Математикалық негізгі ұғымдар, талдаулар, теоремалар

Мектеп курсында сапалы білім, саналы тәлім – тәрбие алуда оқушының ойлау қабілетінің мәні зор. Сондықтан мектепте оқытудың негізгі мақсаты оқушылардың ойлау қабілеттерін дамыту. Ойлау дегеніміз өзінің даму үрдісінде зор кәмілдікке жеткен материяның жемісі [44]. Кезкелген құбылыстың мазмұны мен түрлері болатыны диалектикадан мәлім. Жеке ойлардың құрылымын және олардың ерекше үйлесімдерін о й л а у т ү р л е р і деп атайды. Барлық ойлау түрлері өмірдегі нақты объекттер түрлерін бейнелейді. Ойлау түрлерінің дұрыстығы нақты өмірдегі объекттер мен құбылыстарды дұрыс, объективті түрде зерттеуді қамтамасыз етеді. Логика тұрғысынан ойлаудың негізгі түрлері: ұғымдар, талдаулар, тұжырымдар. Ойлаудың осы түрлерін мысалдар арқылы түсіндірейік. Нақты бір ойды білдіретін сөйлемдер қарастырайық:

1. а) Столдың бетін М жазықтығы деп қарастыруға болады.

ә) Кезкелген бағытталған кесінді вектор болады.

Келтірілген сөйлемдер белгілі бір мағыналы келісімді сипаттайды. Бұл сөйлемдер ұғымды білдіреді.

2. а) Кезкелген төртбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 4d.

ә) Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең.

Бұл сөйлемдер дәлелдеуді қажет ететін сөйлемдер яғни ойлаудың жемісі – талдауға жатады.

3. а) Егер а = b және b = с болса, онда а = с болады.

ә) Егер а – b > 0 болса, онда а > b болады.

Символикалық түрде жазылған бұл пайымдарда белгілі бір шартқа байланысты қорытынды жасалған. Бұл сөйлемдер тұжырымға жатады.

Математикалық ұғымдар. Біз бір объектіні екінші объектіден, олардың қасиеттері, белгілері, ерекшеліктері арқылы ажыратамыз. Зерттелетін объектілердің өзіне тән жеке қасиеттері және жалпы қасиеттері болады.

Жеке қасиеттері деп ол объектінің басқа объектіден ажыратын қасиеттерді атайды. Мысалы: а) Қазақстандағы ең әсем қала – Алматы. б) бір белгісізді екінші дәрежелі теңдеу – квадраттық теңдеу.

Белгілі бір объектінің жалпы қасиеттері оны басқа объектіден ажырататын да, ажыратпайтын да болуы мүмкін. Егер, бір қасиет сол объектіге ғана тән және онсыз бұл объект анықталмаса, оны елеулі қасиет немесе сол объектінің белгісі деп атайды.

Мысалы, параллелограммның төрт қабырғасы, төрт бұрышы бар, диагоналдары бір нүктеде қиылысады, қарама – қарсы қабырғалары тең, қарама – қарсы қабырғалары параллель, т.б.

Осы қасиеттердің ішінде елеулісі – соңғы қасиет, себебі параллелограммды қарама – қарсы қабырғаларының теңдігі және параллельдігі басқа математикалық объектілерден ажыратады.

Объектілердің қасиеттері адам санасында бейнелену үрдісінде, ойлаудың ерекше түрі – ұғым пайда болады. Сонымен ұғым: 1) зор кәмілдікке жеткен материяның жемісі; 2) материялдық дүниені бейнелейді; 3) ұғынудың жалпы құралы; 4) адамзаттың іс әрекетінің ерекшелігін білдіреді; 5) адам санасында ұғым сөз және символдар арқылы қалыптасады.

Берілген ұғымның барлық елеулі белгілерінің жиынтығы ұғымның мазмұнын құрайды. Берілген ұғым қолданылатын объектілер жиытығын ұғымның көлемі деп атаймыз. «Параллелограмм» ұғымының мазмұнын параллелограммнан, ромб, тіктөртбұрыш, квадрат секілді төртбұрыштар жиыны құрайды.

Ұғымдар әртүрлі тәсілдермен анықталады. Жақын тегі және түстік ерекшелігі арқылы анықталатын әдісті генетикалық әдіс деп атайды. Мысалы: «ромб - диагоналдары өзара перпендикуляр параллелограмм».

1) Генетикалық әдіс. Мысалы, шеңбер – жазықтықтағы берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын нүктелер жиыны.

2) Индуктивтік әдіс. Мысалы, арифметикалық және геометриялық прогрессияларды ; реккуренттік теңдіктен анықтайды.

3) Математикалық ұғымдар абстракция арқылы да анықталады.

Мысалы, натурал сан – эквивалентті ақырлы жиындар класының характерис-тикасы. Ұғымның көлемінің айқындалуы ұғымның классификациясы деп аталады. Тектік ұғымдар көлемін құрайтын объектілерді түр-түрге ажыратуды жүйелеу (классификациялау) деп түсінеміз. Натурал сандар ұғымының жүйесін төмендегі 2-схема арқылы көрсетуге болады.

Ұғымдарды анықтау және жүйелеу үрдісінде ұғымдар жүйесі пайда болады.

2-схема.

Математикалық талдаулардың негізгі түрлеріне аксиомалар, постулаттар, теоремалар жатады. Аксиома – (гректің-axioma – беделді сөйлем) дәлелдеусіз алынатын сөйлем. Ғылыми теорияны құрғанда сүйенетін бастапқы негізі – дәлелдеусіз алынған сөйлемдер жүйесі яғни аксиомалар. Ғылыми теорияның басқа тұжырымдары (теоремалары) осы аксиомаларға сүйеніп дәлелденеді. Аксиомалар және алғашқы (анықталмаған) ұғымдар математикалық теорияның негізгі фундаментін құрайды.

Постулат (рostulatum) - талап деген латын сөзінен шыққан. Белгілі бір ұғымға немесе ұғымдардың арасындағы қатынасқа қойылатын талаптар келтірілген сөйлемді постулат деп атайды. Көбіне постулат кейбір ұғымның немесе ұғымдар жүйесінің анықтамасының бөлігі болады.

Мысалы: «түзулердің паралельдігі» а//в екі постулатпен анықталады.

1) 2)

Әртүрлі математикалық объектілердің қасиеттерін зерттегенде, ақиқаттығын дәлелдеуді қажет ететін сөйлемдер құру қажеттігі туындайды.

Ақиқаттығы дәлелдеу арқылы анықталатын математикалық сөйлем теорема деп аталады. (грек сөзі theorema < theoreo - қарастырамын, ойланамын).

Теоремада біріншіден математикалық объект қандай шартпен қарастырылатындығы көрсетіледі. Бұл теореманың шарты - p. Екіншіден осы объект туралы не қорытылатындығы айтылады. Бұл теореманың қорытындысы – q.

Теореманы жалпы логикалық тілде былай жазуға болады: (pq).

Теореманы дәлелдеу үшін, оның шарты орындалады деп алып, қорытындысының ақиқаттығын логикалық жолмен дәлелдейміз.

Егер (p  q) теоремасын тура теорема деп алсақ, одан оған: 1) кері (q  p); 2) қарама - қарсы: ; 3) қарама - қарсыға кері: жаңа теоремалар құруға болады.

Мысалы: 1) Егер төртбұрыш тіктөртбұрыш болса, онда оның диагональдары тең . 2) Егер төртбұрыштың диагональдары тең болса, ол тіктөртбұрыш .

3) Егер төртбұрыш тіктөртбұрыш болмаса, онда оның диагональдары тең болмайды ( ). 4) Егер төртбұрыштың диагональдары тең болмаса, онда ондай төртбұрыш тіктөртбұрыш болмайды ( ). Осы келтірілген төрт теореманың барлығы ақиқат. Оған дәлелдеп жеңіл көз жеткізуге болады.

Теоремаларды дәлелдеу әдістері.

Теоремаларды дәлелдегенде оқушыларды дәлелдеу әдістеріне төселдіріп, оны есеп шығарғанда, басқа пәндерді оқығанда, ойлану үрдісіне пайдалануға үйрету мақсатын көздейміз. Олай болса, мұғалім оқушыларға теоремаларды дәлелдеуді үйретуге көңіл бөлуі керек.Теореманы оқушылардың бұрыннан білетін материалдарына сүйеніп, оларды негізге ала отырып дәлелдейтініміз белгілі. Дәлелдеу процесінде қарастырылып отырған теорема мен өтілген теоремалар арасындағы логикалық байланысты көрсету үшін бір-екі теорема алып, олар “бұрынғы” қандай теоремалар арқылы дәлелденетінін схема сызып түсіндірген жөн. Мұғалім әрбір келесі теореманы дәлелдеу үшін қандай өткен материалдарды қайталап келуді дер кезінде оқушыларға тапсырып отырғаны жөн.

Теореманы анализ әдісімен дәлелдегенде белгісізден бастап белгіліге қарай көшеміз, мұнда әрбір қадам жасауға толық дәлел келтіріледі және ол сапалы түрде орындалады. Синтез әдісімен теореманы дәлелдегенде біртіндеп белгіліден белгісізге көшеміз, элементар геометрияда теоремалардың көпшілігі осылайша дәлелденеді.

Теореманы қарсы жорып дәлелдеу әдісі.

Қарсы жорып дәлелдеу әдісі математикада қолданылады, сондықтан оған VI cыныптан бастап үйрету керек. Бұл әдісті қолданып теорема дәлелдегенде оқушыларға мынандай қиыншылықтар кездеседі: а) белгілі дәлелдерді пайдалана отырып тура жолмен дәлелдеуге үйренген оқушыларға, қарсы жорып дәлелдеу түсініксіз болады. б) көзбе-көз дұрыс емес деп (әсіресе сызба теріс сызылғанда) ұйғарудың қандай қажеттігі бар екендігі де оқушыларға түсініксіз болады. Мысалы, бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр туралы теореманы дәлелдегенде бір мұғалім, сызба жөнінде еш нәрсе айтпай «бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр бір Р нүктесінде қиылысады екен дейік»,- деп тақтаға екі перпендикулярды Р нүктесінде қиылыстырып сызған. «Р нүктесінен түзуге неше перпендикуляр түсіріледі?» дегенде кей балалар “төртеу”, кейбіреулері «Р нүктесінен бір де бір перпендикуляр түсірілген жоқ» деп жауап берген. Бұл сызбаның нені кескіндейтінін оқушылардың түсінбейтіндігі.