Үшбұрыш орта перпендикулярларының қиылысу нүктесі

148
Үшбұрыш  қабырғаларының  орта  перпендикулярлары  бір  нүктеде 
қиылысады.
4-теорема.
Дәлелдеу.  ΔАВС 
берілген  (6-сурет). 
Оның
 АВ 
және
 ВС 
қабырғаларына
 m 
және 
n 
орта перпендикулярларын жүргіземіз. Олар 
бірер
  О 
нүктеде  қиылысады  (қию шы  түзу-
лерге  перпендикуляр  түзулер  қиы  лысады). 
Бізге  белгілі  болғанындай,  қию шы  орта 
перпендикулярының  ерікті  нүкте сінен  қи-
юшының  төбелеріне  дейінгі  қашықтықтар 
тең.  Осыған  орай,
  ОА  =  ОВ  (1) 
және 
  ОВ 
= ОС 
(2) болады. (1)  мен (2) теңдіктерден 
табамыз: 
ОА = ОС. 
Демек,
 АС 
қабырғаның орта перпендикуляры
  р 
де 
О 
н
үктеден өтеді. Сонымен,
 О 
нүкте
  ΔАВС­
ның үш төбесінен де теңдей алы-
стаған болады:  
ОА = ОВ = ОС. 
Бұдан 
 ΔАВС­
ның қабырғаларына жүргізіл-
ген  үш
  m,  n  
және
 p 
 орта перпендикулярлары
 О 
нүктеде қиылысатыны 
келіп шығады.
 
A
C
O
B
E
D
7
?
Теорема дәлелденді.
1.   
1) Үшбұрыштың    биіктіктері   әрқашан қиылыса  бере ме?
 
2) Үшбұрыштың неше ғажайып нүктесін біле сіңдер? Оларды атаңдар.
 2. 
Тең қабырғалы үшбұрыштың ғажайып нүктелері қалай орналасқан?
 3. 
Егер  үшбұрышта  екі  медиана  тең  болса,  онда 
олар тең бүйірлі болады. Осыны дәлелдеңдер.
 
Шешуі.
 
ABC
  үшбұрышында 
AD
  және 
CE
  медиа-
налары  тең,  олар 
O
  нүктеде  қиылыссын  делік 
(7-сурет). 
AOE
  және 
COD
  үшбұрыштарын  қа рас  -
тырайық. 
О
  нүкте  өзара  тең 
AD
  және 
CE
  ме диа-
наларының  әрқайсысын  2  :  1  қатынаста  бөле ді. 
Сондықтан 
AO
 = 
CO
, 
EO
 = 
DO
  болады.  Бұ дан  тыс 
вертикаль бұрыштар болғаны үшін: 
∠
AOE
 = 
∠
COD
. 
Демек,  үшбұрыштар  теңдігінің  бірінші  белгісіне 
орай: 
Δ
AOE
 = 
Δ
COD
. Бұдан, 
AE
 = 
CD
 екені келіп шы ғады. Бұл қиюшылар, 
медиананың анықтамасына орай, 
АВ
 және 
СВ
 қабырғалардың жартысына 
тең. Демек, 
АВ = СВ
, яғни АВС үшбұрышы тең бүйірлі екен. Бізден осы-
ны дәлелдеу талап етілген еді.
 4. 
Тең  бүйірлі  үшбұрыштың  төрт  ғажайып  нүктесі  бір  түзудің  бойында 
орналасқанын дәлелдеңдер. Ол қайсы түзу болады?
 5. 
Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі ортоорталықпен бетпе-бет 
түседі. Берілген үшбұрыштың тең қабырғалы екенін дәлелдеңдер.
 6.
  Үшбұрыштың төбесі биіктіктерінің қиылысқан нүктесі болуы мүмкін бе?
 7. 
Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі медианалардың бірін айыр-

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: