Бездисперсионное уравнение Кортевега-де Фриза

Если исключить дисперсионный член в этом уравнении, мы получим чисто нелинейное уравнение

Это уравнение называется бездисперсионным УКдФ или уравнением Римана [4] (также называемое невязким уравнением Бюргерса, Хопфа и т.д.). Решения (1.2) можно записать в неявном виде

и эта зависимость вызывает нарушение формы волны, ведущее к переходу от консервативного к диссипативному поведению [5,6]. Как известно, баланс между дисперсионными и нелинейными членами в (1.1) отвечает за солитонные решения и интегрируемость (1.1). Интересно то, что эволюционное уравнение (1.2), по крайней мере до разрушения его волновых решений, является интегрируемой гамильтоновой системой, во многом подобной системе КдФ (1.1). Фактически такое поведение наблюдалось для бездисперсионных уравнений, описывающих несжимаемую невязкую жидкость со свободной поверхностью в приближении длинных волн, УБ [7]. Гамильтонова структура этого уравнения была получена и исследована Купершмидтом и Маниным [8], Маниным [9], Лебедевым и Маниным [10] и Лебедевым [11]. Как указали Олвер и Нутку [12], уравнение (1.2) имеет бесконечную последовательность нулевого порядка.

где и операторы определяются следующей формулой

В (1.3) скобка Пуассона для двух функций и имеет следующую вид