Оқулық ретінде ұсынған Алматы 2012

Д.Н. Шоқаев 
 
 
76
3.  Байланыс  каналы  екі  қалыпта  бола  алады:  S
0
-бос,  S
1
-бос 
емес.  Келесі  мәліметтер  бойынша  марков  тізбегін  табыңыз: 
7
0
3
0
8
0
2
0
1
0
1
0
.
.
.
.
S
S
S
S
, 
0
0
S
)
t
(
S

, 
1
z
=0.75, 
2
z
=0.54, 
3
z
=0.25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
77
7. ОҚИҒАЛАР АҒЫНЫН МОДЕЛЬДЕУ 
 
7.1. Оқиғалар ағынының қасиеттері 
 
Көптеген  нақтылы  жүйелер  мен  объектілерді  иммитация-
лау  әдісімен  зерттегенде,  әр  түрлі  кездейсоқ  оқиғалар  ағын-
дарын  жиі  модельдеуге  тура  келеді.  Мұндай  кездейсоқ  ағын 
ретінде,  мысалы,  ұшақтардың  әуежайға  келіп  қону  мезгілдері, 
немесе  күрделі  электрон  аппараттарының  істен  шығу  кезеңдері 
және т.б. қарастыруға болады.  
Келесі  анықтаманы  келтірейік.  Оқиғалар    ағыны  деп 
кездейсоқ  уақыт  моменттерінде  бірінен  кейін  бірі  пайда 
болатын оқиғалар тізбегін атайды. 
Оқиғалар  ағынын 
 
t
,
0
  уақыт  осінде 
,...
,
2
1
t
t
  уақыт 
моменттерінің тізбегі ретінде кескіндеуге болады (7.1-сурет). 
 
 
 
7.1-сурет 
 
Оқиғалардың арасындағы уақыт интервалдары 
 
j
x
, жалпы 
жағдайда, көп өлшемді 

 

n
n
n
x
,
,
x
,
x
P
x
,
,
x
,
x
F









2
2
1
1
2
1
 
үлестіру  заңымен  берілген  векторлық 


n
,
,
,





2
1

  кездей-
соқ шаманың құраушыларының нақтыламалары болып табылады.  
Кездейсоқ  оқиға  ағындары,  осы  ағындарды  түр-түрге 
бөлуге көмектесетін, бірнеше қасиеттерімен сипатталады.  
 
7.1.1. Біртектілік қасиеті 
 
Ағындар  біртекті  және  біртекті  емес  болуы  мүмкін. 
Мысалы,  азаматтардан  қабылданатын  телеграммалар  ағыны 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
78
біртекті  емес,  себебі  «жедел»  грифі  бар  телеграммалар  аппаратқа 
кезексіз  беріледі.  Алайда,  көптеген  жағдайларда,  біртекті  емес 
ағындарды  қабаттастырылған  бірнеше  біртекті  ағындар  түрінде 
көрсетуге болады (7.2-сурет). 
 
 
  
7.2-сурет 
 
7.1.2. Сыңарлылық қасиеті  
 
Оқиғалар  ағынының  сыңарлылық  қасиеті  болуы  үшін,     
t

  элементарлы  уақыт  интервалында  екі,  немесе  одан  да  көп 
оқиғалардың  болу  ықтималдылығы,  осы  интервалда  бір 
оқиғаның пайда  болу  ықтималдығынан  көп  есе  аз  болуы  керек, 
яғни: 




t
t
,
t
p
t
t
,
t
p
k





1
, 
,...
,
k
3
2

   
(7.1) 
Ал, кез келген 
t

 интервалы үшін мына: 






1
1
0









t
t
,
t
p
t
t
,
t
p
t
t
,
t
p
k
,   
1

k
, 
теңдікті  жазуға  болатыны  белгілі.  Сондықтан,  сыңарлылық 
қасиеті  бар  оқиғалар  ағыны  үшін,  (7.1)  теңсіздікті  ескере 
отырып, мына өрнектерді жазуға болады: 
 
 




1
1
0






t
t
,
t
p
t
t
,
t
p
                             (7.2) 
және  

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
79


0
0






t
t
t
,
t
p
lim
k
t
. 
Сыңарлылық  ағындарға  әуежайға  келген  ұшақтардың 
ағыны,  нысанаға  бағытталған  оқтардың  ағыны  және  т.б.  мысал 
бола алады. Сыңар емес  оқиғалар ағыны ретінде троллейбустан 
аялдамада  түскен  жолаушылар  ағынын  келтіруге  болады. 
Себебі,  троллейбустан  бір  мезгілде  бірнеше  жолаушы  түсуі 
мүмкін. 
 
7.1.3. Стационарлық  қасиеті 
 
Егер  белгіленген  уақыт  аралығында  пайда  болатын 
оқиғалардың  нақтылы  санының  ықтималдығы  тек 
осы 
интервалдың    ұзақтығына  тәуелді,  ал  бұл  интервалдың  уақыт 
осінің  қай  жерінде  орналасқанына  тәуелді  болмаса,  осы 
оқиғалар  ағыны  стационарлық  қасиетіне ие болады. 
Уақыт осіндегі сыңар оқиғалар ағынын қарастырайық және 
t

 уақыт интервалында пайда болатын оқиғалардың орта санын 
табайық. (7.1) өрнегіне сәйкес сыңар оқиғалардың орта саны: 






t
t
,
t
p
t
t
,
t
p
t
t
,
t
p










1
1
0
1
0
 тең. 
Сонда уақыт бірлігінде пайда болатын оқиғалардың орташа 
саны  


t
t
t
,
t
p



1
 
болады. 
Осы  өрнектің 
0

t
  ұмтылғандағы  шегін  қарастырайық. 
Егер ондай шек бар болса, онда ол ағынның  қарқындылығы  деп 
аталады: 
 


t
t
t
,
t
p
lim
t
t






1
0

. 
 
t

 – қарқындылығының өлшемі уақытқа кері шама.  

Д.Н. Шоқаев 
 
 
80
Стационарлық  ағынның,  стационарлық  емес  ағыннан 
айырмашылығы, оның қарқындылығы уақытқа тәуелді  еместігі, 
яғни: 
 
const
t




. 
 
7.1.4. Соңәрекетсіздік  қасиеті  
 
Оқиғалар  ағыны  соңәрекетсіздік    қасиетке  ие  болуы  үшін, 
бірімен-бірі  қиылыспайтын  кез  келген  екі  уақыт  интервал-
дарының  біреуіне  түскен  оқиғалар  саны  екіншісіне  түскен 
оқиғалар  санынан  тәуелсіз  болуы  керек.  Оның  мағынасы 
мынада.  Ағынды  құрайтын  оқиғалар  бірінен-бірі  тәуелсіз  және 
әрқайсысы өз себебімен өз мезгілінде пайда болады. 
 
 
 
 
 
 
7.3-сурет 
 
Мысалы,  анықтама  бюросына  келе  жатқан  адамдар 
ағынының  іс  жүзінде  соңәрекеті  жоқ,  себебі  олардың 
әрқайсысының    бюроға  келу  себептерінің  арасында  тәуелділік 
жоқ.  Ал  анықтама  алған  адамдар  ағынының  соңәрекеті  бар, 
себебі  әр  келушіге  қызмет  ету  үшін,  ең  аз  дегенде  анықтаманы 
толтыратындай уақыт интервалы қажет болады.  
 
7.1.5.  Шектеулі  соңәрекет қасиеті  
 
Оқиғалар  ағыны    шектеулі    соңәрекет  қасиеті  ағын  болуы 
үшін,  олардың  оқиғаларының  пайда  болатын  моменттерінің 
n
,
,
,




2
1
 аралықтары бірінен бірі тәуелсіз кездейсоқ шамалар 
болуы керек. Сондықтан осы 
n
 кездейсоқ шамалардың біріккен 
тығыздық функциясын 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
81


   
 
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
,
,
x
,
x
f






2
2
1
1
2
1
              (7.2) 
түрінде жазуға болады.  
Ал,  шектеулі  соңәрекетті  стационарлық  оқиғалар  ағыны 
үшін тағы да бір қатынас келтіре аламыз: 
 
 
 
 
 
 
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
n






3
3
2
2
1
1
.            (7.3) 
Соңәрекеттің шектелуінің мәні мынада. 
 
j
j
x
f
  тығыздық  функциясы 
1

j
  болған  жағдайда 
j

 
интервалының  шартты  тығыздық  үлестірімін  бейнелейді. 
Себебі,  бұл  интервалдар  алдыңғы  оқиғаның,  яғни  шарттың 
пайда  болған  мезгілінен  басталады.  Тек 
 
1
1
x
f
  тығыздық 
функциясы  ғана  шартсыз  үлестірімін  сипаттайды.  Оның  себебі 
де  анық  –  кездейсоқ  оқиғалар  ағыны  осінің  басында  оқиғаның 
болған әлде болмағаны туралы ешқандай болжам жасалмайды.  
 
7.2.  Қарапайым ағынды модельдеу 
 
Қарапайым    ағын  деп  –  сыңарлық,  соңәрекетсіздік  және 
стационарлық  қасиеттерімен  сипатталатын  пуассон  ағынын 
айтады.  
Қарапайым ағын, басқа ағындардың арасында ерекше орын 
алады,  себебі  қарқындылықтарының  мәні  жақын  бірнеше  басқа 
ағындарды  біріне-бірін  қосса,  қарапайым  ағынға  жақын  ағын 
алынады.  
Анықтамадан шығатындай, қарапайым ағын оқиғаларының 
саны  дискретті  кездейсоқ  шама  болып  табылады  және  пуассон 
үлестіріміне  бағынады.  Демек,  уақыттың  қайсыбір 

  интервал-
ында  оқиғалардың  нақтылы,  мысалы, 
k
  санының  пайда  болу 
ықтималдылығы пуассон формуласымен анықталады 
 
 
 
 
a
e
!
k
k
a
e
!
k
k
k
p























.    
(7.4) 
Мұндағы 


a
  берілген 

  уақыт  аралығындағы 
оқиғалардың орта саны.  

Д.Н. Шоқаев 
 
 
82
Қарапайым  ағын  оқиғаларының  аралығын  сипаттайтын 

 
кездейсоқ шамасының үлестірім заңын анықтайық 
 


x
P
x
F



. 
7.4-суретте көрсетілгендей, 


x
P


 ықтималдылығына, 
x
 
интервалына  ең  болмағанда  қарапайым  ағынның  бір  оқиғасы 
түсетіндей жағдай сәйкес келеді, демек: 
 




 
x
e
x
P
x
P
x
P
x
F













1
0
1
1
.        (7.5) 
 
 
 
7.4-сурет
 
 
 
x
F
  функциясын  дифференциалдай  отырып, 

  кездейсоқ 
шамасының үлестірім тығыздығын табамыз: 
 
 


.
x
   
,
x
e
dx
x
dF
x
f
0






                            (7.6) 
Сонымен,  қарапайым  ағынның,  екі  кез  келген  көршілес 
оқиғаларының  арасындағы  интервалы,  экспоненциалдық  заң  
үлестіріміне сәйкестігін көріп отырмыз.  
Алынған нәтижелер,  жалғыз  қарапайым  ағынды ғана  емес, 
кез  келген  басқа  ағындарды  да  модельдеу  үшін,  жоғарыда 
қаралған кездейсоқ шамаларды модельдеу аппаратын қолдануға 
болатындығын  көрсетіп  отыр.  Шынымен,  7.1-суреттен  кездей-
соқ ағын оқиғаларының пайда болу моменттерін (7.7) өрнегінен 
табуға болатыны анық көрініп тұр. 
 
 
j
j
j
x
t
t


 1
,                                   (7.7) 
мұндағы 
j
x
  –  үлестірім  тығыздығы  (7.6)  формуласымен 
берілген 

 кездейсоқ шамасының нақтыламасы.  
Қарапайым  ағындарды  модельдеу  алгоритміне  мына 
қадамдар кіреді: 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
83
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
z
  нақтыла-
масын модельдеу. 
3-қадам.  Қарапайым  ағынның  көршілес  екі  оқиғасы 
аралығының мөлшерін есептеу:  
 
z
ln
x

1


. 
4-қадам. Оқиғаның пайда болу моментін есептеу: 
x
t
t
j
j


 1
. 
5-қадам. 
1

 j
j
 деп алайық.  
6-қадам. 
n
j 
  шартын  тексеру.  Бұл  шарт  орындалмаса      
2-қадамға оралу. 
7-қадам. 
 
j
t
 модельдеу нәтижесін баспалау. 
 
7.3.  Эрланг ағындарын модельдеу 
 
Бұл  ағындардың  атауы,  телефон  жүйесін  зерттеу  кезінде 
оларды ең бірінші қолданған дат ғалымының есімімен аталған.  
Эрланг  ағындарының  сыңарлық,  стационарлық,  шектелген 
соңәрекет  қасиеттері  бар  және  бұл  ағындар  қарапайым  ағынды 
«сирету»  жолымен  алынады.  Яғни,  қарапайым  ағынның  әрбір 
екінші  оқиғасын  сақтап  қалып,  қалғандарын  алып  тастаса,  онда 
екінші ретті Эрланг ағыны пайда болады, ал егер әрбір 
k
-шы оқиға-
ны сақтап қалса, онда 
k
-ретті Эрланг ағыны (7.5-сурет) алынады. 
 
 
 
7.5-сурет 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
84
Қарапайым  ағын  Эрланг  ағынының 
1

k
  болғандағы 
жекеленген түрі болып табылатыны айқын. 
Эрлангтың 
k
-ретті  ағынының  көршілес  оқиғаларының 
арасындағы 

  интервалы,  экспоненциалды  заң  бойынша  үлес-
тірілген  тәуелсіз 
i

  кездейсоқ  шамаларының 
k
  қосындысы 
болып табылады: 
 
 



k
i
i
1


.                                         (7.8) 
Кездейсоқ 

  шамасының  тығыздық  функциясы  мына 
формуламен анықталады [19]: 
x
k
k
k
e
x
)!
k
(
)
x
(
f






1
1
,     x>0 , 
 
(7.9) 
мұндағы 

  –  қарапайым  ағынның  қарқындылығы.  Кездейсоқ   

  шамасының  математикалық  үміті,  дисперсиясы  және  орта 
шаршы ауытқуы сәйкесінше мыналарға тең: 
 
 
 
 
.
 
/
k
;
k
k
i
i
D
D
;
k
k
i
i
M
M


































2
1
1
                          (7.10) 
 
Эралангтың 
k
-ретті  ағынының  қарқындылығы  мате-
матикалық  үмітке  кері  шама  екенін 
 
k
M
k

 


1
  ескере 
отырып, (7.9) және (7.10) өрнектерін мына түрде жазуға болады: 
 
 




,
x
   
,
e
x
!
k
k
k
x
f
k
k
k
k
k
0
1
1







                (7.11) 
 
 
k
M

 1

;   
 
2
1
k
k
D



; 
  
k
k


1


.         (7.12) 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
85
Ағынның  реттілігін  шексіз  ұлғайтқан  (


k
),  ал 
қарқындылығы  өзгеріссіз  қалдырылған  (
const
k


)  жағдайда 
Эрланг  ағыны  қалай  өзгеретінін  анықтайық.  (7.12)  формуладан, 
бұл  жағдайда  оқиғалар  аралығының  математикалық  үміті 
өзгеріссіз  қалатыны,  ал  дисперсиясы  мен  орта  шаршылығы 
нөлге  ұмтылатыны  байқалады.  Яғни,  Эрланг  ағыны,  оқиға-
ларының арасы дәл   
k

1
-ге тең, регулярлы ағынға ауысатыны 
көрініп тұр.  
Эрланг  ағындарының  бұл  қасиетінің  іс  жүзінде  үлкен 
маңызы  бар.    Мысалы, 
k
-реттілігінің  мәнін  өзгерту  арқылы 
ағынның  соңәрекетінің  әртүрлі  дәрежесін  алуға  болады: 
1

k
 
болғанда  соңәрекеттің  мүлде  болмауынан, 


k
  ұмтылғанда 
оқиғалардың  пайда  болу  моменттерінің  арасында  қатаң 
байланыс  тууына  дейін.  Демек,  іс  жүзінде  кездесетін  көптеген 
кездейсоқ  ағындарды  Эрланг  ағынымен  бейнелеуге  болады.  Ол 
үшін  тек 
k
-реттілігінің  мөлшерін  өзгерту  арқылы  іс  жүзіндегі 
ағын  мен  Эрланг  ағынының  математикалық  үміттері  мен 
дисперсияларын теңестіру керек.  
Практикалық мақсаттарды толық қанағаттандыратын Эрланг 
ағынын модельдеу келесі алгоритм бойынша іске асырылады: 
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам. 
1
1


S
,
i
 болсын. 
3-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
z
  нақты-
ламасын табу керек.   
4-қадам. 
1

 i
i
 және 
z
S
S


 деп алайық.  
5-қадам. 
k
i 
    шартын  тексеру.  Бұл  шарт  орындалмаған 
жағдайда 3- ші қадамға оралу.  
6-қадам. 
Оқиғалар 
ағынының 
арасындағы  интервал 
ұзындығын және оқиғаның пайда болуы моментін есептеу: 
   


S
ln
x
j

1


,  
j
j
j
x
t
t


1
. 
7-қадам. 
1

 j
j
 болсын.  

Д.Н. Шоқаев 
 
 
86
8-қадам. Модельдеу процесінің аяқталу, яғни 
n
j 
 шартын 
тексеру.  Бұл  шарт  орындалмаған  жағдайда  2-қадамға  оралу 
керек.  
9-қадам. 
 
j
t
 моменттерінің мәндерін баспалау.  
   
 
7.4. 
Пальм ағындарын модельдеу 
 
Пальм    ағындары  деп,  оқиғаларының  аралығы  тәуелсіз 
n
,
j
  
,
j
1


,  кездейсоқ  шамалармен  бейнеленетін,  яғни  шектел-
ген  соңәрекет  қасиетіне  ие,  сыңар  оқиғалар  ағынын  айтады. 
Демек, бұл ағын үшін мына қатынас орындалады: 

    
 
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
,
,
x
f





2
2
1
1
1
, 
және  осы  қатынас  Пальм  ағынын  модельдеудің  негізі  бола 
алады.  
Осы формуланың оң жағындағы 






j
x
j
f
, 
n
,
j
1

 тығыздық 
функцияларының  көмегімен  Пальм  ағынының  оқиғалары 
арасындағы барлық интервалдарды тауып алуға болады. Сонда, 
оқиғалардың  пайда  болатын  моменттері  мына  формуладан 
анықталады: 
j
x
j
t
j
t



1
. 
Іс  жүзінде  кездесетін  Пальм  ағындары  көбінесе  стационар 
қасиетімен  сипатталады.  Осыны  ескере  отырып,  оқиғалар 
арасындағы  интервалдардың  тығыздық  функцияларын  мына 
қатынаспен бейнелей аламыз: 
 
 
 
 
 
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
n





3
3
2
2
1
1
. 
Егер 
біріншіден 
басқа 
интервалдарды 
сипаттайтын 
тығыздық функциясы 
 
x
f
 берілген болса, бірінші интервалдың 
белгісіз 
 
1
1
x
f
  тығыздық  функциясын  Пальм  формуласымен 
анықтауға болады: 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
87
 
 
 
 











1
0
1
1
1
x
dx
x
f
x
f

.                              (7.13) 
мұндағы 
 


M
1

.  
Сонымен стационарлық Пальм ағынын жалғыз 
 
x
f
 тығыз-
дық  функциясымен  сипаттауға  болады.  Осы 
 
x
f
  функциясы 
ретінде,  әртүрлі  үлестірім  заңдарын  бейнелейтін  (соның  ішінде 
Эрланг  және  экспоненциалды  заңдылықтар  да  болуы  мүмкін) 
тығыздық функциялар қолданыла алады.  
Демек,  Эрланг  ағыны,  қарапайым  ағынды  қоса  алғанда, 
Пальм ағынының жекеленген түрлері болып табылады.  
Соңғы  тұжырым  біраз  күмән  туғызуы  мүмкін,  себебі, 
соңәрекетсіздік  қасиетіне  сәйкес  қарапайым  ағынның  барлық 
интервалдары,  соның  ішінде  бірінші  интервалы  да,  бір  ғана 
үлестірім  заңына  бағынады.  Бұл  қарама-қайшылық  Пальм 
формуласымен  оңай  шешілетінін  төменгі  түрлендіруден  анық 
байқауға болады: 
   
 
x
e
dx
x
x
e
x
f



















1
1
1
0
1
. 
Стационарлы  Пальма  ағындарын  модельдеу  алгоритмі  екі 
сатыдан тұрады [23]: 
Алдын-ала модельдеу сатысы.  
1-қадам.  Берілген 
 
x
f
  тығыздық  функциясы  бойынша 
математикалық  үмітті  есептеу  және  Пальм  ағынының  интен-
сивтілігін анықтау: 
 


M
1

. 
2-қадам.  Пальм  ағынының  формуласы  бойынша  бірінші 
интервалдың үлестірім заңын табу.  
3-қадам.  Кездейсоқ  шамаларды  түрлендіру  әдістерін 
қолдана  отырып,  мысалы  кері  функция  әдісін,  мына  тәуелді-
ліктерді табу: 
 
1
1
1
1
z
F
x


 
және 
 
.
j
,
z
F
x
j
j
1
1



 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
88
Негізгі саты.  
1-қадам. 
1

j
 болсын.  
2-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
z
  нақты-
ламасын есептеу.  
3-қадам. 
1

j
 шартын тексеру. Бұл шарт бұзылса, 5-қадамға 
көшу.  
4-қадам.  Бірінші  интервалдың  мәнін  есептеп 
 
1
1
1
1
z
F
x


, 
6-шы қадамға көшу.  
5-қадам. 
 
j
j
z
F
x
1


, 
1

j
 формуласымен басқа интервал-
дардың ұзындығын табу.  
6-қадам. 
Пальм 
ағыны 
оқиғаларының 
пайда 
болу 
моменттерін анықтау: 
j
j
j
x
t
t


1
. 
7-қадам. 
1

 j
j
 болсын.  
8-қадам.  Модельдеу  процесінің  аяқталу,  яғни 
n
j 
 
шартын  тексеру.  Бұл  шарт  орындалмаған  жағдайда  2-қадамға 
оралу. 
9-қадам. 
 
j
t
 баспалау.  
 

жүктеу/скачать 2,94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: