|
3G2 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРА. 1 ГЛ. 10
Неравенство (10.30) называется неравенством Буняковского1) для сумм.
Неравенство Минковского ’) для сумм. Пусть a\,ai
61,62.... ,6„ какие угодно неотрицательные числа, а число р > 1. Тогда справе.ыиво следующее неравенство:
н
1/р
(10.31)
1/р
азываемое неравенством Минковского для сумм. Прежде всею прообразуем сумму, стоящую в левой части (10.31). Можно записать
п п п
+ ь,у~' + М«. + W'.
i=i 1=i *=i
К каждой из
Ге лидера. При
сумм, стоящих в праной
этом, так как (р — 1)// = р и
части, применим неравенство 1 р-1
— = . напучим
/7 Р
и ip-1/p
52(о,+6,)р .получим i=l
Поделив обе части последнего неравенства на
неравенство Минковского (10.31).
Интегрируемость произвольной положительной степени модуля интегрируемой функции. Докажем следующую теорему.
Теорема 10.7. Коли функция f(x) интегрируема на сегменте [я. 6], то и функция |/(х)|', где г — любое положительное вещественное. число, также интегрируема на сегменте [я. 6].
Д о к а з а г е л ь с i в о. Достаточно доказан, георему для случая г < 1, ибо если г > I. то функцию /(.т)|' можно щюдставить в виде произведения |/(т) /(л)|г-^\ где [/-] целая часть г, а г — [г] < 1. В силу замечания 2
и. 1 § 6 функция |/(л)| интегрируема на сегменте [я. 6], а поэтому, в силу свойства 3е § о. фу икция |/(х)| ' интегрируема на этом сегменте. Но тогда, в си.iy того же свойства и интегрируемости функции Д(х)|г 1 функция |/(т) ' также интегрируема на сегменте [п.6]. Итак, докажем теорему для случая г < 1. Положим г — 1/р и заметим, что р > 1. Так как функция |/(.т) интегрируема па cei менте [«. 6]. то для любого е > (I найдется такое
Ч Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) — русский маюмагик.
Достарыңызбен бөлісу: |
