4-суреттегі  AB = AC  және   AE = AD. BD = CE  екенін дәлелдеңдер. 17

5
1.  Көпбұрыштар. 
A
1
A
2
, 
A
2
A
3
,  ..., 
A
n
 – 1
A
n
, 
A
n
A
1
  кесінділерден  түзілген 
фигураны  қарастырамыз.  Кесінділердің  орналасуы  сондай,  көршілес  екі 
кесінді  (олардың  төбесі  ортақ)  ешқашан  бір  түзудің  бойында  жатпайды, 
ол  көрші  емес  кесінділердің  ортақ  нүктелері  болмайды  (1-сурет). 
Бұндай 
пішін  көпбұрыш
  деп  аталады 
A
1
, 
A
2
,  ..., 
A
n
 
нүктелер  (төбелер) 
көпбұрыштың
  төбелері
,  ал  A
1
A
2
, 
A
2
A
3
,  ..., 
A
n
  – 1
A
n
, 
A
n
A
1
  кесінділер  көп-
бұрыштың 
қабырғалары
 деп аталады.
Көпбұрыштың  қабырғаларының  саны  оның  төбе ле -
рінің  санына,  яғни  бұрыштарының  санына  тең.  Көп бұ-
рыштар  төбелерінің  (қабырғаларының)  санына  қарай  үш-
бұрыштарға,  төртбұрыштарға,  бесбұрыштарға  және  бас-
қаларға бөлінеді. 
Егер тұйық сынық сызық өзімен -өзі қиылыспаса, онда 
бұндай  сынық  сызық  жай 
тұйық  сынық  сызық
  деп  ата-
лады.  Ол  жазықтықтың  сол  сынық  сызыққа  тиесілі  емес 
нүктелерін  екі  аймаққа  – 
ішкі 
және 
сыртқы  аймаққа
  бөле ді,  сөйтіп,  ортақ 
шекара міндетін атқарады. 1-суретте ішкі аймақ боялып көрсе тілген.
1-анықтама.
 
Егер  көпбұрыш  оның  кез  келген  жағын  өзінің  ішіне 
алатын түзумен бір жарты жазықтықтың бойында жатса, ол 
дөңес 
көпбұрыш
 деп аталады. Бұнда түзудің өзі де сол жарты жазықтыққа 
тиесілі болып саналады.
 § 1.
НЕГІЗГІ ТӨРТБҰРЫШТАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ 
ҚАСИЕТТЕРІ
1. КӨпБҰРЫШТЫҢ ІШКІ ЖӘНЕ СЫРТҚЫ 
БҰРЫШТАРЫНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
1
A
1
A
2
A
3
A
n
A
B
C
3
a
B
A
E
A
C
D
B
D
E
C
2
ә
І ТАРАУ. 
ТӨРТБҰРЫШТАР
http:eduportal.uz

6
2 - теорема. 
1 - теорема. 
2- 
а
 және 3-суретте дөңес көпбұрыш, ал 2-
б
-суретте дөңес емес көпбұ-
рыш  бейнеленген.  Ерікті  үшбұрыш  –  дөңес  көпбұрыш  болып  табылады 
(3-сурет).
2. Көпбұрыштың ішкі және сыртқы бұрыштарының қасиеті.
2-анықтама. 
Көпбұрыштың  берілген  төбеде  түйісетін  қабыр-
ғаларын  түзетін бұрыш 
көпбұрыштың ішкі бұрышы
 деп аталады.
 
Дөңес 
n 
 бұрыштың iшкi бұрыштарының қосындысы 180
°
 (
n
 
-
 2)-ге 
тең, мұнда
 
n 
— қабырғалар саны.
Дәлелдеу.  А
1
А
2
А
3
...А
n
 — берiлген  дөңес
 n
- 
бұ  рыш және 
n
 > 3 болсын (4-сурет). Бiрер тө-
бе сiнен,  мысалы 
А
1
-ден  көпбұрыштың  бар -
лық  диагональдарын  жүргiземiз.  Бұл  диа го-
нальдар оны (
n 
- 2) үшбұрышқа бөледi. Шын-
дығында да 
екi шеткi
 
үшбұрыштар 
(
 А
1
А
2
А
3
 
және 
 А
1
А
n-1
A
n
)
  көпбұрыштың  екi  қабырғасы 
және  бiр  диагоналiнен,  ал  қалған  үшбұрыш-
тар  көпбұрыштың  бiр  қабырғасы  және  екi  диаго налiнен  құралған. 
Сондықтан  үшбұрыштардың  саны  (
n 
- 2),  яғни  көпбұрыштың  қа-
бырғалары санынан екеуге кем болады. Көпбұ рыштың бұрыштарының 
қосындысы  оны  құрайтын  үшбұрыш  бұрыш тарының  қосындысына,  
яғни 180
°
(
n 
- 2)-ге тең болады. Теорема дәлелденді.
3-анықтама. 
Көпбұрыштың берiлген төбедегi сыртқы бұрышы
 
деп, 
көпбұрыштың сол төбедегi iшкi бұрышымен сыбайлас бұрышты атай  ды.
Дөңес 
n
  бұрыштың  әрбiр  төбесiнен  бiр-бiрлеп  алынғандағы 
сырт  қы бұ рыштарының қосындысы 360
°
-қа тең болады.
Дәлелдеу.
 Көпбұрыштың әрбiр төбе сiне бiр-
бiрден сыртқы бұрыш саламыз. Көпбұрыштың 
iшкi бұрышы және онымен сыбайлас сыртқы 
бұрышының қо сындысы 180
°
-қа тең болады 
(5-сурет). Сол себептi барлық iшкi және әр бiр 
тө бесiнен бiр-бiрден алынған сыртқы бұрыш-
тарының қосындысы 180
°
n
-ге тең.  Бiрақ көп-
бұ  рыш тың барлық iшкi бұрыштарының қосындысы 180
°
(
n 
- 2)-ге тең. Ол 
жағ дай да әрқайсы төбе сiнен бiр-бiрлеп алынған сыртқы бұрыштардың 
қосын дысы 
180
°
n 
– 180
° 
(
n 
–2)
 
= 180
°
n 
–180
°
n + 
 360
°
 
= 360
°
 болады. 
Теорема дәлелденді.
A
2
A
n – 
1
A
n
A
1
A
3
4
 A
E
D
B
C
5
http:eduportal.uz

7
1-есеп.
 Қабырғалары тең 
п
  бұрыштың әрбiр iшкi бұрышы  (
a
п
) неге 
тең?
Шешуi.
 Кез келген дөңес 
п
 бұрыштың бұрыштарының қосындысы  180
°
-
қа (
п
 – 2) тең екенi белгiлi. Дұрыс көпбұрыштың бұрыштары тең болғандығы 
себептi олардың‚ әрқайсысы төмендегiлерге тең болады:
.
2-есеп. 
Қабырғалары тең
 п
 бұрыштың әрбiр сыртқы бұрышы (β
n
) неге 
тең?
Шешуi.
 Кез келген дөңес
 п
 бұрыштың‚ әрбiр төбесiнен бiр-бiреуден 
алынған сыртқы бұрыштардың қосындысы 360° -қа тең екендiгi белгiлi.
Сонымен қабырғалары тең 
п 
бұрыштың әрбiр сыртқы бұрышы төменде-
гiлерге тең болады:   
. 
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
 1. 
1)  Көпбұрыштың  берiлген  төбесiндегi  iшкi  бұрышы  дегенiмiз  не? 
Сыртқы бұрышы дегеніміз ше?
   2) Дөңес 
n
 бұрыштың iшкi бұрыштарының қосындысы неге тең?  
 2. 
Көпбұрыш  бұрыштарының  қосындысы:  1)  1080
°
-қа;  2)  1620
°
-қа;  3) 
3960
°
-қа тең.  Көпбұрыштың қанша қабырғасы бар?
 3. 
1)  Төртбұрыштың;  2)  онекiбұрыштың;  3)  отызбұрыштың;  4)  елу-
бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысын тап.
 
Үлгі
.  1) 
S
13
 = 180° · (13 − 2) = 180° · 11 = 1980°.
 4. 
Егер  төртбұрыштың  үшеуден  алынған  бұрыштарының  қосындысы 
сәйкесінше  240º,  260º  және  280º  болса,  онда  оның  ең  кіші  бұрышы 
нешеге тең болады?
 5. 
Ішкі бұрыштарының әрқайсысы:  1)  150º -қа;  2)  170º -қа;  3)  171º -қа 
тең  дөңес көпбұрыштың неше қабырғасы бар? 
 
6.
  Көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы  оның әрбір төбесінен 
біреуден алынған сыртқы бұрыштарының қосындысынан үш есе үлкен. 
Сонда  бұл  көпбұрыштың  қабырғаларының  саны  нешеу  болғаны?    Бос 
орындарға сәйкес сандарды орналастырыңдар.
 
Шешуі.  
Есептің шартына орай,  180°(
n
 − 2) = ... · 360°.  Бұдан 
                     180°(
n
 − 2) = ... · 2 · 180°, 
n
 − 2 = 6, 
n
 = ... .                
Жауабы:
  
 
n
 = ... . 
 7. 
Сыртқы бұрыштарының әрқайсысы: 1) 15°-қа; 2) 45°-қа; 3) 60°-қа тең 
дөңес көпбұрыштың неше қабырғасы бар?
 8. 
Егер  төртбұрыштың  үш  бұрышы  доғал  болса,  ондай  жағдайда  төр-
тінші бұрышы сүйір болады. Осыны дәлелдеңдер.
 9. 
Сыртқы бұрыштарының әрқайсысы:  1)  15º-қа;  2)  45º -қа;  3)  72º -қа 
тең болған дөңес көпбұрыштың неше қабырғасы бар?
10. 
Дөңес төртбұрыштың бұрыштары  1,  2,  3 және 4  сандарына пропор-
ционал. Сол бұрыштарды табыңдар. 
?
http:eduportal.uz

8

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: