И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

Где2 — 
jc
— 3 <9, 
Где2-д с -1 2 < О, 
Где2 - д с - 12 < О,
[ - (дс2 - дс - 3) < 9; 
[д:2 —
дс — 3 > -9 ; 
[дс2 - х + 6 > О.
Поскольку неравенство дс2 -де + 6 > О верно для любого значения х, его 
можно отбросить. 
х2 — дг —12 < 0;
(дс + 3)(дс - 4) < 0.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
О твет: 
х
е ( - 3 ; 4 ) .
2 .Задание: Решите неравенство 
л г < 4 - | д с 2 - 6 д с
+ 8|.
Решение: 
х
< 
4 - |дс2 -
6х +
8|.
Приведем неравенство к виду 
|дс2 — бде 
+ 8| < 
4
— 
х
, которое равносильно 
системе неравенств:
Где2 - б д с
+ 
8
< 
4 - д с ,
Где2 
- 5 д с + 4
< 
О, 
Г(дс — 1)(дс — 4 )
< 
О,
[ - (дс2 - бде + 8 ) < 4 - дс; 
[дс2 - 7 д с + 1 2 > 0 ;
\ ( х - 3 ) ( д с - 4 ) > 0 .
О твет: х е [l; 3]U {4}.
3. Задание: Решите неравенство дс2 - 1х +12 < |х - 4|.
Решение:
дс
2 - 7
дс
+ 1 2 < |
дс
- 4 | .
Перепишем: 
|х 
-
4| 
> дс2 -
7jc + 1 2
.

— (дс — 4) > х1 - 1 х + \2.
Решаем каждое неравенство отдельно:
1) х2 - 8х + 16 < 0;
(х - 4)2 < 0 - решений нет;
2) х2 - 6х + 8 < 0;
(х - 2Хх - 4) < 0.
х - 4 > х 2 - 7 х + 12,
О твет: х е (2; 4).
4. Задание: Решите неравенство
Решение: 
х2 + 5х + 8
х +5х + 8
х + 6
+ х > 3 .
х + 6 
х2 + 5х + 8
х + 6
+ х > 3; 
> 3 - х ;
х + 5х + 8
х+ 6 
^х2 +5х + 8
> 3 -х ,
> 3 -х .
х+ 6
Решаем каждое неравенство:
х 2 + 5х + 8 
;
х
2 + 4
х
- 5 
. 
(х + 5)(х-1)
1 )-------- ; ----> 3 - х , 
--------- : ---->0, 
-
х + 6
х + 6
(—6 ;—5) U (1; «о);
х2 +5х + 8 
,
2(х +13) Л
2 ) ------------- < х - 3 , —-------- - < 0
х + 6
(-1 3 ;-6 ).
х + 6
>0;
107

Решение совокупности состоит из объединения решений двух неравенств. 
О твет: х е (-13; - 6) (J (-6 ; - 5) U (1; °°) •
5. Задание: Решите неравенство 3|х - 1| + х2 - 7 > 0.
Решение:
3|х - 1| + х 2 - 7 > 0;
3|х-1| > 7 - х 2;
~ 3 (х -1 )> 7 -х 2,
- 3 (х -1 ) > 7 - х 2;
1) З х -З > 7 - х2; 
х2 + Зх-10 > 0;
(х + 5)(х - 2) > 0;
2) - Зх + З > 7 - х г; 
х 2 - Зх - 4 > 0;
(х + 1)(х - 4) > 0;
Объединяя найденные решения, получаем промежутки 
(-оо; 
-1 ) и (2; 
оо).
6. Задание: Решите неравенство |х - 3| > |х2 - 3| 
Решение:
|х-3| >|х2-3|;
( х - 3 ) 2 > (х2- 3 ) 2;
( х - 3 ) 2 - ( х 2- 3 ) 2 >0;
( х - 3 - х 2 + 3 )(х -3 + х 2 - 3 ) > 0;
(х 2 - х ) ( х 2 + х - 6 ) < 0;

х(х - IX* + ЗХ* - 2) < 0. 
+
Ответ: х
е (-3; 0) U (1; 2).
7. 
Задание:
Решите неравенство 
Решение:
- 5
10
х + 2
х —
1
—
5
10
х + 2
х —
1
Замечание.
Свойство неравенства: Если 
а 
< 
Ь,
то — > —
а Ь
|х + 2| 1х-1|
Получаем: — ■
> L-^-L при 
х 
* -2, 
х
* 1.
5
10
2\х
+ 2| > |х - 1|;
(2(х + 2))2 > (х - 1)2;
(2х + 4 -
х
+ 1)(2х + 4 + 
х 
- 1) > 0; 
(х +
5ХЗх + 3) > 0;
(х + 5Хх + 1) > 0.
Ответ: х
е (-< »;-5) U (- l; 1)11(1;®).
Замечание.
Прием возведения в квадрат можно применять и дня решения 
неравенств вида )/(х)| v
а ,
если модуль берется от линейной функции, а в 
правой части неотрицательное число.
8
. 
Задание:
Решите неравенство 2|х - 1| < 16.
Решение:
2
|х-1| £ 16;
|*-1|£8;
( х - I ) 2 S64; 
х2 - 2х - 63 
й
0;
(х + 7)(х - 9) S 0.
109

Ответ: х
 е [- 7; 9].
2
5 + |2х +1| > 8;
|2x + l|>3;
(2x + l)2 >32;
(2х +1 - 3)(2х +1 + 3) > 0; 
(2х - 2)(2jc + 4) > 0;
4(х -  1)(х + 2) > 0.
О твет: х е (-o o ;-2 ]U [l; °°) •
Преимущества данного приема особенно заметны при решении систем 
неравенств.
10. Задание: Решите систему неравенств
х
Решение:
И < 6;
х2 < 36;
2(х + 2; 
>0,
(х - 6)(
jc
+ 6) < 0.
2

1 1. 
Задание:
 Решите систему неравенств
Решение:
-2дг<5,
, ^, 
х 
х - 3
<1— , 
2
\х—3| < 2;
\х > -2,5, 
Зх
< 8,
- > - 1 ,
2
(х -3)1
£4;
-2х <5,
х - 3 <1— , 
2
И д а
|х - 3| < 2.
х > -2,5,
х<2-,
3
х > -2,
х
2 - 6
х
 + 5 < 0 ;
-2,5
'/ЛГУ*
2—
3
-2
+ 
"N.
X
+
1
ч ч чч 
*
- ^
5 
X
-2,5 < х
< 2 —,
3
х > -2,
(х
- |)(jc - 5) < 0.
Ответ: х е
1
; 
2
;
Метод, основанный на раскрытии модуля по определению
Предложенные выше схемы решения неравенств, содержащих один модуль, 
оказываются неприменимыми для решения неравенств, в которых модуль вхо­
дит более сложным образом. Такие неравенства будем решать, раскрывая 
модуль по определению.
12. Задание: Найдите наибольшее целое значение у, удовлетворяющее не-
(Г-12)
равенству :------- - > 2.
У
Решение:
По определению модуля: 
\у -
12| =
у - 12, если у -1 2 > 0, 
\2-у,если 
—12 < 0.
11 1

Неравенство разбивается на две системы неравенств:
\у > 12,
У <12,
I М Ш 1 2; или 1 2 ^ > 2 .
•У 
1 ^
Решаем первую систему:
у > 12, 
у - 1 2
>2;
у >1 2 , 
у + 12
<0.
12
система решений не имеет. 
Решаем вторую систему:
у  < 12, 
12- у
>2;
у  < 12, 
у - 4
<0.
у е (  0;4).
Наибольшее целое значение у из данного промежутка^=3. 
Ответ: 3. 
\
Ts ^
+ 2| ““ JC
13. Задание: Решите неравенство ------- !----
\х + 2\-х 
Решение: ------ ----- < 2.
<
2 .
Неравенство равносильно совокупности двух систем: 
Гх + 2 > 0, 
Гдг + 2 < 0,
\х+2—х
_ 
\ - x - 2 - х
< 2 ;
< 2.
1 1 2

[х + 2 > 0, I\xZ-2.
[х > -2,
° ] 1 й
1
2 х - 2 Л \ 
[ х 
>0; 1
I х —
1 
Л
Ь г >0;
х е (-оо; - 2).
Объединяя полученные решения, записываем ответ. 
О твет: х е (—
«э; 0)U(l;ao).
Метод введения новой переменной
Данным методом решаются неравенства, содержащие | х | и х2 одновре­
менно.
14. Задание: Решите неравенство 2хг - |х| -1 £ 0.
Решение:
2х2 - ДО -1 £ 0.
Т.к. | х |2 = х2 , то исходное неравенство введением новой переменной 
| х | = /, сводится к квадратному неравенству относительно г.
2 / * -/ -1 2 0;
2f/ + 0 / - l ) 2 O ;
113

2
Возвращаемся к исходной переменной с учетом того, что модуль всегда 
неотрицателен:
Ответ: х е (—
оо; —
l]U [l; 
0 0
).
15. Задание: Решите неравенство хг + 6х - 4|х + 3| -1 2 > 0 . 
Решение:
х2 + 6 х - 4|х + 3| -1 2 > 0.
Преобразуем данное неравенство: 
х2 + бх + 9 -9 -4 | х + 3|-12 >0;
(х + 3)2 -4|х + 3|-21 > 0.
Обозначим |х + 3| = /, / > 0 .
1) |дс| < 
2) |х| > 1;
х е 0 ;
х3 *
(х -1Х х + 1)>0.
ОТ,
|х + 3| > 7;
0
х2 + 6х + 9 > 49; 
х2 + бх - 40 > 0; 
(х + 1 0 )(х -4 ) > 0.
114

