Отчет 0 с., кн., 69 источников
жүктеу/скачать 0,71 Mb.
|
ru 64697 1073218 1607324094
| ВВЕДЕНИЕ
Основание и исходные данные для разработки темы. В промежуточный отчет о научно-исследовательской работе по проекту «Исследование геометрии интегрируемых дисперсионных и бездисперсионных уравнений» по приоритеру 8. Научные исследования в области естественных наук: 8.1. Фундаментальные и прикладные исследования в области математики и механики. Включены результаты исследований, проведенных в 2020 году, согласно утвержденному календарному плану работ (Договор №231 от «12» ноября 2020г.). Сроки реализации – 2020-2022 годы. Цель проекта: Целью данного проекта является исследование существующих и развитие альтернативных подходов к изучению геометрии интегрируемых дисперсионных и бездисперсионных уравнений. Разработка новых методов нахождения солитонных и солитоноподобных решений нелинейных эволюционных уравнений. Основные задачи проекта на 2020 год: Задача 1: Исследовать и проанализировать бездисперсионные уравнения в рамках современных теорий интегрируемых систем. Задача 2: Построить и исследовать новые бездисперсионные уравнения. Задача 3: Построить представления Лакса для найденных бездисперсионных уравнений, таким образом показать их интегрируемость. Оценка современного состояния решаемой научно-технической проблемы: Предпосылками для реализации проекта является тот факт, что в современной математической физике существует ряд нерешенных проблем, и одна из них связана с применением элементов дифференциальной геометрии в теории интегрируемых нелинейных уравнений. Актуальность НИР: Изучение геометрии дисперсионных и бесдисперсионных уравнений лежит в основе современных исследований в области дифференциальной геометрии и теории солитонов. В ранних работах по теории солитонов, были изучены в полной мере такие хорошо известные уравнения как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, синус-Гордона, Ландау-Лифщица, Дэви-Стюартсона, модель Гейзенберга и др. в разных размерностях. В дальнейшем были получены их обобщения: локальные, нелокальные, производные и дискретные. Были получены различные решения, в частности солитонные и конечнозонные, вышеупомянутых уравнений [1-9]. В последние годы область применения солитонов еще более расширилась на многие сферы современной науки, такие как оптика, океанография, экономика и т.д. Это привело к интенсивному развитию (2+1) и (3+1)-мерных интегрируемых нелинейных уравнений, в частности НУШ, УДС, уравнение M-I, уравнение Ишимори и др. [10-19]. Интегрируемые нелинейные уравнения имеют широкий класс дисперсионных уравнений. Многие классические уравнения теории интегрируемых систем являются дисперсионными, в частности НУШ, КдФ и уравнение синус-Гордона. Их часто называют солитонными дифференциальными уравнениями с частными производными. Как было замечено выше, классическим методом решения этих систем является МОЗР. Общей чертой решений этих уравнений заключается в том, что локализованное возмущение превращается в ряд солитонов и дисперсионные волновые пакеты [20-27]. Еще одним важным классом интегрируемых дифференциальных уравнений с частными производными является бездисперсионные уравнения. Бездисперсионные уравнения относятся к интегрируемым уравнениям гидродинамического типа. В частных случаях, бездисперсионные уравнения образуются как бездисперсионные (квазиклассические) пределы интегрируемых солитонных уравнений. Бездисперсионные уравнения в (1+1)–, (2+1)– и (3+1)– размерностях являются квазилинейными системами следующих форм (1) (2) (3) Здесь - независимые переменные, - компонентный вектор, а - размерные матрицы и - некоторые действительные функций. В последнее время бездисперсионные уравнения интенсивно изучаются, так как они описывают различные задачи математической физики. Бездисперсионные уравнения эквивалентны условию совместности представления Лакса. В следствии чего, они могут дать отличную возможность получить аналитические результаты по изучению многомерных явлений разрушения волн. Например, в [28]-[38] был введен новый систематический метод для построения бездисперсионных систем в (3+1)-измерениях с использованием неизоспектральной пары Лакса, которые включают контактные векторные поля. В работах [15-16, 20-30, 35, 37] были построены и подробно изучены бездисперсионные пределы известных солитонных уравнений, таких как НУШ, КдФ, УДС, а так же некоторые недавние результаты в теории интегрируемых бездисперсионных уравнений [39-56]. Также, были построены и детально проанализированы представление Лакса для них. БДУ также обладают фундаментальными свойствами интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, в частности обладают бесконечными числами законов сохранения, бигамильтоновой структурой и солитонными решениями. В целом, решение интегрируемых нелинейных систем важно для понимания многих проблем фундаментальных наук. Решения типа солитона имеет исключительно нелинейный характер, соответственно не имеет аналогов в линейной теории. Применение дифференциальной геометрии в теорий уединенной волны, может дать непосредственные сведения о моделировании неэластичных процессов, рассеивания квантовых частиц в физике, волновых процессах в плазме, импульсах в нервных клетках в биологии, волн цунами и массе других природных явлении во многих областях современной науки. Таким образом, данный факт полностью подтвеждает и обосновывает научную значимость темы проекта. Новизна пректа: Новизна проекта, в сравнении с ранними исследованиями в этом направлении, заключается в том, что в рамках данного проекта впервые будут исследованы и получены бездисперсионные уравнения, вместе с тем будут установлены калибровочная и геометрическая эквивалентности, тем самым будет доказана их интегрируемость. С помощью числинных и аналитических методов, будут построены их решения, типа уединенной волны [38-57]. Вдобавок ко всему, также будут получены кривые и поверхности к найденным уравнениям. Как уже упоминалось выше, используя представление Лакса, будут построены солитонные поверхности. Эти новые данные могут найти свое непосредственное практическое применение в математике, физике и других смежных областях [1-69]. Новизна НИР за отчетный период: На данный период настоящего проекта были проанализированы и изучены бездисперсионные пределы классических уравнений теории солитонов: бездисперсионное уравнение Кортевега-де Фриза, бездисперсионное нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Каупа-Ньюэлла, уравнение Чена-Ли, уравнение Кодомцева-Петиашвилли и уравнение Дэви-Стьюартсонна. Изучены нелинейные эволюционные уравнения в многомерии: M-XII, M-LXXIV, M-LXX и M-LXXI. На основании этих знании были вычислены базовые параметры бездисперсионных уравнений и получены бездисперсионные переделы уравнений М-LXX и M-LXXI. А так же построенно представление Лакса для них. Тем самым была доказана интегрируемость бездисперсионных уравнений М-LXX и M-LXXI. Эти результаты являются фундаментом для дальнейших достижений целей проекта. жүктеу/скачать 0,71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|