-строго положительная счетно-
аддитивная 
σ
-конечная мера на 
X
. Тогда на 
X
суще-
ствует существенно положительная квазимера. Следо-
вательно 
X
является булевой алгеброй счетного типа и 
разложение ее на однородные компоненты не более чем 
счѐтно. Обозначим через 
i
s
X
однородные компоненты 
булевой алгебры 
X
для которых 
1
(
)
, ( )
,
i
i
i
s
s
s
i
X
s







 
а через {
i
u
X
} – однородные компоненты булевой 
алгебры 
X
, 
для 
которых 
вес 
1
(
)
, 
( )
, 1,2,
i
i
i
u
u
u
i
i
X
u
i



 




  

Тогда одно-
значно определена матрица 
1
2
1
2
1
2
s
s
u
u



















, 
которую назовем паспортом булевой алгебры 
X
с 
σ
-
конечной мерой 
µ
. В случае конечных мер получим 
определение паспорта нормированной булевой алгеб-
ры, введенное в [8:273]. 
Следующая теорема нам понадобиться при изуче-
нии изоморфизмов алгерб Аренса. 
Пусть 
X
и 
Y 
– булева алгебры с σ-конечными мера-
ми
 µ 
и 
v 
соответственно. Обозначим через 
1
2
1
2
1
2
s
s
u
u



















и
1
2
1
2
1
2
t
t
v
v
v
v

















, 
паспорта булевых алгебр (
Х,µ
) и (
Y,v
) соответственно. 

жүктеу/скачать 4,81 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: