147
3-теорема.
Дәлелдеу. ABC
үшбұрышында
AA
1
,
BB
1
және
CC
1
медианалар жүргізілген делік (3-сурет). Олардың бірер
О нүктеде қиылысатынын және
AO
:
OA
1
=
BO
:
OB
1
=
C
O
:
OC
1
= 2 : 1 болатынын дәлелдейміз.
O
–
AA
1
және
CC
1
медианаларының қиылысу нүк-
тесі,
D
және
E
сәйкесінше
AO
және
CO
қиюшылары-
ның ортасы болсын.
C
1
A
1
қиюшы
ABC
үшбұрышы-
ның орта сызығы және үшбұрыштың орта сызығының
қасиеттеріне орай:
C
1
A
1
||
AC
,
C
1
A
1
= 0,5
AC
. Бұдан тыс
DE
–
AOC
үшбұрышының орта сызығы және сол қа-
сиетке орай:
DE
||
AC
,
DE
= 0,5
AC
. Демек,
DC
1
A
1
E
төрт-
бұрышының екі қабырғасы параллель және тең. Со-
нымен
DC
1
A
1
E
– параллелограмм, оның
DA
1
және
C
1
E
диагональдары қиылысу нүктесінде тең екіге бөлінеді.
Демек,
AD
=
DO
=
OA
1
,
CE
=
EO
=
OC
1
, яғни
AA
1
және
CC
1
медианалар
О
нүктеде 2 : 1 қатынаста бөлінеді.
Нақ сол сияқты үшінші
BB
1
медиана –
AA
1
және
CC
1
медианалардың әрқайсысымен қиылысу нүктесін-
де 2 : 1 қатынасында бөлінетіні дәлелденеді. Әрбір медиана үшін бұндай
бөліну бірыңғай және үш медиана бір нүктеде қиылысады.
Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі
центроид
немесе
ауыр
лық орталығы
деп те айтылады. Бұндай атауларды төмендегі тәжірибе
арқылы тексеріп көріңдер: картон қағаздан ерікті үшбұрыш қиып алыңдар
және оның медианаларын жүргізіңдер, содан соң инені яки өткір ұшты
қаламды медианалардың қиылысу нүктесіне қойып, тепе-теңдікте ұстауға
әрекет жасаңдар (4-сурет).
3. Үшбұрыш биссектрисаларының қиылысу нүктесі.
Үшбұрыштың үш биссектрисасы бір нүктеде қиылысады.
Дәлелдеу. АВС
үшбұрышының
AA
1
және
BB
1
биссектрисалары қиылыс қан
нүктесін О-мен белгілейік. Ол нүк те ден
сәйкесінше
AB
,
BC
және
CA
түзулеріне
OK
,
OL
және
OM
перпендикулярларын
жүргіземіз (5-сурет). Бізге белгілі бол-
ғанындай, бұрыш биссектрисасының
ерік ті нүктесінен бұрыш қабырғала-
рына дейінгі қашықтықтар тең. Соның
негі зінде
OK
=
OK
және
OK
=
OL
. Сондықтан
ON
=
OL
, яғни
О
нүкте
АСВ
бұрыштың қабырғаларынан тең алыстайды және, демек, сол бұрыштың
CC
1
биссектрисасында жатады. Бұдан АВС үшбұрышының үш биссектрисасы да
О нүктеде қиылысатыны келіп шығады. Теорема дәлелденді.
Достарыңызбен бөлісу: 
