Лекции и упражнения

15.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
175
15.2 Определение. Правила дифференцирова-
ния.
Определение 126. Если существует предел
A
= lim
?
x
?
0
f
(
x
0
+
?x
)
?
f
(
x
0
)
?x
,
то говорят, что функция
f
(
x
)
дифференцируема в точке
x
0
, а значение
предела называют производной функции
f
в точке
x
0
и обозначают
A
=
=
f
0
(
x
0
)
Определение 127. Если существует
A
, такое, что
f
(
x
) =
f
(
x
0
) +
A
·
(
x
?
x
0
) +
o
(
x
?
x
0
)(
x
?
x
0
)
,
то говорят, что функция
f
(
x
)
дифференцируема в точке
x
0
, а величину
A
называют производной функции
f
в точке
x
0
и обозначают
A
=
f
0
(
x
0
)
Теорема 71. Определения 126 и 127 эквивалентны.
Доказательство.
Пусть
A
= lim
?
x
?
0
f
(
x
0
+
?x
)
?
f
(
x
0
)
?x
. Тогда
f
(
x
0
+
?x
)
?
f
(
x
0
)
?x
=
A
+
o
(1)
, следователь-
но
f
(
x
0
+
?x
)
?
f
(
x
0
) =
A
·
?x
+
o
(
?x
)
,
В обратную сторону, пусть
f
(
x
0
+
?x
) =
f
(
x
0
) +
A
·
?x
+
o
(
?x
)
. Тогда
lim
?
x
?
0
f
(
x
0
+
?x
)
?
f
(
x
0
)
?x
= lim
?
x
?
0
(
A
+
o
(
?x
)
?x
) =
A
,
Лемма 30. Если функция
f
(
x
)
дифференцируема в точке
x
0
, то она непре-
рывна в этой точке.
Доказательство.
Очевидно,
lim
x
?
x
0
f
(
x
) = lim
x
?
x
0
(
f
(
x
0
) +
f
0
(
x
0
)
·
(
x
?
x
0
) +
o
(
x
?
x
0
)) =
f
(
x
0
)
,
Следствие 29. Если функция
f
(
x
)
дифференцируема в точке
x
0
, то она
ограничена в некоторой окрестности
U
?
(
x
0
)
.
Определение 128. Множество
M
называют открытым, если для любого
a
?
M
существует
? >
0
, такое, что
U
?
(
a
)
?
M
.
Определение 129. Пусть множество
M
открыто и
f
дифференцируема во
всех его точках Тогда говорят, что
f
дифференцируема на
M
и обозначают
f
? D
(
M
)
.
Для нас также важен случай, когда надо рассматривать производную
функции, определенной на отрезке (который, очевидно, не является откры-
тым множеством). Для этого понадобятся следующие определения:

176
ГЛАВА 15. ПРОИЗВОДНАЯ
Определение 130. Если предел
lim
?
x
?
+0
f
(
x
0
+?
x
)
?
f
(
x
0
)
?
x
существует, то гово-
рят, что функция
f
(
x
)
дифференцируема справа в точке
x
0
и называют
этот предел правой производной функции
f
(
x
)
в точке
x
0
. Аналогич-
но, если предел
lim
?
x
??
0
f
(
x
0
+?
x
)
?
f
(
x
0
)
?
x
существует, то говорят, что функция
f
(
x
)
дифференцируема слева в точке
x
0
и называют этот предел левой
производной функции
f
(
x
)
в точке
x
0
.
Определение 131. Если функция
f
(
x
)
, определенная на отрезке
[
a, b
]
диф-
ференцируема на
(
a, b
)
, имеет производную справа в точке
a
и производную
слева в точке
b
, то говорят, что
f
дифференцируема на отрезке
[
a, b
]
и
обозначают
f
? D
[
a, b
]
.
15.2.1 Правила дифференцирования.
Рассмотрим правила нахождения производных:
Теорема 72 (Арифметические свойства производной). Пусть функции
f
и
g
дифференцируемы в точке
x
. Тогда
1. Если
C
 константа, то
(
Cf
(
x
))
0
=
Cf
0
(
x
)
.
2.
(
f
(
x
) +
g
(
x
))
0
=
f
0
(
x
) +
g
0
(
x
)
;
3.
(
f
(
x
)
?
g
(
x
))
0
=
f
0
(
x
)
?
g
0
(
x
)
;
4.
(
f
(
x
)
g
(
x
))
0
=
f
(
x
)
g
0
(
x
) +
f
0
(
x
)
g
(
x
)
;
5. Если
g
(
x
)
6
= 0
, то
f
(
x
)
g
(
x
)
0
=
f
0
(
x
)
g
(
x
)
?
f
(
x
)
g
0
(
x
)
g
2
(
x
)
.
Доказательство.
Пусть
f
(
x
+ ?
x
) =
f
(
x
) +
f
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
;
g
(
x
+ ?
x
) =
g
(
x
) +
g
0
(
x
)
·
?
x
+
+
o
(?
x
)
. Правила 1, 2 и 3 очевидны. Докажем правило 4. Рассмотрим
f
(
x
+?
x
)
·
g
(
x
+?
x
) = (
f
(
x
)+
f
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
))
·
(
g
(
x
)+
g
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)) =
=
f
(
x
)
·
g
(
x
) +
f
(
x
)
g
0
(
x
)
·
?
x
+
f
0
(
x
)
g
(
x
)
·
?
x
+
f
0
(
x
)
g
0
(
x
)
·
?
x
2
+
+ (
f
(
x
) +
f
0
(
x
)?
x
)
·
o
(?
x
) +
o
(?
x
)
·
(
g
(
x
) +
g
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
))
.
(15.2.1)
Очевидно
f
0
(
x
)
g
0
(
x
)
·
?
x
2
=
o
(?
x
)(?
x
?
0)
. Кроме того, из ограниченности
функций
f
(
x
+ ?
x
)
и
g
(
x
+ ?
x
)
вытекает, что
(
f
(
x
) +
f
0
(
x
)?
x
)
·
o
(?
x
) =
o
(?
x
)(
при
?
x
?
0)
и
o
(?
x
)
·
(
g
(
x
) +
g
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)) =
o
(?
x
)(
при
?
x
?
0)
.
Следовательно, из равенства 15.2.1 вытекает
f
(
x
+?
x
)
·
g
(
x
+?
x
) =
f
(
x
)
·
g
(
x
)+
+ (
f
(
x
)
g
0
(
x
) +
f
0
(
x
)
g
(
x
))
·
?
x
+
o
(?
x
)(?
x
?
0)
,

15.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
177
Для доказательства свойства 5 рассмотрим предел:
lim
?
x
?
0
f
(
x
+?
x
)
g
(
x
+?
x
)
?
f
(
x
)
g
(
x
)
?
x
.
Преобразуем выражение:
f
(
x
+ ?
x
)
g
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
+ ?
x
)
·
g
(
x
)
?
f
(
x
)
·
g
(
x
+ ?
x
)
g
(
x
)
·
g
(
x
+ ?
x
)
=
=
f
(
x
) +
f
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
·
g
(
x
)
?
f
(
x
)
·
g
(
x
) +
g
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
g
(
x
)
·
g
(
x
+ ?
x
)
=
=
(
f
0
(
x
)
g
(
x
)
?
f
(
x
)
g
0
(
x
))
·
?
x
+
o
(?
x
)
·
g
(
x
)
?
f
(
x
)
·
o
(?
x
)
g
(
x
)
·
g
(
x
+ ?
x
)
Тогда
lim
?
x
?
0
f
(
x
+?
x
)
g
(
x
+?
x
)
?
f
(
x
)
g
(
x
)
?
x
=
= lim
?
x
?
0
(
f
0
(
x
)
g
(
x
)
?
f
(
x
)
g
0
(
x
))
o
(1)
·
g
(
x
)
?
f
(
x
)
·
o
(1)
g
(
x
)
·
g
(
x
+ ?
x
)
=
=
f
0
(
x
)
g
(
x
)
?
f
(
x
)
g
0
(
x
)
g
2
(
x
)
,
Теорема 73 (Производная сложной функции). Пусть
g
(
x
)
дифференциру-
ема в точке
x
, а
f
(
y
)
дифференцируема в
y
=
g
(
x
)
. Тогда функция
h
(
x
) =
=
f
(
g
(
x
))
 их композиция дифференцируема в точке
x
и ее производная
равна
h
0
(
x
) =
f
0
(
y
)
·
g
0
(
x
)
.
Доказательство.
Обозначим
?
y
=
g
(
x
+ ?
x
)
?
g
(
x
) =
g
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
. Тогда
f
(
y
+ ?
y
) =
f
(
y
) +
f
0
(
y
)
·
?
y
+
o
(?
y
) =
f
(
y
) +
f
0
(
y
)
·
(
g
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
))+
+
o
(
g
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)) =
f
(
y
) +
f
0
(
y
)
g
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
,
Следствие 30. Пусть
f
(
x
)
дифференцируема в точке
x
, тогда
f
(
kx
+
b
)
0
=
k
·
f
0
(
kx
+
b
)
.
Доказательство.
Действительно,
k
(
x
+?
x
)+
b
=
kx
+
b
+
k
·
?
x
, но
(
kx
+
b
)
0
=
k
. Следовательно,
f
(
kx
+
b
)
0
=
f
0
(
kx
+
b
)
·
(
kx
+
b
)
0
=
k
·
f
0
(
kx
+
b
)
,
Теорема 74 (Производная обратной функции). Пусть функция
f
(
x
)
диф-
ференцируема в точке
x
и производная не равна 0. Пусть
g
(
y
) =
f
?
1
(
y
)
функция, обратная к
f
(
x
)
. Тогда
g
(
y
)
дифференцируема в точке
y
=
f
(
x
)
,
и ее производная равна
g
0
(
y
) =
1
f
0
(
g
(
y
))
.

178

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: