Лекции и упражнения

15.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
179
По теореме о ѕдвух милиционерахї
lim
n
??
(1 +
x
n
)
1
xn
=
e,
а по определению
Гейне одностороннего предела функции в точке
lim
x
?
0
+
(1 +
x
)
1
x
=
e.
Рассмотрим произвольную последовательность действительных чисел
x
n
?
(0
,
1)
таких, что
lim
n
??
x
n
= 0
.
Обозначим
y
n
=
|
x
n
|
=
?
x
n
>
0
, очевидно
lim
n
??
y
n
= 0 +
.
Тогда, по доказанному ранее,
lim
n
??
(1 +
x
n
)
1
xn
= lim
n
??
(1
?
y
n
)
?
1
yn
= lim
n
??
(1 +
y
n
1
?
y
n
)
1
yn
=
= lim
n
??
(1 +
z
n
)
1
zn
+1
= lim
n
??
(1 +
z
n
)
1
zn
(1 +
z
n
) =
e
·
1 =
e,
так как
0
< z
n
=
y
n
1
?
y
n
?
0
+
при
n
? ?
.
По определению Гейне одно-
стороннего предела функции в точке
lim
x
?
0
?
(1 +
x
)
1
x
=
e.
Из существования
односторонних пределов
lim
x
?
0
?
(1 +
x
)
1
x
= lim
x
?
0
+
(1 +
x
)
1
x
=
e
вытекает суще-
ствование предела
lim
x
?
0
(1 +
x
)
1
x
=
e.
Лемма 32. Предел
lim
x
?
0
ln(1+
x
)
x
существует и равен 1.
Доказательство.
Рассмотрим показательностепенную функцию
f
(
x
) =
(
(1 +
x
)
1
x
,
x
6
= 0
e,
x
= 0
.
.
Эта функция определена и непрерывна на
(
?
1
,
+
?
)
,
так как на множе-
стве
(
?
1
,
0)
S
(0
,
+
?
)
функция
f
(
x
) =
e
ln(1+
x
)
1
x
=
e
ln(1+
x
)
x
представляется в
виде композиции непрерывных функций, а непрерывность в нуле следует
из леммы 31. Действительно,
lim
x
?
0
f
(
x
) = lim
x
?
0
(1 +
x
)
1
x
=
e
=
f
(0)
.
Поэто-
му, функция
ln
f
(
x
)
определена и непрерывна на
(
?
1
,
+
?
)
как композиция
непрерывных функций, следовательно,
lim
x
?
0
ln(1 +
x
)
x
= lim
x
?
0
ln(1 +
x
)
1
x
= ln
f
(0) = ln
e
= 1
.
Теорема 75. Верны следующие правила:
1.
(
e
x
)
0
=
e
x
;
2.
(
a
x
)
0
=
a
x
ln
a
;
3.
(ln
x
)
0
=
1
x
;
4.
(log
a
x
)
0
=
1
x
ln
a
5.
(
x
?
)
0
=
?x
?
?
1
.

180
ГЛАВА 15. ПРОИЗВОДНАЯ
Доказательство.
(ln
x
)
0
= lim
h
?
0
ln(
x
+
h
)
?
ln
x
h
= lim
h
?
0
ln(1+
h
x
)
h
=
1
x
lim
h
?
0
ln(1+
h
x
)
h
x
=
1
x
.
(log
a
x
)
0
= (
ln
x
ln
a
)
0
=
1
x
ln
a
.
a
x
=
y
?
x
= log
a
y
?
x
0
= 1 = (log
a
y
)
0
=
y
0
y
ln
a
?
y
0
=
y
ln
a
?
(
a
x
)
0
=
a
x
ln
a,
в частности,
(
e
x
)
0
=
e
x
.
(
x
?
)
0
= (
e
ln
x
?
)
0
= (
e
?
ln
x
)
0
=
e
?
ln
x
?
1
x
=
?x
?
x
=
?x
?
?
1
.
15.3 Производные элементарных функций
Далее приводятся производные некоторых элементарных функций:
1.
C
0
= 0
;
2.
(
e
x
)
0
=
e
x
;
3.
(
a
x
)
0
= ln
a
·
a
x
;
4.
ln
0
x
=
1
x
;
5.
log
0
a
x
=
1
x
ln
a
;
6.
(
x
?
)
0
=
?
·
x
?
?
1
;
7.
sin
0
x
= cos
x
;
8.
cos
0
x
=
?
sin
x
;
9.
tg
0
x
=
1
cos
2
x
;
10.
ctg
0
x
=
?
1
sin
2
x
;
11.
arcsin
0
x
=
1
?
1
?
x
2
;
12.
arccos
0
x
=
?
1
?
1
?
x
2
;
13.
arctg
0
x
=
1
1+
x
2
;
14.
arcctg
0
x
=
?
1
1+
x
2
;
Доказательство.
1. Очевидно.
2. По теореме 70 (о втором замечательном пределе)
e
?
x
= 1 + ?
x
+
o
(?
x
)
.
Умножив обе части на
e
x
, получим
e
x
+?
x
=
e
x
+
e
X
·
?
x
+
o
(?
x
)
,
3. Вытекает из равенства
a
x
=
e
x
ln
a
и теоремы о производной сложной
функции;
4. Функция
ln
y
является обратной к
y
=
e
x
. По теореме о производной
обратной функции
ln
0
y
=
1
e
x
=
1
y
,
5. Вытекает из тождества
log
a
x
=
ln
x
ln
a
;
6.
x
?
=
e
?
ln
x
(
x
?
)
0
=
?
·
e
?
ln
x
·
ln
0
x
=
?x
?
?
1
,
7.
sin(
x
+ ?
x
) = sin(
x
)
·
cos ?
x
+ sin ?
x
·
cos
x
= sin
x
·
(1 +
o
(?
x
)) + cos
x
(?
x
+
+
o
(?
x
)) = sin
x
+ cos
x
·
?
x
+
o
(?
x
)
,
8.
cos(
x
+ ?
x
) = cos
x
·
cos ?
x
?
sin
x
·
sin ? = cos
x
·
(1 +
o
(?
x
))
?
sin
x
(?
x
+
+
o
(?
x
)) = cos
x
?
sin
x
·
?
x
+
o
(?
x
)
,
9.
tg
0
x
=
sin
x
cos
x
0
=
sin
0
x
·
cos
x
?
sin
x
·
cos
0
x
cos
2
x
=
cos
2
x
+sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
.
10.
ctg
0
x
=
cos
x
sin
x
0
=
cos
0
x
·
sin
x
?
cos
x
·
sin
0
x
sin
2
x
=
?
sin
2
x
?
cos
2
x
sin
2
x
=
?
1
sin
2
x
.
11. По теореме о производной обратной функции:
arcsin
0
x
=
1
sin
0
(arcsin
x
)
=
1
cos(arcsin
x
)
=
1
?
1
?
x
2
.

15.4. СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНОЙ. ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА, КОШИ.181
12. Воспользуемся тождеством:
arcsin
x
+ arccos
x
=
?
2
, получим:
arccos
0
x
=
?
2
?
arcsin
x
0
=
?
arcsin
0
x
=
?
1
p
1
?
x
2
.
13. По теореме о производной обратной функции:
arctg
0
x
=
1
tg
0
(arctg
x
)
=
1
cos
?
2
(arctg
x
)
.
Воспользуемся тем, что
1 + tg
2
?
= cos
?
2
?
. Тогда
1
cos
?
2
(arctg
x
)
=
1
1 + tg
2
(arctg)
=
1
1 +
x
2
,
14. Воспользуемся тождеством:
arctg
x
+ arcctg
x
=
?
2
, получим:
arcctg
0
x
=
?
2
?
arctg
x
0
=
?
arctg
0
x
=
?
1
1 +
x
2
.
15.4 Свойства производной. Теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши.
Лемма 33. Если функция
f
(
x
)
монотонно возрастает (неубывает) на
отрезке
[
a, b
]
и дифференцируема на нем, то ее производная
f
0
(
x
)
?
0
при
всех
x
?
[
a, b
]
.
Рис. 15.3: П.Ферма(16011665)
Доказательство.
Пусть функция
f
(
x
)
неубывает на
[
a, b
]
,
тогда
(
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
0
)
,
при
?
x >
0;
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
0
)
,
при
?
x <
0
.
.
В любом случае,
f
(
x
+?
x
)
?
f
(
x
0
)
?
x
?
0
, сле-
довательно, по теореме 39 (о предель-
ном переходе в неравенствах)
f
0
(
x
0
) =
= lim
?
x
?
0
f
(
x
+?
x
)
?
f
(
x
0
)
?
x
?
0
,
Лемма 34. Если функция
f
(
x
)
монотонно
убывает (невозрастает) на отрезке
[
a, b
]
и
дифференцируема на нем, то ее производ-
ная
f
0
(
x
)
?
0
при всех
x
?
[
a, b
]
.
Доказательство.
Предоставляется читателю в качестве упраж-
нения.

182

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: