Лекции и упражнения

Часть II
Последовательности и ряды
75

Глава 6
Последовательности.
6.1 Определение и примеры
Определение 53. Последовательностью (числовой) называется функ-
ция, определенная на множестве натуральных чисел
a
:
N
7?
R
. Принято
обозначение
a
(
n
) =
a
n
, число
a
n
называется
n
-м членом последователь-
ности. Саму последовательность обычно записывают следующим образом:
{
a
n
}
?
n
=1
.
6.1.1 Прогрессии
Пример 17. Арифметическая прогрессия. Последовательность
{
a
n
}
?
n
=1
,
каждый член которой (начиная со второго) равен сумме предыдущего с
некоторым числом
d
, которое называют разностью прогрессии, т.е.
(
a
n
+1
=
=
a
n
+
d
)
при всех
n
?
N
. Верны формулы для
n
го члена
a
n
=
a
1
+
d
(
n
?
1)
и для суммы первых
n
членов прогрессии
S
n
=
a
1
+
a
2
+
. . .
+
a
n
= (2
a
1
+
d
(
n
?
1))
·
n
2
.
Доказательство  индукцией по
n
?
N
, предоставляется читателю в ка-
честве упражнения.
Пример 18. Геометрическая прогрессия. Последовательность
{
b
n
}
?
n
=1
,
каждый член которой (начиная со 2го) равен произведению предыдущего с
некоторым числом
q
, которое называют знаменателем прогрессии, т.е.
?
n
?
N
(
a
n
+1
=
a
n
+
d
)
. Верны следующие формулы для
n
-го члена
b
n
=
b
1
·
q
n
?
1
77

78
ГЛАВА 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
и для суммы первых
n
членов прогрессии
S
n
=
b
1
+
b
2
+
. . .
+
b
n
=
b
1
·
q
n
?
1
q
?
1
,
если
q
6
= 1
.
Доказательство.
Индукция по
n
?
N
, предоставляется читателю в качестве упражнения.
6.1.2 Числа Фибоначчи
Пример 19. Числа Фибоначчи. Последовательность
{
?
n
}
?
n
=1
в кото-
рой первые два члена равны 1, а каждый последующий равен сумме двух
предыдущих.
Утверждение 13. Верна формула для
n
-го члена последовательности
Фибоначчи:
?
n
=
1
?
5
" 
1 +
?
5
2
!
n
?
 
1
?
?
5
2
!
n
#
(формула Бинэ)
.
Доказательство.
Обозначим
?
1
=
1+
?
5
2
,
?
2
=
1
?
?
5
2
. Несложно заметить, что
?
1
+
?
2
= 1
;
?
1
·
?
2
=
?
1
, следовательно, по теореме Виета, эти числа есть корни квад-
ратного уравнения
?
2
?
?
?
1 = 0
, а значит
?
2
i
=
?
i
+ 1
,
i
= 1
,
2
. Докажем
теперь формулу Бинэ индукцией по
n
?
N
•
База индукции. Проверяем для
n
= 1
,
2
:
?
1
=
1
?
5
(
?
1
1
?
?
1
2
) =
?
5
?
5
= 1;
?
2
=
1
?
5
(
?
2
1
?
?
2
2
) =
1
?
5
(
?
1
?
?
2
)(
?
1
+
?
2
) =
?
5
?
5
= 1
.
Таким образом, формула верна при
n
= 1
,
2
.
•
Шаг индукции Поскольку
?
1
,
2
 корни уравнения
?
2
?
?
?
1 = 0
, то
для них выполнено тождество:
?
2
=
?
+1
. Умножив обе части на
?
n
?
1
,
получим
?
n
+1
=
?
n
+
?
n
?
1
.
(6.1.1)
Предположим, что формула Бинэ верна для
1
,
2
, . . . , n
и докажем ее
для
n
+ 1
:
?
n
+1
=
?
n
+
?
n
?
1
=
1
?
5
(
?
n
1
?
?
n
2
) +
1
?
5
(
?
n
?
1
1
?
?
n
?
1
2
) =
=
1
?
5
(
?
n
1
+
?
n
?
1
1
)
?
(
?
n
2
+
?
n
?
1
2
)
.
Применив равенство 6.1.1, получим
?
n
+1
=
1
?
5
?
n
+1
1
?
?
n
+1
2
.

6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ
79
6.1.3 Ограниченные и монотонные последовательности
Определение 54. Последовательность
a
n
называют ограниченной свер-
ху если все ее члены не превосходят некоторого числа
M
, т.е. при всех
n
?
N
выполнено неравенство
a
n
6
M
.
Определение 55. Последовательность
a
n
называют ограниченной сни-
зу если все ее члены не меньше некоторого числа
m
, т.е. при всез
n
?
N
выполнено неравенство
a
n
>
m
.
Определение 56. Последовательность
a
n
называют ограниченной если
она ограничена сверху и снизу.
Например, последовательность
a
n
=
?
n
2
является ограниченной сверху,
но не снизу (и, значит, не является ограниченной).
Определение 57. Последовательность
a
n
называют возрастающей если
каждый ее член строго больше предыдущего. Т.е.
?
n
?
N
a
n
+1
> a
n
.
Определение 58. Последовательность
a
n
называют убывающей если
каждый ее член строго меньше предыдущего. Т.е.
?
n
?
N
a
n
+1
< a
n
.
Определение 59. Последовательность
a
n
называют неубывающей если
каждый ее член не меньше предыдущего. Т.е.
?
n
?
N
a
n
+1
>
a
n
Определение 60. Последовательность
a
n
называют невозрастающей ес-
ли каждый ее член не больше предыдущего. Т.е.
?
n
?
N
a
n
+1
6
a
n
.
Определение 61. Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубы-
вающие последовательности называют монотонными.
Например, последовательность
a
n
=
?
n
2
является убывающей, а после-
довательность
a
n
= 2013
является неубывающей и невозрастающей.
6.1.4 Ловушки последовательности
Определение 62. Множество
A
называют ловушкой последовательно-
сти
a
n
если начиная с некоторого номера все члены последовательности
попадают в это множество, т.е.
?
N
?
N
, такое, что
?
n > N
(
a
n
?
A
)
Лемма 6. Последовательность
a
n
ограничена тогда и только тогда, ко-
гда существует
M >
0
, такое, что отрезок
[
?
M, M
]
является ловушкой
этой последовательности.
Доказательство.
1) Пусть последовательность
a
n
ограничена, т.е. существуют
m
1
и
m
2
, та-
кие, что
?
n
(
a
n
?
[
m
1
, m
2
])
. Выберем
M
= max(
m
1
, m
2
)
, тогда
a
n
?
[
?
M, M
]
при всех
n
?
N
, т.е.
[
?
M, M
]
 ловушка
a
n
.
2) В обратную строну. Пусть
[
?
M, M
]
 ловушка последовательности
a
n
. Значит, начиная с некоторого номера
N
выполнены неравенства
?
M
6
6
a
n
6
M
. Выберем
m
1
= min(
a
1
, a
2
, . . . , a
N
?
1
,
?
M
)

80
ГЛАВА 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
и
m
2
= max(
a
1
, a
2
, . . . , a
N
?
1
, M
)
.
Тогда, очевидно, неравенства
m
1
6
a
n
6
m
2
выполнены для любого
n
, что
и требовалось доказать.
Определение 63. Множество
A
называют кормушкой последовательно-
сти
a
n
если в это множество попадают члены последовательности со сколь
угодно большим номером.
?
N
?
N
?
n > N
: (
a
n
?
A
)
Пример 20. Рассмотрим последовательность
(
?
1)
n
n
. Интервал
(
?
1
,
1]
является кормушкой, но не ловушкой этой последовательности. А отре-
зок
[
?
1
,
1]
является и ловушкой и кормушкой.
Упражнение 149. Доказать, что любая ловушка является кормушкой
(для той же последовательности).
Упражнение 150. Пусть
A
и
B
 кормушки последовательности
a
n
. Бу-
дет ли кормушкой а)
A
?
B
; б)
A
?
B
?
Упражнение 151. Пусть
A
и
B
 ловушки последовательности
a
n
. Будет
ли ловушкой а)
A
?
B
; б)
A
?
B
?
Решение. (пункта б.) По определению ловушки найдутся
N
1
, N
2
та-
кие, что
?
n > N
1
(
a
n
?
A
)
?
n > N
2
(
a
n
?
B
)
. Тогда взяв
N
0
= max(
N
1
, N
2
)
,
получим
?
n > N
0
(
a
n
?
A
?
B
)
, следовательно
A
?
B
 ловушка.
6.2 Бесконечно малые (б.м.п.) и бесконечно боль-
шие (б.б.п.) последовательности
6.2.1 Определения и примеры
Определение 64. Последовательность
a
n
называется бесконечно малой
последовательностью (сокращенно б.м.п.) если для любого
? >
0
окрест-
ность
U
?
(0)
является ее ловушкой.
Пример 21. Последовательность
a
n
=
1
n
является б.м.п. Действитель-
но, зафиксируем
? >
0
и рассмотрим
N
= [1
/?
] + 1
. Тогда для любого
n > N
выполнено
a
n
= 1
/n <
1
/N < ?
, т.е.
a
n
?
U
?
(0)
.
Определение 65. Последовательность
a
n
называется бесконечно боль-
шой последовательностью (сокращенно б.м.п.) если для любого
? >
0
множество
U
?
(
?
) = (
??
,
?
?
)
?
(
?,
+
?
)
является ее ловушкой.
6.2.2 Свойства б.м.п. и б.б.п.
Утверждение 14. Любая б.м.п. ограничена.

6.2. БМП И ББП
81
Доказательство.
Пусть
a
n
 б.м.п. По определению б.м.п. найдется
N
?
N
, такое, что
?
n >
> N
(
a
n
?
U
1
(0))
. Выберем
C
= max(
|
a
1
|
,
|
a
2
|
, . . . ,
|
A
N
|
,
1)
. Очевидно (для
всех натуральных
n
)
|
a
n
|
< C
, следовательно
?
C < a
n
< C
, что и требова-
лось доказать.
Утверждение 15. Любая б.б.п. неограничена.
Доказательство.
Вытекает из леммы 6.
Утверждение 16. Пусть
a
n
 б.б.п. и
a
n
6
= 0
при всех
n
?
N
. Тогда
b
n
=
1
a
n
 б.м.п.
Доказательство.
Зафиксируем
? >
0
. Пусть
M
=
1
?
. По определению
(
??
, M
)
?
(
M,
?
)
явля-
ется ловушкой
a
n
, что равносильно тому, что
|
a
n
|
> M
начиная с некоторого
номера. Это равносильно (при
a
n
6
= 0
) тому, что
|
b
n
|
=
1
|
a
n
|
<
1
M
=
?.
Утверждение 17.
a
= lim
n
??
a
n
тогда и только тогда, когда
a
?
a
n
явля-
ется б.м.п.
Доказательство.
Пусть
a
= lim
n
??
a
n
. Тогда для любого
? >
0
окрестность
U
?
(
a
)
 ловушка.
Следовательно
?
n > N
(
|
a
?
a
n
|
< ?
)
, а значит
?
n > N
(
a
?
a
n
)
?
U
?
(0)
, что
и требовалось доказать.
В другую сторону. Пусть последовательность
a
?
a
n
является б.м.п. То-
гда для любого
? >
0
окрестность
U
?
(0)
является ее ловушкой. Следова-
тельно,
|
a
?
a
n
|
< ?
, а значит
a
n
?
U
?
(
a
)
.
6.2.3 Арифметические свойства б.м.п.
Утверждение 18. Пусть
a
n
 б.м.п.,
C
 некоторое число. Тогда
C
·
a
n
тоже б.м.п. Другими словами, произведение б.м.п. на число есть б.м.п.
Доказательство.
Если
C
= 0
то
0
·
a
n
, очевидно, б.м.п. Пусть
C
6
= 0
. Тогда для произвольного
? >
0
выберем
?
0
=
?
|
C
|
>
0
. По определению б.м.п. найдется
N
такое, что
?
n > N
(
a
n
?
U
?
0
(0))
. Это означает, что
?
n > N
|
a
n
|
< ?
0
, следовательно
?
n > N
|
C
·
a
n
|
< ?
0
· |
C
|
=
?
, а значит
C
·
a
n
является б.м.п.
Утверждение 19. Пусть
a
0
n
и
a
00
n
 б.м.п. Тогда
a
n
, где
a
n
=
a
0
n
+
a
00
n
тоже б.м.п. Другими словами, сумма б.м.п. есть б.м.п.
Доказательство.
Для произвольного
? >
0
выберем
?
0
=
?
2
>
0
. Тогда найдутся
N
и
N
0
,
такие, что
?
n > N
(
|
a
0
n
|
< ?
0
)
и
?
n > N
0
(
|
a
00
n
|
< ?
0
)
. Следовательно
?
n >
>
max(
N, N
0
)(
|
a
n
|
=
|
a
0
n
+
a
00
n
|
6
|
a
0
n
|
+
|
a
00
n
|
<
2
·
?
0
=
?
)
. A значит
a
n
б.м.п.

82

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: