Оқулық ретінде ұсынған Алматы 2012

Д.Н. Шоқаев 
 
 
58
1-қадам. Бастапқы деректер: n және p беріледі. 
2-қадам. 
np
e

 мәні есептеледі. 
3-қадам.  Кездейсоқ 

  шамасының  бастапқы  нақтыламасы 
тағайындалады k=0. 
4-қадам. Базалық 

 кездейсоқ шамасының 
z
 нақтыламасы 
алынады.  
5-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының  z
j
  нақтылама-
ларының 
1

k
 көбейтіндісі есептеледі - 



1
1
k
j
j
z
. 
6-қадам. 
np
k
j
j
e
z





1
1
  шарты  анықталады.  Осы  шарт 
орындалмаса  k=k+1  мәні  анықталып,  5  және  6  қадамдар 
қайталанады. 
Шарт 
орындалған 
жағдайда 
Пуассон 
заңдылығының келесі нақтыламасы  

=k  тең деп есептеледі. 
 
Бақылау сұрақтары 
 
1.  Мына  формула: 
1
1



)]
p
ln(
/
)
z
[ln(
Ц
x
i
  қандай 
заңдылықты модельдеу үшін қолданылады? 
2. Қатал оқытушыға сынақ тапсыру ықтималдылығы р - ға 
тең. 
Сынақ 
тапсырғанға 
дейінгі 
ұмтылыс 
санының 
сипаттамасының шамасы қай заңға бағынады? 
3.  Аялдамаға  келген  автобус  сіз  күткен  маршруттікі  болу 
ықтималдылығы  р=0,4.  Егер  z=0,60    болса,  сіздің  автобусыңыз 
нешінші болатынын анықтаңыз. 
4.  Пуассон  заңдылығын  модельдегенде  n  параметрі  қалай 
есептеледі? 
 
 
 
 
 
 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
59
5. КӨП ӨЛШЕМДІ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАРДЫ 
    МОДЕЛЬДЕУ 
 
5.1. Тізбектеп модельдеу әдісі 
 


n
x
...,
,
x
,
x
f
2
1
 
тығыздық 
функциясымен 
берілген         
n
-өлшемді 


n
...,
,
,




2
1

  кездейсоқ  шаманы  модельдеу, 
осы  векторлық  шаманы  құраушы  скалярлы 
n
,...,
i
   
,
i
1


 
кездейсоқ  шамалардың  бірінен  соң  бірінің  нақтыламаларын 
табуға әкеледі. 
Алдымен,  осы  көпөлшемді  кездейсоқ  шаманы  құраушы 
барлық  скалярлық  кездейсоқ  шамалар,  бірінен  бірі  тәуелсіз 
болсын, сонда: 


   
 
.
x
f
...
x
f
x
f
x
...,
,
x
,
x
f
n
n
n



2
2
1
1
2
1
            (5.1) 
Демек,  әрбір 
i

  кездейсоқ  шамасын  бір-біріне  тәуелсіз 
модельдеуге болады, мысалы, кері функция әдісімен: 
 
n
,...,
,
i
,
F
i
i
2
1
1





                       (5.2) 
Егер бұл кездейсоқ шамалар біріне бірі тәуелді болса, онда 
ықтималдық теориясына сәйкес, (5.3) өрнегін жазуға болады.  


 




.
x
..
x
/
x
f
...
x
/
x
f
x
f
x
...,
,
x
,
x
f
n
n
n
n
1
1
1
2
2
1
1
2
1





       (5.3) 
Ал  бұл  өрнектің  оң  жағындағы  шартты  тығыздық 
функциялары келесі теңдеулер жүйесінен анықталады: 
 






 






 


2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
2
2
2
1
1
1









 
 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
...
x
/
x
f
...
x
f
x
,...,
x
f
x
...
x
/
x
f
........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
,
x
f
dx
...
dx
x
,...,
x
f
...
x
/
x
f
,
dx
...
dx
x
,...,
x
f
...
x
f
            (5.4) 
Тізбектеп  модельдеу  әдісінің  негізі  ретінде  келесі 
теореманы тұжырымдайық. 
5.1-теорема.  [2]. 
n
,...,


1
  –  тәуелсіз  базалық  кездейсоқ 
шамалар болсын. Сонда (5.5) теңдеулер жүйесін біртіндеп 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
60
 




n
n
n
n
,
x
...
x
/
F
...
..........
..........
..........
x
/
F
,
F









1
1
2
1
2
2
1
1
1
 
 
  (5.5) 
шығарғанда  алынған 
n
,...,


1
  кездейсоқ  шамалар  жиыны, 
көпөлшемді 


n
x
,...,
x
f
1
 тығыздық функциясымен сипатталады.  
Дәлелдеу:  Егер 
1
1
1
1




i
i
x
,...,
x


  мәндері  белгілі  болса, 
онда 


1
1

i
i
x
...
x
/
x
F
  үлестірім  функциясы  бар 
i

  кездейсоқ 
шамасын мына қатынастан табуға болады: 


i
i
i
i
z
x
,...,
x
/
F

1
1

. 
Сонда 
i
i
i
i
x
x
x





  теңсіздігінің  ықтималдығы  келесі 
өрнекпен бейнеленеді: 




.
x
x
...
x
/
x
f
x
...
x
/
x
x
x
P
i
i
i
i
i
i
i
i
i








1
1
1
1

 
Демек,  шексіз  азаятын  шамалардың  жоғары  реттерінің 
дәлдігімен  алғанда,  мына 
n
  теңсіздіктің  бірге  орындалу 
ықтималдығы келесі өрнекпен табылады: 






 




.
x
...
x
x
,...,
x
f
x
x
...
x
/
x
f
...
x
x
f
x
...
x
/
x
x
x
P
...
x
x
x
P
x
x
x
,...,
x
x
x
P
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n



























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1




 
Теорема дәлелденді. 
5.1-мысал. 


2
2
2
1
6x
x
,
x
f

  тығыздық  функциясы  бар, 
0
0
1
1
2
2
1




x
,
x
,
x
x
 үш бұрышында мәндер қабылдай алатын, 


2
1



,

 екі өлшемді кездейсоқ шамасын қарастырайық. 
Алдымен 
 
1
1
x
f
 және 


1
2
2
x
/
x
f
 -ні табайық. 
 








 




.
x
x
x
/
x
x
f
/
x
,
x
f
x
/
x
f
,
x
dx
x
x
f
x
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
0
2
1
2
2
1
1
1
2
1
3
6
1
3
6
1











 
Сонда кері функция әдісіндегі теңдеуден  

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
61
 

























i
i
x
i
i
i
x
i
i
,
 
z
x
x
dx
x
x
x
/
x
F
,
z
x
dx
x
x
F
2
1
0
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
0
1
3
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
3
 


i
i
i
i
i
z
x
x
,
z
x
2
1
2
3
1
1
1
1




 
табамыз. 
Тізбектеп модельдеу алгоритмі екі сатыдан тұрады: алдын-
ала модельдеу және негізгі. 
Алдын-ала модельдеу сатысы. 
1-қадам. 
 




1
1
1
2
2
1
1

n
n
n
x
...
x
/
x
f
,...,
x
/
x
f
,
x
f
  шартты  тығыз-
дық функцияларын (5.4) формулаларымен табу. 
2-қадам. Мына интегралдық теңдеулерден 






k
x
k
k
k
k
k
,
n
,...,
,
k
,
z
dx
x
...
x
/
x
f
0
1
1
2
1
 
n
,...,
k
,
x
k
1

 нақтыламаларын есептейтін тәуелділіктерді анықтау: 


n
,...,
,
,
k
,
x
,...,
x
,
z
F
x
k
k
k
3
2
1
1
1
1




 
Негізгі саты. 
3-қадам. 
1

i
 болсын. 
4-қадам. 
1

k
 болсын. 
5-қадам. 

 кездейсоқ шамасының 
z
 нақтыламасын модельдеу. 
6-қадам. 
1

k
  шартының  орындалуын  тексеру  керек.  Бұл 
шарт орындалмаған жағдайда 8-қадамға көшу. 
7-қадам. 
 
z
F
x
1
1
1


 есептеп, 9-қадамға көшу. 
8-қадам. 


1
1
1



k
k
k
k
x
,...,
x
,
z
F
x
 есептеу. 
9-қадам. 
1

 k
k
 деп аламыз. 
10-қадам. 
n
k    шартының  орындалуын  тексеру.  Бұл  шарт 
орындалмаған жағдайда 5-ші қадамға қайтамыз. 
11-қадам. 
  

n
x
,...,
x
,
x
i
x
2
1

 баспалау. 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
62
12-қадам. 
1

 i
i
 деп алайық. 
13-қадам.  Есептеудің  аяқталу,  яғни 
n
i 
  шартын  тексеру. 
Бұл шарт орындалмаған жағдайда 4-қадамға қайтамыз. 
14-қадам. Соңы. 
Өкінішке  орай,  тізбектеп  модельдеу  әдісі  өте  күрделі 
математикалық түрлендіруге әкеліп соғады, сондықтан көбінесе 
іс жүзінде қолданыла алмайды. 
 
5.2. Нейманның жалпылама “шығарып тастау” әдісі 
 
Көпөлшемді 


n
,...,



1

 кездейсоқ шама біріккен тығыздық 
функциясымен 
берілсін 
және 
бұл 
функция 
жоғарыдан 
шектелген болсын 


.
m
n
f
x
,...,
x
f

1

 
Сонымен  қатар,  скалярлы 
i

  шамаларының  әрқайсысы 


n
,
i
  
,
b
,
a
i
i
1

  аралығында  анықталсын.  Сонда  кездейсоқ 
векторлық  шамаларды  модельдеуді,  Нейманның  “шығарып 
тастау”  әдісінің  мына  жалпыланған  алгоритмімен  жүзеге 
асыруға болады: 
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
1
2
1

n
n
z
,
z
,...,
z
,
z
 
нақтыламаларын табу. 
3-қадам. 


n
,
i
  
,
a
b
z
a
x
i
i
i
i
i
1




 мәндерін есептеу. 
4-қадам. 


n
n
m
x
,...,
x
,
x
f
z
f
2
1
1


  шартының  орындалуын 
тексеру  керек.  Бұл  шарт  орындалмаған  жағдайда  6-қадамға 
көшеміз. 
5-қадам.  Кездейсоқ  вектордың  кезекті 
  

n
x
,...,
x
,
x
j
x
2
1

 
нақтыламасын тұжырымдау және 7-қадамға көшу. 
6-қадам. 
1

 j
j
 болсын. 
7-қадам. 
1
0


n
z
z
 деп алайық. 
8-қадам. 
1

 j
j
 деп алайық. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
63
9-қадам. 
n
j 
  шартын  тексеру.  Бұл  шарт  орындалмаған 
жағдайда 2-қадамға оралу. 
10-қадам. Модельдеу нәтижелерін баспалау. 
Бұл  әдістің  тиімділік  коэффициенті  мына  теңдеумен 
есептеледі: 


1
1











n
i
i
i
m
a
b
f
Э
 
және вектордың көлемі ұлғайған сайын кішірейе береді. 
 
5.3. Моменттер әдісі 
 
Көпөлшемді  кездейсоқ  шаманың  біріккен  үлестірім  заңы 
осы  кездейсоқ  векторды  толық  және  нақтылы  сипаттайды. 
Алайда  іс  жүзінде  векторлық  кездейсоқ  шамалардың  адекватты 
үлестірім  заңын  табу  оңай  емес.  Сондықтан,  векторлық 
кездейсоқ  шама  көбінесе  өзін  құраушы  кездейсоқ  шамалардың 
математикалық үміті: 
 
.
n
,
i
,
m
M
i
1



 
Дисперсиясы: 
 
n
,
i
,
D
i
1
2




 
және корреляциялық коэффициенттерімен 






n
,
j
;
n
,
i
,
r
m
m
M
R
ij
j
j
i
i
ij
1
1








 
беріледі. 
Моменттік  әдіс,  осы  үш  сипаттамалармен  берілген  вектор-
лық кездейсоқ шамаларды модельдеуге арналған. 
Сонымен,  көпөлшемді 


n
,...,



1

  кездейсоқ  шамасы 
математикалық үміт векторымен 


n
m
,...,
m
,
m
m
2
1

 
және корреляциялық матрицамен: 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
64















nn
n
n
n
n
r
...
r
r
..........
..........
r
...
r
r
r
...
r
r
R
2
1
2
22
21
1
12
11
 
берілсін. 
Сонда 

  кездейсоқ  векторын 


A
m 

  түрлендіруімен 
алуға  болады.  Мұндағы 

  –  құраушылары 
 
i

  мөлшерленген 
қалыпты  үлестірім  заңына  бағынышты  векторлық  кездейсоқ 
шама. 
A
 матрицасы ретінде үш бұрышты матрицаны аламыз: 
.
 
a
...
a
a
...
..........
..........
...
a
A
nn
n
n











2
1
11
0
0
 
Сонда, 

  және 

  кездейсоқ  шамаларының  нақтылама-
ларын  сәйкесінше 
x
  және 
y
  арқылы  белгілеп, 


n
,...,



1

 
векторлық 
кездейсоқ 
шамаларды 
модельдейтін 
нақты 
формулаларды жазуға болады: 
.
y
a
...
y
a
m
x
.....
..........
..........
..........
..........
,
y
a
y
a
m
x
,
y
a
m
x
n
nn
n
n
n









1
1
2
22
1
21
2
2
1
11
1
1
 
Бұл  формулаларды  қолдану  үшін,  ең  бірінші 
 
ij
a
 
коэффициенттерін  анықтау  керек.  Ол  үшін  корреляциялық 
матрицаның мүшелерін пайдаланамыз: 














.
 
y
a
...
y
a
y
n
...
y
a
M
m
m
x
x
M
m
x
m
x
M
r
j
jj
j
i
ii
i
j
i
j
i
j
j
i
i
ij












1
1
1
1
 
(5.6) 
Корреляцияланбаған кездейсоқ шамалар үшін: 




 
0
0


j
j
i
y
M
,
j
#
i
y
y
M
 және 
 
1
2

i
y
M
 
екенін ескере отырып, (5.6) өрнегінен шығатын (5.7)  

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
65
ji
ii
j
i
j
i
ij
a
a
...
a
a
a
a
r




2
2
1
1
  
 
   (5.7) 
қатысынан 
A
 матрицасының барлық мүшелерін табуға болады. 
Моменттер  әдісін  іс  жүзінде  қолданғанда,  бұл  әдіс 
векторлық  кездейсоқ  шаманы  тек  қана  берілген  корреляциялық 
моменттеріне  сәйкес  модельдейді.  Сондықтан,  осы  әдіспен 
алынған  векторлық  кездейсоқ  шаманың  нақтыламаларының 
жиыны,  оның  біріккен  үлестірім  заңына  адекватты  болмауы  да 
мүмкін  [15,  16].  Моменттер  әдісінің  алгоритмі  екі  сатыдан 
тұрады. 
Алдын-ала модельдеу сатысы. 
1-қадам.  (5.7)  қатысынан 
A
  матрицасының  элементтерін 
анықтау. 
Негізгі модельдеу сатысы. 
2-қадам. 
1

k
 болсын. 
3-қадам. 
1

i
 деп алайық. 
4-қадам.  Мөлшерленген 

  кездейсоқ  шамасының 
i
y  
нақтыламасын модельдеу. 
5-қадам. 




i
j
i
ij
i
i
y
a
m
x
1
 
формуласымен 
кездейсоқ 


n
,...,



1

  векторының  i -құраушысының 
i
x   нақтыламасын 
есептеу. 
6-қадам. 
1

 i
i
  деп алайық. 
7-қадам. 
n
i 
  шартын  тексеру.  Бұл  шарт  орындалмаған 
жағдайда 4-ші қадамға оралу. 
8-қадам.  Кездейсоқ  вектордың  кезекті 
  

n
x
,...,
x
,
x
k
x
2
1

 
нақтыламасын баспалау. 
9-қадам. 
1

 k
k
 болсын. 
10-қадам.  Есептеудің  аяқталу,  яғни 
n
k    шартын  тексеру. 
Бұл шарт орындалмаған жағдайда 3-ші қадамға оралу. 
11-қадам. Соңы. 
 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
66

жүктеу/скачать 2,94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: