Лекции и упражнения

6.4. ВЛОЖЕННЫЕ И СТЯГИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТРЕЗКОВ. 89
Упражнение 174. Пусть
a
n
>
0
. Доказать, что если
lim
n
??
a
n
=
a
, то
lim
n
??
n
?
a
1
·
. . .
·
a
n
=
a
.
Упражнение 175. Доказать, что если
lim
n
??
a
n
+1
?
a
n
=
a
, то
lim
n
??
a
n
n
=
a
.
Упражнение 176. Найти предел: a)
lim
n
??
3
n
?
n
+2
n
?
7
n
?
n
+5
n
+11
; b)
lim
n
??
?
n
2
+
n
?
?
?
n
2
?
1
; c)
lim
n
??
2
3
n
+3
n
5
n
?
1
?
8
n
+1
.
Упражнение 177. Доказать, что если
lim
n
??
a
n
=
a
, то
lim
n
??
|
a
n
|
=
|
a
|
. Верно
ли обратное утверждение?
Упражнение 178. Доказать, что если
lim
n
??
a
n
=
a
и
a
n
?
0
при всех
n
?
N
,
то
a
?
0
и
lim
n
??
?
a
n
=
?
a
.
Упражнение 179. Доказать, что если
lim
n
??
a
n
=
a
, то
lim
n
??
S
n
n
=
a
, где
S
n
=
a
1
+
a
2
+
. . .
+
a
n
.
Упражнение 180. Найти предел последовательности
a
n
=
C
4
n
·
1
n
4
.
Упражнение 181. Пусть
a
n
=
q
1
1
2
+
1
2
2
+
. . .
+
1
n
2
. Существует ли предел
последовательности
a
n
? Ответ обосновать.
Упражнение 182. Пусть
a
n
=
1
?
1
+
1
?
2
+
. . .
+
1
?
n
2
. Существует ли пре-
дел последовательности
a
n
? Ответ обосновать.
Упражнение 183. Найти предел: a)
lim
n
??
n
2
?
n
+2
n
?
7
n
?
n
?
5
n
2
?
n
+11
; b)
lim
n
??
?
n
2
+ 3
n
?
?
?
n
2
+
n
; c)
lim
n
??
2
n
+3
2
n
9
n
+1
?
5
n
+1
.
Упражнение 184. Доказать, что последовательность
a
n
=
C
3
n
·
1
n
3
имеет
предел и найти его.
Упражнение 185. Пусть
lim
n
??
a
n
=
a
. Рассмотрим последовательность
средних арифметических
A
n
=
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
n
. Доказать, что предел
lim
n
??
A
n
существует и равен тому же числу
a
.
Упражнение 186. Пусть
?
m, n
?
N
выполняются неравенства
0
6
x
m
+
n
6
6
x
m
+
x
n
. Доказать, что существует предел
lim
n
??
x
n
n
.
Упражнение 187. Сходится ли последовательность
a
n
= sin(2
?e
·
n
!)
?
Упражнение 188. Доказать
lim
n
??
n
?
n
!
/n
= 1
/e
.
Упражнение 189. Дана последовательность
{
?
n
}
?
n
=1
в которой первые
два члена равны 1, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих
(числа Фибоначчи). Найти предел
lim
n
??
?
n
+1
?
n
.

90
ГЛАВА 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Упражнение 190. Последовательность
a
n
составлена из положительных
чисел. Доказать, что если предел
lim
n
??
a
1
+
a
n
+1
a
n
n
=
e
0
существует, то
e
0
> e
.
Упражнение 191. Найти a)
lim
n
??
(1
?
1
/
4)(1
?
1
/
9)
·
. . .
·
(1
?
1
/n
2
)
; b)
lim
n
??
2
3
?
1
2
3
+1
·
3
3
?
1
3
3
+1
·
. . .
·
n
3
?
1
n
3
+1
.
Упражнение 192. Найти
lim
n
??
sin (2 +
?
3)
n
?
.
Упражнение 193. Пусть
a
1
=
x
,
a
n
+1
= (
a
n
+ 1)
·
x
. Решить уравнение:
lim
n
??
a
n
= 1
Упражнение 194. Пусть
a
1
=
?
x
,
a
n
+1
=
?
a
n
·
x
. Решить уравнение:
lim
n
??
a
n
= 3
.
Упражнение 195. Пусть
a
1
=
?
x
,
a
n
+1
=
?
x
+
a
n
. Решить уравнение:
lim
n
??
a
n
= 2
.
Упражнение 196. Пусть
a
1
= log
2
3
x
,
a
n
+1
= log
2
3
x
+
a
n
. Решить урав-
нение:
lim
n
??
a
n
= 5
.
Упражнение 197. Пусть
a
1
=
x
+ 1
,
a
n
+1
= (
x
+ 1)
a
n
. Решить уравнение:
lim
n
??
a
n
= 4
.
Упражнение 198. Пусть
a
1
=
?
2 +
x
,
a
n
+1
=
?
2 +
x
·
a
n
. Решить урав-
нение:
lim
n
??
a
n
= 14
.
Упражнение 199. Пусть
a
1
= 3
x/
2
,
a
n
+1
=
?
3
x
+
a
n
. Решить уравнение:
lim
n
??
a
n
= 6
.
Упражнение 200. Пусть
[
a
n
, b
n
]
 стягивающая система отрезков,
c
=
=
?
T
n
=1
[
a
n
;
b
n
]
. Докажите, что
lim
n
??
a
n
= lim
n
??
b
n
=
c
.
Упражнение 201. Пусть
[
a
n
, b
n
]
 вложенная система отрезков, не явля-
ющаяся стягивающейся. Может ли их пересечение состоять ровно из одной
точки?

Глава 7
Последовательности-2.
7.1 Теоремы Вейерштрасса и БольцаноВейерштрасса
Теорема 22. (К. Вейерштрасс) Предел монотонной ограниченной после-
довательности
a
n
существует и равен
sup
{
a
n
|
n
?
N
}
(для возрастающей
последовательности) или
inf
{
a
n
|
n
?
N
}
(для убывающей последовательно-
сти).
Рис. 7.1: Карл Вейерштрасс
(1815-1897).
Доказательство.
Рассмотрим возрастающую последователь-
ность
a
n
. Множество
A
=
{
a
n
|
n
?
N
}
огра-
ничено сверху и не пусто, следовательно
существует
a
0
= sup
A
. Рассмотрим про-
извольную окрестность
U
(
a
0
) = (
b, c
)
. По-
скольку
b < a
0
= sup
A
, то существует но-
мер
N
?
N
, такой, что
a
N
> b
. Из моно-
тонности последовательности
a
n
вытекает,
что
?
n > N
(
a
n
> a
N
> b
)
. С другой сторо-
ны
?
n
?
N
(
a
n
6
sup
A < c
)
. Таким образом,
?
n > N
(
a
n
?
(
b, c
) =
U
(
a
0
))
. Следователь-
но
U
(
a
0
)
есть ловушка
a
n
.
Лемма 7. Пусть в последовательности
a
n
нет наименьшего элемента , т.е.
6 ?
n
?
?
N
(
a
n
= inf
{
a
n
|
n
?
N
}
)
. Тогда существу-
ет монотонная подпоследовательность
a
n
1
>
> a
n
2
> . . . > a
n
k
> . . .
(
n
1
< n
2
< . . . <
< n
k
).
Доказательство.
Выберем
n
1
= 1
, тогда
a
n
1
=
a
1
. Пусть
теперь уже выбраны
a
n
1
> a
n
2
> . . . >
> a
n
k
, выберем
a
n
k
+1
< a
n
k
, так, чтобы
91

92

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: