Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ. Рис. 1.6: Бертран Рассел (18721970) Упражнения Упражнение 1. Среди математиков каждый седьмой философ, а среди философов каждый девятый математик. Кого больше: философов или математиков? Упражнение 2. В саду у Ани и Вити росло 2014 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми? Упражнение 3. В классе все увлекаются математикой или биологией. Сколько человек в классе, если математикой занимаются 15 человек, био- логией 20, а математикой и биологией одновременно 10? Упражнение 4. В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги волшебники? Упражнение 5. Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела ска- зочных животных. Все они, кроме двух, Говорящие Коты; все, кроме двух Мудрые Совы; остальные Усатые Тараканы. Сколько обитателей в избушке у Бабы Яги? Упражнение 6. В киоске около школы продается мороженое двух видов: ѕЛакомкаї и ѕЭскимо на палочкеї. На перемене 24 ученика успели ку- пить мороженое. При этом 15 из них купили ѕЛакомкуї, а 17 ѕЭскимої. Сколько человек купили мороженое обоих сортов? 1.3. ПАРАДОКС РАССЕЛА 17 Упражнение 7. По данным опроса, проведенного в 9 ѕAї классе, выясни- лось, что 20% учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и физикой, а 25% учеников, интересующихся физикой, интересуются так- же и математикой. И только Пете с Васей не интересен ни один из этих предметов. Сколько человек в 9 ѕAї, если известно, что их больше 20, но меньше 30? Упражнение 8. В летнем лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драм- кружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена по- сещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Упражнение 9. (Л.Кэррол) В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов по- теряли один глаз, 75 одно ухо, 80 одну руку и 85 одну ногу. Каково минимально возможное число пиратов, потерявших сразу глаз, ухо, руку и ногу? Упражнение 10. Ученики 9 класса решали две задачи. В конце занятия учитель составил четыре списка: I решивших первую задачу, II решив- ших только одну задачу, III решивших по крайней мере одну задачу, IV решивших обе задачи. a) Какой из списков самый длинный? b) Могут ли два списка совпадать по составу? Если да, то какие? Упражнение 11. В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме ѕрї, которую просто пропускают при письме, а остальные знают все бук- вы, кроме ѕкї, которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово ѕкотї, 18 других учеников слово ѕротї, а осталь- ных слово ѕкротї. При этом слова ѕкотї и ѕротї оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали свој слово верно? Ответ обоснуйте. Упражнение 12. Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) a) Сколько будет у Пети ѕприятныхї дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? b) Сколько ѕскучныхї, когда совсем не будет никаких дел? Упражнение 13. Дима провјл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете. Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Архангельске. 16 жителей играют в шахматы и были в Ар- хангельске, притом среди них 15 еще и летали на самолете. От управдома Дима узнал, что всего в подъезде живет 45 человек. Не врет ли управдом? Упражнение 14. (Н. Я. Виленкин, Рассказы о множествах) Однажды во время беседы за чашкой кофе в клубе Межгалактических пу- тешественников знаменитый член этого клуба, Мюнхгаузен космической |