Определение подобных треугольников
жүктеу/скачать 1,98 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.
Обобщение теоремы Фалеса.Формулировка: Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки. Дано: Прямая а рассечена параллельными прямыми (А1В1, А2В2, А3В3,…, АnBn) на отрезки А1А2, А2А3, …, An-1An, а прямая b- на отрезки В1В2, В2В3, …, Вn-1Вn. Доказать: 
Доказательство: Докажем, например, что 
Рассмотрим два случая: 1 случай (рис. б) Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А1А2В1В2 и А2А3В2В3 – параллелограммы. Поэтому А1А2= В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что
2 случай(рис. в) Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому
Отсюда по свойству пропорций получаем: 
С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2= В1В2, С2С3= В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2на В1В2 и С2С3на В2В3, приходим к равенству 
что и требовалось доказать. Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.
На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О(рис. 124б). Доказать: 
Доказательство: Через точку М проведем прямую MD(рис. 124а), параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса 
Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то  Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:
Аналогично доказывается, что  .
жүктеу/скачать 1,98 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|