Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 4. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА Упражнение 143. a)Доказать, что число ? = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 9 + 1 10 не целое; b) Число ? записали в виде несократимой дроби. Чјтен ли еј числитель? А знаменатель? Упражнение 144. Найти все пары ( x, y ) ? Q 2 , такие, что p 2 ? 3 ? 3 = = p x ? 3 ? p y ? 3 и доказать, что других нет. Упражнение 145. Цитата из рассказа В.Пелевина ѕВести из Непалаї: На всем пространстве между циклопическими зданиями боксов и воро- тами, через которые Любочка пыталась пройти три минуты назад, не было видно никого, кроме высокого мужчины в красном фартуке, с боль- шим широкоскулым лицом. Он держал в мускулистых розовых руках щит с надписью ѕКРЕПИ ДЕМОКРАТИЮ!ї и шагал прямо на Любочку (...) Метрах в двадцати от бокса стояли двое (...) Один из них был толстым и низеньким, уже в летах, а другой стриженным наголо молодым че- ловеком. Держась за руки, они внимательно разглядывали плакат. Обрати внимание, говорил низенький, причем над его ртом подни- мался пар, на сложность концепции. Как это загадочно уже само по себе плакат, изображающий человека, несущего плакат! Если развить эту идею до полагающегося ей конца и поместить на щит в руках муж- чины в красном комбинезоне плакат, на котором будет изображен он сам, несущий такой же плакат, что мы получим? (...) Мы получим модель вселенной, понятное дело, ответил молодой че- ловек. Допустим, как и предлагал низенький, что на каждом плакате изображен человек, несущий плакат и.т.д. Докажите, что существует точка, принад- лежащая всем этим плакатам. Единственна ли эта точка? Плакаты можно считать прямоугольниками со сторонами, параллельными координатным осям. 4.3 Длина дуги окружности 4.3.1 Длина окружности. Вспомним некоторые понятия из геометрии. Ломаной из n звеньев на плос- кости называется n +1 различных точек A 0 , A 1 , . . . , A n вершин ломаной и n отрезков, последовательно соединяющих эти точки. Ломаная без само- пересечений называется простой (см. рис. 4.3.1). Точки A 0 и A n называются концами ломаной. Если концы ломаной совпадают, ломаная называется за- мкнутой. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, звенья этой ломаной сторонами многоугольника, вершины ломаной вершина- ми многоугольника. Если эта ломаная имеет n звеньев, то ее называют n угольник. Многоугольник называется выпуклым, если для всякой его стороны верно, что все остальные стороны лежат в одной полуплоскости от- носительно прямой, содержащей выбранную сторону. Длина ломаной суть сумма длин еј звеньев, периметр многоугольника сумма длин его сторон. 4.3. ДЛИНА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ 57 A 0 A 1 . . . . . . A n Рис. 4.1: Простая незамкнутая ломаная Теорема 10. Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосхо- дит длины ломаной. Доказательство проведјм индукцией по числу звеньев ломаной. • Для n = 1 утверждение, очевидно, верно. • Шаг индукции: рассмотрим ломаную A 0 A 1 . . . A n A n +1 , состоящую из ( n + 1) -го звена. Обозначим l n длину ломаной, A 0 A 1 . . . A n , состоящей из n звеньев. Тогда | A 0 A n +1 | ? | A 0 A n | + | A n A n +1 | ? l n + | A n A n +1 | = l n +1 . Первое неравенство суть неравенство треугольника, а второе справед- ливо по предположению индукции. Теорема 11. (Без доказательства) Если выпуклый многоугольник Q 0 со- держит выпуклый многоугольник R, то периметр R не превосходит пе- риметра Q 0 : P ( R ) ? P ( Q 0 ) . Рассмотрим произвольную окружность. Пусть M множество перимет- ров вписанных в окружность выпуклых многоугольников. Множество M не пусто, так как в окружность можно вписать треугольник, периметр кото- рого будет элементом M. По теореме 11 множество M ограничено сверху периметром описанного около окружности треугольника. По теореме 7 су- ществует L = sup M. Эту величину L и называют длиной окружности. Определение 43. Длиной окружности называется точная верхняя грань множества периметров вписанных в окружность выпуклых многоугольни- ков. |