Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

88
Теорема.
Мысалы, 
 векторының коорди наталары вектор ақыры 
A
­ның коор­
динаталарымен толық анықталады, яғни вектор ақырының координаталарына 
тең болады. Егер 
A 
(
x
; 
y
) болса, 
 болады.
Координаталары  тең  болған  векторлардың  қасиеті  мен  белгісін 
дәлелдеусіз келтіреміз. 
Тең векторлар сәйкесінше тең координаталарға ие болады. Және, 
керісінше, егер векторлардың сәйкес координаталары тең болса, онда 
векторлар да тең болады.
1-қорытынды.
 Егер вектор ақыры ның координаталары вектордың коор­
динаталарымен тең болса,  ол жағдайда берiлген вектордың бас нүктесi коор­
динаталар басында бо лады (3­б сурет).
2-
 
қорытынды.
 Егер  (
a
1
; 
a
2
) вектор мен оның ақыры болатын 
B
(
x
2
; 
y
2
) 
нүкте сiнiң координаталары берiлген болса, ол жағдайда вектордың бас нүктесi 
A
(
x
1
; 
y
1
) нүктенiң координаталарын табу үшiн 
B
 нүктенiң коор ди ната ларынан 
(
a
1
; 
a
2
) векторының координаталарын азайтса жеткiлiктi: 
                                              
x
1
 = 
x
2
 –
 a
1
; 
y
1
 = 
y
2
 –
 a
2                                                                  
(1)
3-
 
қорытынды.
  Егер  (
a
1
; 
a
2
)  вектор  мен  оның  бас  нүктесi  болатын 
A
(
x
1
; 
y
1
) нүктесiнiң координаталары берiлген болса,  ол жағдайда вектордың 
ақыры 
B
(
x
2
; 
y
2
)  нүктенiң  координаталарын  табу  үшiн 
A
  нүктенiң  коор­
динаталарына  (
a
1
; 
a
2
) векторының сәйкес координаталарын қосу жеткiлiктi: 
                                                 x
2
 = 
x
1
 +
 a
1
; 
y
2 
= 
y
1
 +
 a
2
.                                    (2)
2-есеп. 
Егер 
A
(−2; 1), 
B
(0; 4)  және 
C
(4; 1)  болса, 
ABCD
  параллело­
грамның төртінші төбесінің координатасын табыңдар.
Шешуі. 
Егер
 ABCD
  төртбұрышы  параллелограмм  болса,  онда 
AB
=
=
DC
 болады.
 (х, у) 
– іздестіріліп жатқан 
D
 төбенің координатасы болсын, 
AB
 және 
 векторлардың координаталарын табамыз:
(0 ( 2); 4 1) (2;3)
AB
=
− −
−
=
,  
(4
; 1
)
DC
x
y
=
−
−
.
Сонымен, 4 − 
x
 = 2 және 1 − 
y 
=
 
3, бұдан 
x 
= 2 және 
y 
= −2.
Жауабы:___B_(1;_2)._4_-есеп.'>Жауабы:____D_(2;_−2)._3-есеп.'>Жауабы:
  
 
D 
(2; −2).  
3-есеп.
  A 
(–1;  5)  нүкте  (2; 
– 
3)  векторының  бас  нүктесi  болса,  бұл 
вектордың соңы 
B
­ның координаталарын тап.
Шешуi
.
  Берiлген  мәндердi  соңғы  қатынастарға  қойып,  iзделiнетiн 
координаталарды табамыз: 
x
2
 = –1 + 2 = 1,   
y
2
 = 5 + (–3) = 2. 
Жауабы:
 
B 
(1; 2).
4
-есеп.
 A 
(−3; 0) және 
B 
(5; −4) нүктелері берілген. 
AB
 және 
BA
 век­
торлардың координаталарын табыңдар.
http:eduportal.uz

89
Шешуi
. 
1)       =

 
 

 

(5 ( 3); 4 0)
(8; 4)
(8; 4)
AB
AB
AB
                               ;
2)       = −      
(8; 4) ( 8; ( 4)) ( 8; 4)
BA
AB
= −
= − − = − − −
= −
. 
Жауабы:
 (8; −4); (−8; 4).
Ескерту!
 
Бірер вектордың координаталары белгілі болса, ондай жағ­
дайда  оған  қарама­қарсы  вектордың  координаталарын  қайта  есептеп 
отырмастан,  берілген  вектордың  координаталары  шамасын  қарама­
қарсыға өзгертудің өзі жеткілікті.
 
 1. 
1) Берілген вектордың санға көбейтіндісі не деп аталады?
 
2) Вектордың санға көбейтіндісінің қасиеттерін айтыңдар.
 
3) Координаталар осіндегі бірлік векторлар қалай белгіленеді?
 2.
 
Ұзындығы  2  см­ге  тең  болатын    векторды  сал.  4 ,  –2 ,  3 ,  
  –1,5 ,  1,5  векторларды тап.
 3. 
k
­нiң қандай мәндерiнде   (  
≠
 0) және 
k
 векторлар:   
      1)  бағыттас; 2) қарама­қарсы бағытталған; 3) тең болады?
 4.
 
ABCD
  параллелограмда 
O
  —  диагональдардың  қиылысу  нүктесi, 
K 
нүкте — 
CD
 қабырғасының ортасы. 
 мен 
 векторларын 
 
және
AD
b
=
 векторлары арқылы өрнекте.
 5.  C
 нүкте – 
AB
 қабырғасының ортасы.  Өрнекте: 1) 
 векторды 
 
вектор арқылы;  2) 
AB
 векторды 
 вектор арқылы; 3) 
AC
 векторды 
BA
 вектор арқылы.
 6. 
Өрнектердi ықшамдаңдар: 
 
1)
(
) (
)
AB
AC
BA CB
+
+
+
 
 
; 
2)
AB DB CA DA
−
−
+
   
.
 7. 
1) 
A 
(−1;  4)  және
 B 
(3;  9);    2) 
A 
(2;  −5)  және
 B 
(1; −1);    3) 
A 
(3;  2)  және 
B 
(3; 2) нүктелер берілген. 
 вектордың координаталарын табыңдар.
 8. 
Егер: 1) 
(7; 24)
AB
; 2) 
A 
(0; −1) және 
B 
(3; −5); 3) 
A 
(2; −4) және 
B 
(2; −1) 
болса, 
AB
 вектордың ұзындығын табыңдар.
 9.
  Егер: 1) 
A 
(−2; −3), 
B 
(−3; −1); 2) 
A 
(
m
; 
n
), 
B 
(−
m
; −
n
) болса, 
BA
 вектор­
дың координаталары неге тең болады?
10.  A 
(−1;  −3), 
B 
(2;  −4), 
C 
(−3;  −1)  және 
D 
(5;  2)  нүктелер  берілген. 
 
және 
 векторлары тең бе?
11. 
( ;24)
a m
 вектордың ұзындығы 25­ке тең.  
m
­ны табыңдар.
12.  A
 (5; −3) нүкте  (−7; −8) вектордың басы болса, бұл вектордың соңы 
(
В
)­ның координаталарын табыңдар.
13. 
Егер: 1) 
A
(−3; 1) және 
B
(5; −5); 2) 
A
(12; 0) және 
B
(0; −5) болса, 
AB
 век­
торының ұзындығы қандай болатынын табыңдар. 
?
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар

 
 

 

(5 ( 3); 4 0)
(8; 4)
(8; 4)
AB
AB
AB
http:eduportal.uz

90
Теорема.
Координаталарымен  берілген  векторларды  қосу,  азайту  және  көбейту 
амалдарымен танысамыз.
1. Координаталарымен берілген векторларды қосу.
Анықтама. 
(
a
1
; 
a
2
)  және 
(
b
1
; 
b
2
) 
векторларының  қосындысы 
деп  координаталары  c
1
 = 
a
1
 + 
b
1
, 
c
2
 = 
a
2
 + 
b
2
  , 
(
c
1
; 
c
2
)  болған  векторды 
айтады.
Сөйтіп,  
1
2
1
2
1
1
2
2
( ;
)
( ;
)
(
;
)
a a a
b b b
c a
b a
b
+
=
+
+
немесе
1
2
1
2
1
1
2
2
( ;
) ( ;
) (
;
)
a a
b b
a
b a
b
+
=
+
+
Кез келген  
 
(
x
1
; 
y
1
),
 
(
x
2
; 
y
2
)
 
және
 
(
c
1
; 
c
2
)
 
векторлар үшін төмендегі 
теңдіктер орынды болады:
1)
a b
b a
+ = +
;   
2)
(
)
(
)
a b
c
a
b c
+
+ = +
+
;    
3)
0
a
a
+ =
.
Бұны дәлелдеу үшін теңдіктің оң және сол жақ бөлімдерінде тұрған век­
торлар координаталарының сәйкес координаталарын салыстыру жеткі лікті.
A
, 
B
, 
C
  нүктелері  қандай  болса  да,  төмендегі  вектор  теңдігі 
орынды болып саналады: 
AB + BC = AC
Дәлелдеу.
 
A
(
x
1
; 
x
1
), 
B
(
x
2
; 
y
2
), 
C
(
x
3
; 
y
3
)  –  бе­
ріл ген  нүктелер  (1­сурет).  Қосылғыш  век тор ­
ларды  ко ор динаталар  арқылы  өрнектеп,  таба­
мыз:
2
1
2
1
(
;
)
AB x
x
y
y
−
−
, 
3
2
3
2
(
;
)
BC x
x
y
y
−
−
.
Анықтамаға орай, қосынды вектордың ко ор ­
динаталарын анықтау үшін 
 және 
 вектор­
лардың сәйкес координаталарын қосамыз:
x
2
 − 
x
1 
+ 
x
3
 − 
x
2 
= 
x
3
 − 
x
1
, 
 y
2
 − 
y
1 
+ 
y
3
 − 
y
2 
= 
y
3
 − 
y
1
.
Ал мынау  
 вектордың координаталары: 
3
1
3
1
(
;
)
AC x
x y
y
−
−
.
Тең векторлар туралы теоремаға орай: 
AB
BC
AC
+
=
 
.
Теорема дәлелденді.
2­суретті  пайдаланып,  жоғарыдағы  теңдіктің  дұрыстығын  дәлелдеуді 
өздеріңе ұсынамыз. 
Сөйтіп,
  векторларды  қосу  үшін  олардың  сәйкес  координаталарын 
қосу дың өзі жеткілікті екен.

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: