1-теорема. 2-теорема. ҮШБҰРЫШТЫҢ ҒАЖАЙЫП НҮКТЕЛЕРІ Үшбұрыштың төрт ғажайып нүктесін қарастырайық.
1. Үшбұрыш биіктіктерінің қиылысу нүктесі. Үшбұрыштың биіктіктері (яки олардың жалғасы) бір нүктеде қиылысады. Дәлелдеу. AD ,
BF және
CE –
ABC үшбұ-
рышының биіктіктері
(1
а сурет). Үшбұ рыш-
тың төбелері арқылы қарама-қарсы жатқан қа -
бырғаларына параллель түзулер жүргізіп, қа-
бырғалары
АВС үшбұрышының биіктіктеріне
перпендикуляр болатын жаңа
A 1
B 1
C 1
үшбұры-
шын саламыз. Жасалуына орай,
C 1
BCA жана
B 1
ABC төртбұрыштары – параллелограмм, бұ-
дан
C 1
A =
BC және
BC =
AB 1
екені келіп шығады.
Демек,
А нүктесі –
B 1
C 1
қиюшының ортасы. Нақ
сол сияқты
В нүктесі –
A 1
C 1
дің ортасы, ал
C
болса
A 1
B 1
дің ортасы екені дәлелденеді.
Сонымен
AD ,
BF және
CE биіктіктері
A 1
B 1
C 1
үшбұрышының орта перпендикулярын-
да жатады. Демек, олар бір нүктеде қиылыса-
ды. Үшбұрыштың биіктіктерінің қиылыспауы
да мүмкіндігін атап өтеміз. Доғал бұрышты
үшбұ рыштың биіктіктері олардың жалғасында
бір нүктеде қиылысады, бірақ биіктіктердің өзі
қиылыспайды (1 –
б сурет).
Үшбұрыш биіктіктерінің (немесе олар дың
жалғасының) қиылысу нүктесі оның
орто ор та лығы деп те аталады.
Есеп. Үшбұрыш қабырғаларының қайсысы
ортоорталыққа жақын орналасқан?
Шешуі. ABC үшбұрышында
AC >
BC болсын (2-сурет). Үшбұрыштың
CD биіктігі үшін
AD >
BD теңсіздік болады. Демек,
∠
ACD >
∠
BCD
теңсіздігінің орындалуын пайдаланамыз. Бұл – биіктіктің нүктелері сол
төбеден шығатын қабырғалардың ең кішісіне жақын орналасқанын біл-
діреді. Демек, үшбұрыштың ортоорталығы кіші қабырғаға таяу орналаса-
ды.
