Определение подобных треугольников



бет3/6
Дата27.02.2020
өлшемі1,98 Mb.
#57480
1   2   3   4   5   6

Обобщение теоремы Фалеса.


Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Дано:

Прямая а рассечена параллельными прямыми (А1В1, А2В2, А3В3,…, АnBn) на отрезки А1А2, А2А3, …, An-1An, а прямая b- на отрезки В1В2, В2В3, …, Вn-1Вn.
Доказать:


Доказательство:

Докажем, например, что



Рассмотрим два случая:



1 случай (рис. б)

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники

А1А2В1В2 и А2А3В2В3 – параллелограммы. Поэтому

А1А2= В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что



2 случай(рис. в)

Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому



Отсюда по свойству пропорций получаем:






С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2= В1В2, С2С3= В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2на В1В2 и С2С3на В2В3, приходим к равенству




что и требовалось доказать.

Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.




На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О(рис. 124б).
Доказать:





Доказательство:
Через точку М проведем прямую MD(рис. 124а), параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса



Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то  Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:



Аналогично доказывается, что .



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет