Кесінді  ортасының  координаталары  төмендегі  формулалар

71
лелограмм  болатыны  белгілі.  Берілген 
  ABCD 
төртбұрышының
  AC 
және
 
BD
 диагональдары
+
=
=
–2 4
2
1
x
,  
1 1
2
1
y
+
=
=
.
BD
 кесіндінің ортасы төмендегідей координаталарға ие:
0 2
2
1
x
+
=
=
,  
4 ( 2)
2
1
y
+ −
=
=
.
Сонымен, 
AC
 жанa 
BD 
диагональдарының қиылысу нүктесі ортақ (1; 1) 
координаталарға  ие  болып  шықты.  Демек,  параллелограмның  белгілеріне 
орай,
 ABCD
 төртбұрышы – параллелограмм. Осыны дәлелдеу талап етілген 
болатын.
 1.  
1) Координата осьтері және олардың қиылысу нүктесі қалай аталады?
 
2)  Координаталар  жазықтығы  деген  не?  Жазықтықтағы  нүктенің 
координаталары дегенде нені түсінеміз? 
 2. 
A(4;  -5) 
нүктеден  координаталар  осьтеріне  перпендикулярлар  жүргі-
зілген. Осы перпендикулярлар негізінің координаталарын жазыңдар.
 3. 
Егер:  1) 
x 
= −4, 
y 
= −6; 2) 
x 
= −3, 
y
 = 5; 3) 
x
 > 0, 
y
 < 0; 4) 
x
 > 0, 
y
 > 0 болса, 
A
(
x
; 
y
) нүктенің қайсы ширекте жататынын анықтаңдар.
 4. 
Егер:  1) 
A
(−12;  −3), 
B
(−8;  1);  2) 
A
(4;  −11), 
B
(−4;  0)  болса, 
AB
 
кесіндісі ортасының координаталарын табыңдар.
 5.  C
  нүкте  – 
AB
  кесіндінің  ортасы.    Егер   
A
(2; −3), 
C
(0,5;  1)  болса, 
B
 
нүктенің координатасын табыңдар.
 6.  A
(−4; 0), 
B
(−2; −2), 
C
(0; −6) және 
D
(−2; −4) нүктелер берілген.  
ABCD 
төртбұрышының параллелограмм екенін дәлелдеңдер.
 7. 
Егер:  1) 
A
(−6;  2), 
B
(4;  4);  2) 
A
(−8;  −4), 
B
(−1;  3)  болса, 
AB
  кесіндісі 
ортасының координаталарын табыңдар. 
 8.  C
 нүктесі – 
AB
 кесіндінің ортасы, ал 
D
 нүктесі 
BC
 кесіндінің ортасы. 
Егер:  1)  1) 
A
(−3;  3), 
B
(5;  −1);  2)
 
A
(−2;  −1), 
C
(2; 3)  болса, 
D
  нүктенің 
координаталарын табыңдар.
?
Біліп қойған пайдалы!
Жер 
бетіндегі 
нүктенің 
географиялық 
бойлығы  мен  ендігі  сол  нүктенің 
географиялық 
координаталары
 деп аталады.  Жер бетіндегі әрбір 
нүктеге екі мөлшер – оның географиялық бойлығы 
мен  ендігі  сәйкес  қойылады.  Ал  бұған  керісінше, 
екі  мөлшер  –  географиялық  бойлық  пен  ендік 
бойынша  жер  бетіндегі  нақты  бір  нүкте  табылады. 
Бұнда  параллельдер  мен  меридиандар  тікбұрышты 
координаталар жүйесіндегі абцсисса және ордината 
осьтері міндетін атқарады. 
Мәселен, Ташкент қаласы 069,20 шығыс бойлық 
(=  69º)  пен  041,26  солтүстік  ендікте  (=  41º),  ал  Самарқант  қаласы  066,93 
шығыс бойлық (= 67º) пен 039,65 солтүстік ендікте (= 40º) орналасқан.
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
http:eduportal.uz

72
T еорема.
A(x
1
;  y
1
)  және 
B(x
2
;  y
2
)  нүктелері  арасындағы  қашықтық 
төмендегі формулалар бойынша есептеледі:
 
2
2
2
1
2
1
AB
x
x
y
y
=
−
+
−
(
)
(
)
.
Дәлелдеу. 
Алдымен
  x
1 
≠
 x
2
 
және 
y
1 
≠
 y
2
.  жағдайын қарастырамыз. Бе-
ріл ген 
А
  және 
В
  нүктелер  арқы лы 
координаталар  осьтеріне  перпен ди-
куляр жүргіземіз және олардың қиы-
лысу  нүктесін 
С
-мен  белгілейміз 
(1-су рет). 
А
  және 
С
  нүктелері  ара-
сындағы  қашықтық 
-ге  ал 
B
  және 
C
  арасындағы  қашықтық    
-ге 
тең. 
Тікбұрышты 
АВС
  үшбұрышына  Пифагор  тео-
ре  масын 
қолданып 
табамыз: 
AB 
2
 = (
x
2
 – 
x
1
)
2
 + (
y
2
 – 
y
1
)
2
  немесе  
=
−
+
−
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
. (1)
Нүктелер арасындағы қашықтық формуласы 
x
1 
≠
 x
2
 
және 
y
1 
≠
 y
2
 жағдай 
үшін  қарастырылған  болса  да,  ол  басқа  жағдайлар  үшін  де  өз  күшін 
сақтайды. Расында да, 
x
1 
=
 x
2
 және 
y
1 
≠
 y
2
 болса, 
AB = 
 (1) формула да 
сол нәтижені береді.  
x
1 
≠
 x
2
 
және 
y
1 
=
 y
2
 жағдайы да осылай қарастырылады.  
x
1 
=
 x
2
 және 
y
1 
=
 y
2
 жағдайда 
A 
және 
B
 нүктелері бетпе-бет түседі  және (1) 
формула 
AB
 = 0 нүктені береді.
1-есеп. 
Төбелері
 
 
 
A
(−2;
 
1), 
B
(0; 4), 
C
(4; 1) және 
D
(2; −2) нүктелерде 
болған  
ABCD 
төртбұрышының параллелограмм екенін дәлелдеңдер.
Шешуі.   
Параллелограмның  2-белгісіне  орай,  төртбұрыштың  қарама-
қарсы қабырғалары өзара тең болса, бұл төртбұрыш параллелограмм екені 
белгілі. Берілген 
ABCD
 төртбұрышының қабырғаларының ұзындықтарын 
табамыз:
=
− −
+
−
=
2
2
(0 ( 2))
(4 1)
13
AB
; 
=
−
+ −
=
=
2
2
(4 0)
(1 4)
25
5
BC
;
=
−
+ − −
=
2
2
(2 4)
( 2 1)
13
CD
; 
=
− −
+ − −
=
=
2
2
(2 ( 2))
( 2 1)
25
5
AD
.
Сонымен,  
AB
 = 
CD
 және 
BC
 = 
AD
, яғни параллелограмның белгілеріне 
орай, 
ABCD
 төртбұрышы – параллелограмм.
1. Екі нүктенің арасындағы қашықтық.
A
(
x
1
; 
y
1
)
A
2
(0; 
y
1
)
B
2
(0; 
y
2
)
B
(
x
2
; 
y
2
)
A
1
(
x
1
; 0)
B
1
(
x
2
; 0)
C
x
O
y
1
32–33. ЕКІ НҮКТЕНІҢ АРАСЫНДАҒЫ ҚАШЫҚТЫҚ.
 ШЕҢБЕР ТЕҢДІГІ
http:eduportal.uz

73
Теорема.
2.  Жазықтықтағы  пішіннің  теңдігі. 
Жазықтықтағы  пішіннің  
Декарт координаталар жүйесіндегі 
теңдігі
  деп пішінге тиесілі кез келген 
нүкте нің  координаталары  қанағаттандыратын  екі   
х,  у 
  белгісізі  бар  тең-
дікті айтады. Керісінше, бұл теңдікті қанағаттандыратын кез келген екі сан 
пішіннің бірер нүктесінің координаталары болады.

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: