Остроградский – Гаусс теоремасы

Қандай да бір түйықталған беттің ішінде кез келген таңбалы нүктелік зарядтар бар екен делік. Осындай анықтама бойынша өрнекке сәйкес

Сонда
осы өрнек бойынша

Сондықтан

Бұл өрнек Остроградский – Гаусс теоремасының дәлелденуі болып табылады. Оны былай тұжырымдауға болады:
Тұйықталған бет арқылы өтетін электр өрісі кернеулік векторының ағыны арқылы беттің ішінде қоршалған заряттардың алгебралық қосындысын ге бөлгенде( немесе - ге көбейткенде ) тең. Егер бет ішінде зарядтар болмаса онда ағын нөлге тең болады Ф=0.
Егер заряд көлемдік тығыздық болатын тұйықталған беттің ішінде үздіксіз таралса,онда Острогадский – Гаусс теоремасы мына түрде жазылуы керек

Гаусс теоремасын вакуумдегі электрстатикалық өрістерді есептеуге қолдану
Электр өрістерінің суперпозиция принципін қолдануға негізделген электрстатикалық өрістерді есептеу кез келген зарядтар жүйесінің өрісін есептеуге жарамды.
Электр өрістерінің суперпозиция принципін қолдануға негізделген электростатикалық өрістерді есептеу әдісі кел келген зарядтар жүйесінің өрісін есептеуге жарамды. Алайда, Бұл әдіс көп еңбек сіңіруді керек қылатын жинақтау немесе интегралдау математикалық операцияларымен байланысты.
Көптеген жағдайларда (әсіресе, зарядтар симметриялы таралғанда), Гаусс теоремасын пайдалануға негізделген әдістің көмегімен өріс кернеулігін анықтау анағұрлым қарапайым. Гаусс теоремасы электр заряды мен электр өрісінің кернеулігі арасындағы байланысты тұтас және әдемі түрде өрнектеуге мүмкіндік береді.

1.11.1-мысал. Радиусы R сфераның бетіне беттік тығыздықпен біркелкі таралған Q зарядтың өрісі. Зарядтар жүйесі, демек, өрістің өзі де сфераның 0 центріне қатысты алғанда центрлі симметриялы. Сондықтан кернеулік сызықтары радиал бағытталған (1.11.1-сурет).

болса, онда тұйықталған беттің ішінде зарядтар болмайды, сондықтан біркелкі зарядталған сфералық беттің ішінде электр-статикалық өрістің кернеулігі нөльге тең (Е=0) болады.




Е өріс кернеулігінің, радиусы R сфераның центрінен r ара қашықтыққа тәуелділік графигінің түрі 1.11.2-суретте бейнеленген.
1.11.2-мысал. Радиусы R шардың бүкіл көлеміне көлемдік тығыздықпен біркелкі таралған Q зарядтың өрісі (1.11.3-сурет).Зарядталған шардың ішінде біркелкі таралғандықтан, электр өрісі де симметриялы болу керек. Шардың 0 центрі өрістің сим-метрия центрі болып табылады. Сондықтан, радиусы r>R сфера түріндегі бет үшін Гаусс теоремасы (1.10.2) бойынша мынаны жазамыз:
, бұдан . (1.11.2)
Біз тағы да біртекті зарядталған шардың сыртындағы өріс кернеулігі бүкіл заряд шардың центріне жинақталған (нүктелік) заряд-тың өріс кернеулігіндей болатынын алдық. Сонымен қатар, r=R кезінде
. (1.11.2а)
Шардың ішінде өріс кернеулігі басқаша болады, өйткені радиусы r₀< R сфера зарядты қамтиды. Сондықтан, Гаусс теоремасы (1.10.2) бойынша,
, бұдан
. (1.11.2б)
Егер екенін ескерсек, онда
(1.11.2в)
Сонымен, шардың 0 центрінен бастап r₀ ара қашықтықтың артуымен бірге, бастапқыда өріс сызықтық өседі (r₀=R дейін), ал содан соң r>R кезінде сияқты кемиді (1.11.4-сурет)

1.11.3-мысал. Біркелкі зарядталған радиусы R шексіз ұзын цилиндрдің өрісі (зарядтың сызықтық тығыздығы ). Кернеулік сызықтарының цилиндр бетіне перпендикуляр және радиал түзу болатындығы симметрия шартынан шығады. Гаусс теоремасын қолдану үшін бізге тұйықталған бет керек. Тұйықталған бет ретінде, осі зарядталған цилиндрдің осімен сәйкес келетін радиусы r>R және биіктігі цилиндрдің бетін аламыз (1.11.5-сурет). Осы таңдап алынған цилиндрдің табан-дары арқылы өтетін векторының ағыны нольге тең (цилиндр табандары кернеулік сызықтарына параллель). Кернеулік сызықтары цилиндрдің бүйір жақ бетіне перпендикуляр. Сондықтан, тұйықталған цилиндрлік бет ар-\қылы өтетін толық кернеулік ағыны Гаусс теоремасы бойынша мынаған тең

.
Таңдап алынған тұйықталған беттің ішіндегі заряд . Демек,
. (1.11.3)
Біз, бұл нәтижені Кулон заңын пайдаланып 1.7.2-мысалда алғанбыз (1.7.2), тек r-дің орнына h жазылған.
Егер r болса, онда тұйықталған беттің ішінде заряд бол-майды, сондықтан бұл аймақта Е=0.
1.11.4-мысал. Шексіз жазықтыққа  беттік тығыздықпен біркелкі таралған зарядтың өрісі. Жазықтықтан қайсыбір қашықтықта жатқан А нүктені таңдап алып, осы нүктедегі өріс кернеулігін есептейік (1.11.6-сурет). Тұйықталған бет ретінде табандары жазықтыққа параллель, ал осі оған перпендикуляр болатын цилиндрді аламыз. Цилиндрдің бүйір жақ беті кернеулік сызықтарына параллель. Олай болса, цилиндрдің бүйір жақ беті арқылы өтетін кернеулік векто-рының ағыны нольге тең, сондықтан цилиндр арқылы өтетін толық кернеулік ағыны оның табандарын қиятын (табандарының ауданы бірдей, яғни S₁=S₂) ағындардың қосындысына тең. Кернеулік сызықтары қарастырылып отырған жазықтыққа перпендикуляр және оның екі жағына да бағытталған (1.11.6-суретке көңіл аударыңыз). Гаусс теоремасы бойынша,
.
Цилиндр ішіндегі заряд . Сондықтан
. (1.11.4)

Сонымен, Е кернеуліктің шамасы қарастырылған А нүктенің ор-нына және цилиндрдің ұзындығына байланысты болмайды екен, ол тек зарядтың беттік тығыздығының шамасымен ғана анықталады. Демек, біркелкі зарядталған жазықтықтың өрісі біртекті өріс.

(1.11.4) өрнекті күрделі жолмен 1.7.3-мысалда алғанбыз (1.7.3).
1.11.5-мысал. Абсолют мәні бойынша тең және беттік тығыздықтары +, – болатын әр аттас зарядтармен біркелкі зарядталған екі параллель шексіз жазықтықтың өрісі (1.11.7,а-сурет). Бір жазықтықтың өріс кернеулігінің векторын деп (>0), ал екінші жазықтықтікін - деп (<0) белгілейік. 1.11.7,а-суреттен көрініп тұрғандай, жазықтықтардың аралығындағы кеңістікте және векторлары бір бағытқа, ал сыртында қарама-қарсы бағытталған.

Бірінші және екінші жазықтықтың , өріс кернеулігі век-торлары модульдері бойынша тең екені 1.11.4-мысалдан белгілі.

Екі жазықтықтың өріс кернеулігі өрістердің суперпозиция принципі бойынша мынаған тең
+ .
Демек, жазықтықтардың аралығындағы қорытынды кернеулік
, (1.11.5)
ал олардың сырт жақтарында

жүктеу/скачать 214,58 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: