Нейманның “шығарып тастау” әдісі

Д.Н. Шоқаев 
 
 
38
Осыны  еске  ала  отырып, 


y
,
x
A
  нүктесінің 
 
x
f
y 
  қисығы-
ның астында жату ықтималдығын табайық: 
.
)]
a
b
(
M
[
)]
a
b
(
M
[
dx
)
x
(
f
)}
x
(
f
y
{
P
b
a
1
1








 


y
,
x
A
  нүктесінің 
 
x
f
y 
  функциясының  астындағы 
]
b
,
a
[


  аралығында  жату  ықтималдылығын  да  аудандардың 
қатынасы арқылы табуға болады: 
)).
a
b
(
M
/(
)
dx
)
x
(
f
(
)}
x
(
f
y
,
b
x
a
{
P
b
a










 
Енді шартты ықтималдылығын есептейік: 
.
dx
)
x
(
f
)}
x
(
f
y
{
P
)}
x
(
f
y
,
b
x
a
{
P
)}
x
(
f
y
/
b
x
a
{
P
b
a
















 
Дәлелдеу керегінің өзі де осы. 
Шығарып тастау әдісінің алгоритмі: 
1-қадам. 
1
1


j
,
i
 деп алайық. 
2-қадам. 

  кездейсоқ  шамасының 
1
2 
j
z
  және 
j
z
2
  тәуелсіз 
нақтыламаларын табу. 
3-қадам. 
)
a
b
(
z
a
x
j
j



1
2
  және 
j
j
z
M
y
2


  координат-
тарын есептеу. 
4-қадам. 
 
j
j
x
f
y 
  шартын  тексеру.  Бұл  шарт  орындал-
маған жағдайда 6-шы қадамға көшу. 
5-қадам. 
j
i
x
x 
 және 
1

 i
i
 деп алайық. 
6-қадам. 
1

 j
j
 болсын. 
7-қадам.  Есептеудің  аяқталу,  яғни 
n
i    шартын  тексеру.  
Шарт орындалмаған жағдайда 2-ші қадамға көшу. 
8-қадам. 
 
j
x
 нақтыламаларын баспалау. 
 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
39
Нейманның  “шығарып  тастау”  әдісінің  әсерлілігі, 


y
,
x
A
 
нүктесінің 
 
x
f
y 
  қисығының  астында  жату  ықтималдығына 
тура пропорционалды, яғни 
 






.
 
a
b
M
x
f
y
P
1




 
Демек,  бұл  әдістің  әсерлілігі  үлкен  болуы  үшін,  M -нің 
мәнін мүмкіншілігінше кішірек қылып алу керек, яғни 
 
.
 
b
x
a
 ,
x
f
sup
M



 
3.2-мысал. 
 
 
5
;
1
2
2



x
,
x
x
x
f
 болсын. 
Шешуі: 
M
 параметрін табамыз: 
 


.
 
b
x
a
,
 
x
x
sup
x
f
sup
M






35
2
2
 
2-қадамда 
2
0
75
0
2
1
,
z
;
,
z


  екенін таптық деп ұйғарайық. 
Сонда 
 
 
.
 
x
f
y
 ,
x
f
 ,
,
y
 ,
,
x
24
7
24
16
4
2
7
2
0
35
4
4
75
0
1
1
1
1
1














 
Демек, 
4
1

 x

. 
Нейман 
әдісінің 
маңызды 
артықшылығы 
кездейсоқ 
шаманың  үлестірім  заңын  аналитикалық  түрде  де,  график 
түрінде де беруге болатын мүмкіншілігінде жатыр. 
 
3.4. Шектік теоремалар әдісі 
 
Кездейсоқ  шамаларды  модельдеудің  бұл  әдісі  ықтимал-
дықтар  теориясының  белгілі  шектік  теоремаларының  кейбір 
шарттарын  жуықтап  елестетуге  негізделген.  Мысалы,  ықтимал-
дықтар  теориясының  орталық  шектік  теоремасы  қалыпты 
үлестірім  заңына  бағынатын  кездейсоқ  шаманы  модельдеуге 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
40
мүмкіндік  береді.  Бұл  теореманы  алғаш  рет  Лаплас  тұжырым-
даған.  Оны  толықтырып,  жетілдіруге  көптеген  атақты  мате-
матиктер  атсалысты,  солардың  ішінде  П.  Чебышев,  А.А.  Марков 
және А.М. Ляпуновтар да бар. 
Орталық шектік теоремасының келесі тұжырымын келтірейік. 
3.3-теорема. 
n
,...,
,



2
1
  –  бір  ғана  үлестірім  заңына 
бағынған, өзара тәуелсіз және мөлшерленген кездейсоқ шамалар 
болсын.  Сонда 


n
  жағдайында,  (3.6)  формула  арқылы 
табылған мөлшерленген 
н

 шамасының 



n
i
i
н
n
1
1


                                    (3.6) 
үлестірім заңы, ықтималдық тығыздығы 
 
2
2
2
1
x
e
x
f









 
болатын мөлшерленген қалыпты үлестірім заңына жақындайды. 
Бұл 
теореманың 
дәлелдемесін 
ықтималдықтар 
теориясы 
оқулықтарынан  (мысалы  [12])  табуға  болады.  Егер  (3.6) 
формуласында 

 кездейсоқ шамасының орнына математикалық 
үміті 
2
1

z
m
  және  дисперсиясы 
12
1
2

t

-ге  тең, 

  базалық 
кездейсоқ  шамасын  қолданса,  формуланы  мына  түрге  келтіруге 
болады: 






n
i
i
н
.
n
1
1
2
3


                              (3.7) 
Демек, (3.7) формуласымен, үлкен 
n
-нің мөлшерін    алған 
жағдайда,  параметрлері 
0

x
m
  және 
1
2

x

  болатын,  қалыпты 
үлестірімді кездейсоқ шаманың нақтыламаларын табуға болады. 
Жүргізілген  зерттеулер 
12

n
-ге  тең  болғанның  өзінде  (3.7) 
қосындысының  қатесі 
3
10
9


-тен  аспайтынын  дәлелдеді. 
Сондықтан,  іс  жүзінде 
x
m   және 
2
x

  параметрлері  берілген 
қалыпты  үлестірім  заңын  модельдеу  үшін  мына  формула  жиі 
қолданылады: 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
41
.
z
m
x
i
i
x
x













12
1
6

                            (3.8) 
Мұндағы 
z
  және 
x
  базалық 

  және  модельденетін 

 
кездейсоқ шамалардың нақтыламалары. 
Осы әдістің алгоритмі мына қадамдардан тұрады: 
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам. 
0

S
 және 
1

i
 деп алайық. 
3-қадам. 

 кездейсоқ шамасының 
z
 нақтыламасын алу. 
4-қадам. 
z
S
S


 және 
1

 i
i
 болсын. 
5-қадам. 
12

i
  шартын  тексеріп,  орындалса  3-ші  қадамға 
көшу. 
6-қадам.  Кездейсоқ 

  шамасының  кезекті 
j
x
  нақтылама-
сын есептеу. 


6



S
m
x
x
x
j

. 
7-қадам. 
1

 j
j
 болсын. 
8-қадам. Есептеудің аяқталу, яғни, 
n
j 
 шартын тексеру. 
Мұндағы 
n  – алдын ала берілген қалыпты үлестірім заңы-
ның  нақтыламаларының  керекті  саны.  Бұл  шарт  орындалмаған 
жағдайда 2-қадамға көшу. 
9-қадам. 
 
j
x
 нақтыламаларын баспалау. 
 
3.5. Композиция әдісі 
 
Егер  кездейсоқ 

  шамасының  үлестірім  функциясының 
түрі  күрделі  болса,  оны  көп  жағдайларда  бірнеше  қарапайым 
үлестірімдердің композициясы ретінде қарастыруға болады: 
 
 
.
 
x
F
C
x
F
m
k
k
k



1
                                (3.9) 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
42
Мұндағы 
0

k
C
.  (3.9)  формуласынан 


k
  ұмтылғанда 
мына теңдікті аламыз:  
 .
 
C
m
k
k



1
1  
Демек, 
 
k
A  оқиғаларының толық тобын құруға болады: 
.
 
C
...
C
C
A
...
A
A
m
n








2
1
2
1
 
Мұндағы 
 
.
A
P
C
k
k

 
Бұл әдіске негіз бола алатын мына теореманы тұжырымдайық. 
3.4-теорема. 
1
z   және 
2
z   базалық 

  кездейсоқ  шаманың 
тәуелсіз  нақтыламалары  болсын.  Егер 
1
z -ң  көмегімен,  оқиға-
лардың  толық  тобын  модельдеу  арқылы  табылған, 
k
A   оқиғасы-
ның  нөмірін  анықтасақ,  сонан  соң 
 
2
z
x
F
k

  теңдеуінен 
x  
санын  тапсақ,  бұл  сан  берілген 
 
x
F
  үлестірім  функциясымен 
сипатталатын 

 кездейсоқ шамасының нақтыламасы болады. 
Дәлелдеуі: 
Белгілі 
толық 
ықтималдық 
теоремасын 
қолданып, 

  кездейсоқ  шамасының  үлестірім  функциясын 
есептейік: 


).
x
(
F
C
)
x
(
F
)
A
(
P
A
/
x
P
)
x
(
P
)
x
(
F
k
m
k
k
k
m
k
k












1
1


 
Осы  өрнектен  теореманың  дәлелдемесі  анық  көрініп  тұр. 
Композиция  әдісін  іс  жүзінде  қолданғанда  үлестірім  фунция-
сының  орнына  модельденетін 

  кездейсоқ  шамасының  тығыз-
дық функциясымен жұмыс істеген қолайлы. Бұл жағдайда 



m
k
k
k
)
x
(
f
C
)
x
(
f
1
                               (3.10) 
қосындысының 
k
C   коэффициенттерін 
 
x
f
  функциясының 
астындағы  (3.2-сурет),  мөлшері  бірге  тең  ауданның  бөліктері 
ретінде қарауға болады. 
 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
43
 
 
3.2-сурет 
 
3.4.  теоремасының  шартын  орындайтын  алгоритм  келесі 
қадамдардан тұрады [13]: 
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам. 

  кездейсоқ  шамасының 
1
2 
j
z
  және 
j
z
2
  нақты-
ламасын алу керек. 
3-қадам. 
1
2 
j
z
-ң көмегімен 
k
A  оқиғасын шығару. 
4-қадам.
)
x
(
f
k
  тығыздық  функциясына  сәйкес 
j
x
  нақты-
ламасын модельдеу. 
5-қадам. 
1

 j
j
 болсын. 
6-қадам. 
n
j 
  шартының  орындалуын  тексеру,  мұндағы 
n
-берілген 

  кездейсоқ  шамасының  нақтыламаларының 
керекті саны. 
7-қадам. Алынған нақтыламаны баспалау. 
 
3.6. Арнаулы үлестірімдерді модельдеу 
 
Жиі кездесетін қалыпты, логарифмді-қалыпты, бірқалыпты, 
экспоненциалды,  сызықты  және  гамма  үздіксіз  үлестірім 
заңдарын модельдеу әдістерімен танысайық. 
 
 
 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
44
3.6.1. Қалыпты үлестірім 
 
Қалыпты  немесе  Гаусс  үлестірімі  маңызды  және  жиі 
қолданылатын үздіксіз үлестірімдердің бірі. 
Қалыпты үлестірімнің тығыздық функциясы: 
 
2
2
2
2
1
x
x
)
m
x
(
x
e
x
f






, 
.
x





 
Математикалық үміті: 
.
m
)
(
M
x


 
Дисперсиясы: 
.
)
(
D
x
2



 
Қалыпты үлестірімді кездейсоқ 

 шаманы модельдеу үшін 
бірнеше  алгоритмдер  қолдануға  болады.  Солардың  бірі,  шектік 
теоремаларын 
қолдану 
әдісіне 
байланысты, 
3.4-тарауда 
қарастырылған. 
Басқа  бір  әдісті  американдықтар  Т.  Бокс  пен  М.  Мюллер 
ұсынды [3,5]. Бұл әдіс орайлық  координаттар әдісі деп аталады. 
Енді осы әдіспен танысайық. 

 және 

 – мөлшерленген қалыпты үлестірім заңы бар екі 
тәуелсіз  кездейсоқ  шама  болсын.  Олардың  нақтыламаларын 
сәйкесінше 
x   және  y   деп  белгілейік. 

  мен 

  кездейсоқ 
шамаларын  A   нүктесінің  декарт  жазықтығындағы  координат-
тары  ретінде  бейнелейік.  Сонда 
A
  нүктесінің  орайлық 
координаттарын мына өрнектерден табамыз: 
2
2




R
 және  
.
arctg




 
Бұл  екі  жаңа  кездейсоқ  шамаларының  тығыздық  функция-
ларын келтірейік [2]: 
2
2
/
r
re
)
r
(
f


 және 
.
)
(
f


2
1

 
Мұндағы 
r   мен 

  –  R   және 

  кездейсоқ  шамаларының 
нақтыламалары. 
Енді,  кездейсоқ  шамаларын  модельдеу  әдістерінің  бірімен, 
мысалы,  кері  функция  әдісімен 
r   және 

  нақтыламаларын 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
45
модельдеп,  солар  арқылы  A   нүктесінің  декарт  координат-
тарының нақтыламалары 
x
 пен 
y
-ті табуға болады: 
.
z
sin
z
ln
sin
r
y
;
z
cos
z
ln
cos
r
x
2
1
2
1
2
2
2
2










                   (3.11) 
Қалыпты  заңдылығы  бар  кездейсоқ  шаманың  нақты-
ламасын  модельдеу  үшін  (3.11)  формулаларының  кез  келгенін 
қолдана аламыз, мысалы, олардың біріншісін: 
.
z
cos
z
ln
m
x
j
j
x
x
j
2
1
2
2
2






 
(3.11) формуламен  есептеу  көп уақытты талап ететіндіктен 
американ  ғалымы  Г.Марсалья  орайлық  координаттар  әдісінің 
келесі алгоритмін ұсынды. 
Марсалья алгоритмі. 
1-қадам. 
1
1


i
,
j
 деп алайық. 
2-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
1
2 
j
z
  және 
j
z
2
 
нақтыламаларын модельдеу. 
3-қадам. 
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
V
V
S
 ,
z
V
,
z
V
j
j






  және 
1

 j
j
 
деп алайық. 
4-қадам. 
1

S
 шартын тексерейік. Бұл шарт орындалмаған 
жағдайда 2-ші қадамға көшу. 
5-қадам. 
i
x  және 
i
y  нақтыламаларын 
S
S
ln
V
m
y
,
S
S
ln
V
m
x
x
x
i
x
x
i
2
2
2
1








                         (3.12) 
формулаларымен есептеу керек. 
6-қадам. 
1

 i
i
 болсын. 
7-қадам. 
n
i    шартын  тексеру  керек,  мұнда 
n
-нақты-
ламалардың  керекті  саны.  Бұл  шарт  орындалмаған  жағдайда     
2-ші қадамға көшу. 
8-қадам. 
i
x
 және 
i
y
 сандарын баспалау. 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
46
Бір  кездейсоқ  шамасын  модельдеу  үшін,  бұл  алгоритмнің  
5-ші  қадамында (3.12)  формулалардың  біреуін ғана пайдалану 
жеткілікті. 
 
3.6.2. Логарифмді-қалыпты үлестірім 
 
Логарифмді-қалыпты  әлде  логқалыпты  үлестірім  деп, 
логарифмі қалыпты заңдылыққа бағынатын кездейсоқ шаманың 
үлестірімі  аталады.  Кездейсоқ  шаманың  логарифмдік  түрлен-
дірілуі  ассимметриялық  үлестірімдерді  қалыпты  заңдылыққа 
жақындату  үшін  қолданылады  [7].  Ассимметриялық  үлестірім, 
кездейсоқ  шамалардың  тек  оң  мәндерімен  бейнеленетін 
құбылыстарға  ғана  тән  болады.  Мысалы,  биологиялық  өмірдің 
ұзақтығы,  құрал-жабдықтардың  істен  шығу  мерзімдері,  табыс-
тардың үлестірімдері және т.б.  
Егер x – логқалыпты заңдылықпен сипатталатын кездейсоқ 
шама  болса,  ал 
x
ln
y 
  тең  болса,  осы  y-тің  тығыздық 
функциясы мына өрнекпен бейнеленеді: 
.
 
e
)
y
(
f
y
y
)
m
y
(
y
2
2
2
2
1






 
y
m   пен 
2
y

  –  тиісінше 
x
ln
  шамасының  математикалық 
үміті мен дисперсиясы. 
Сонда  логқалыпты  заңдылықтың  үлестірім  функциясын 
мына өрнекпен жазуға болады: 
.
dy
)
m
y
(
exp
)
y
(
F
y
y
y
y












2
2
0
2
2
1



 
Бұл  заңдылықты  модельдеу  алгоритмі  мына  қадамдардан 
тұрады: 
Бастапқы  қадам. 
x
ln
  кездейсоқ  шамасының  математика-
лық үміті 
y
m  және дисперсиясы 
2
y

 берілсін. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
47
1-ші қадам. Мөлшерленген және орташаландырылған, яғни 
үлестірім функциясы  
2
2
2
1
r
e
)
r
(
f



 
тең қалыпты заңдылықтың r нақтыламасы модельденеді. 
2-ші қадам. 
y
r
x
ln
y



өрнегінен y-тің мәні табылады. 
3-ші қадам. Логарифмді-қалыпты заңдылықтың нақтыламасы 
y
e
x 
 тең болады.  
4-ші қадам. x-тің мәні баспаланылады. 
 
3.6.3. Бірқалыпты үлестірім 

жүктеу/скачать 2,94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: