Основные понятия теории устойчивости. Устойчивость. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость по Ляпунову
Аннотация: Рассмотрены методы решения задачи устойчивости. Рассмотрен первый метод Ляпунова. Ключевые слова
жүктеу/скачать 1,4 Mb.
|
Теория устойчивости лекц
- Бұл бет үшін навигация:
- Тезисы лекции
- Лекция 1.4 Тема
- Ключевые слова
| Аннотация: Рассмотрены методы решения задачи устойчивости. Рассмотрен первый метод Ляпунова.
Ключевые слова: Устойчивость, первый метод Ляпунова. План: 1. О методах решения задачи устойчивости. 2. Первый метод Ляпунова. Тезисы лекции Ляпунов разработал специальные приемы решения задачи устойчивости№ Все эти приемы он разделил на две категории, отнеся к первой категории те способы, которые приводят к определению общего или частного решения рассматриваемых дифференциальных уравнений. Совокупность всех способов первой категории Ляпунов назвал первым методом. Ко второй категории Ляпунов отнес те способы решения задачи устойчивости, которые не требуют нахождения частных или общих решений дифференциальных уравнений, а приводятся к отысканию некоторых функций от t, x, обладающих специальными свойствами. Совокупность способов второй категории Ляпунов назвал вторым методом – он является ныне основным методом решения задачи устойчивости. Литература: 1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 2. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972. 3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М. 2008. Лекция 1.4 Тема: Знакопеременные функции. Знакопостоянные функции. Знакоопределенные функции. Функции Ляпунова. Лемма. Теорема Сильвестра. Аннотация: Рассмотрены знакопеременные функции, знакопостоянные функции, знакоопределенные функции, функции Ляпунова. Изучена лемма и теорема Сильвестра. Ключевые слова: знакопеременные функции, знакопостоянные функции, знакоопределенные функции, функции Ляпунова. План: 1. Знакопеременные функции. 2. Знакопостоянные функции. 3. Знакоопределенные функции. 4. Функции Ляпунова. 5. Лемма. 6. Теорема Сильвестра. Тезисы лекции Рассмотрим функцию V(t,x) определенную и непрерывную вместе со своими частными производными первого порядка для всех из некоторой области D, включающей в себя точку х=0. Предположим также, что функция V(t,x)=0 при х=0, т.е. V(t,0)=0 Опр.1. Функцию V(t,x) назовем знакопеременной в области (1) если она принимает в этой области как положительные, так и отрицательные значения. Опр.2. Функцию V(t,x) назовем знакопостоянной в области (1), если она не меняет в этой области знака. Если V(t,x) то ее называют положительной, если V(t,x) , то V называют отрицательной в области (1). Опр.3. Функцию V(t,x), зависящую от одних фазовых переменных назовем определенно положительной в области D, если всюду в этой области кроме точки х=0, имеет место неравенство V > . Если же выполняется неравенство V < , то функцию V назовем определенно отрицательной. Определенно положительные и определенно отрицательные функции называют знакоопределенными. В теории устойчивости изучается поведение функции V(t,x) вдоль траекторий рассматриваемой системы дифференциальных уравнений с тем6 чтобы на основе такого изучения сделать вывод об устойчивости или неустойчивости траекторий. Такие функции называют функциями Ляпунова. Рассмотрим функцию V(t,x) в предположении, что она в окрестности точки x=0 представима в виде равномерно сходящегося при степенного ряда по переменной х: (2) Здесь – однородная симметрическая форма степени к от переменной х, форма, состоящая из членов низшего порядка в этом степенном ряде. Лемма: Если является знакоопределенной при формой, то и функция (2) будет знакоопределенной в некоторой области (3) и если есть форма знакопеременная при , то и функция будет знакопеременной в любой области (3) с достаточно малым . жүктеу/скачать 1,4 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|