Ответ: х
 е ( -
00
; - 1 0 ) U (4; оо).
16. 
Задание:
 Решите неравенство ~ —
4х + 4
 ^ |х—2| — ] 2 с 0.
Решение: 
х2 - 4х + 4 \х —
2|
х - 6 х + 9 
дс —
3
■
—12 < 0.
х -6 х +9 
|jc
—
3
|
х2 - 4 х +4 
(х - 2)2
Т. к
х — 2
х‘ - бх + 9 
( х - З)2 
2
х - 2
х - 3
в
|х-3|
х - 2
х - 3
, получаем:
х - 2
х - 3  
Обозначим
х - 3
х - 2
-1 2 < 0.
х - 3
= /.
/ +/-12 <0, 
/ >
0
;
(/ + 4)(/ - 3) < 0, 
/ > 0;
0 S / < 3; 
х - 2
х - 3
<3;
х - 2
>0,
х * 3 ,
х - 3
х - 2  
------ <3,
х - 2
<3;
х - 3
дг —
3
( 2 х - 7
х - 3
4 х- 1 1
х - 3
>0,
>0.
113

Ответ: х е (-оо; —) U (—;<») •
4 
2
16U + II-1
17. Задание: Решите неравенство —г---- г— < 3.
3|х + 1| + 1
Решение:
1 ф + )| - 1 :3 
3|х +1| +1
Пусть |дс +1| = i , тогда:
4
О 7
о ^ М < ф
1
* + 11< ^
(х + 1 )2 
;
(* + 1- ^ 
+1 + ^ j < 0;

18. 
Задание:
Решите неравенство г г — ^ Ы - 2.
щ  п
Решение:
W
^ ' r
Ответ:
Обозначим (дс) = /, / > 0.
Т. к. / > 0, решением будет промежуток: 
О < f ^ 1;
0<|дс|<1;
V * l;
( j c - I X * +
1
) ^ :
0
.
Ответ:

Неравенства, содержащие два и более модуля, решаются методом проме­
жутков. Как и в случае уравнений, модули нужно раскрыть согласно опреде­
лению, а затем решить совокупность систем неравенств.
19 
.Задание:
Решите неравенство |х - 1| - 2|х 
+
5| > 3 +
х .
Решение:
|х - 1| -
2\х 
+
5| > 3 + 
х.
1) Найдем корни многочленов, стоящих под знаком модуля, и нанесем их 
на числовую ось.
2) Определим знаки подмодульных выражений на трех полученных про­
межутках:
х-1 
- 
- 
+
Метод промежутков
х+5 
- 
-5
+ 
1
+ 
х
3) 
Найдем решения неравенства для каждого промежутка отдельно (без­
различно к какому числовому промежутку отнесем граничные точки):
\х 
<,
- 5 , 
(х й
 - 5 ,
1 - ( х - 1 ) + 2(х + 5 )> 3 + х; 111 > 3;
а)
х < - 5 ;
б)
- 5 < х ^ 1 ,
[ - 5 < х ^ 1 ,
- (х - 1 ) - 2(х + 5) > 3 + х; 1 х + 3 < 0;
в)
Решением данного неравенства будет объединение полученных проме­
жутков.
Ответ: х
6 (-оо; - 3 ) .
20. 
Задание:
Решите неравенство (jl - х| - з)(|х + 2| - 5) < 0 .
Реш ение:
118

Рассмотрим решение неравенства на каждом промежутке:
[х < -2, 
(х < -2,
а) |((1 -
х)
- 3)(-(х + 2) - 5) < 0; {(х + 
2)(х
+ 7) < 0;
(jl - х| - 3)(jx + 2| -
5
) < 0.
1-х 
+ 
+
--------------- 1------------------ 1-----------------►
х+2 
-2 
+ 
1 
+ 
х
-7<х<-2;
( - 2
 < х <
1
,
Г -2 < jc < 1,
б) |((1 - * ) - 3)((х + 2) - 5) < 0; |(х + 2)(х - 3) > 0;
система решений не имеет;
в)
3 < х < 4.
Ответ: х
е (-7 ; - 2) 
U 
(3; 4),
119

2 1. 
Задание:
 Решите неравенство |х| >
2 х
13 -
jc
I
Реш ение: 
2
х
х >
| 3 -;
По свойству модуля |3 — лг| = |лг — 3| (такая запись более удобна). 
2
х
W >
: - 3Г
а)
X
I
+
1
+
х-3
1
0
—
■■ | 
3
, 
+
X
х <
0,
х
< 0,
х <
0,
2
х
- х >
------ ;
3 -х
х
2
 -5 х
Л 4 
г
- 0;
. 3 — 
х
^ - 5 ) < 0 .
. х - 3
//
б)
0 < х < 3,
0 < х < 3,
2х
х -
х2
_ "
х > - ----- ;
3 - х
О < 
х <
3, 
х ( х - 1 )
х -3
£ 0 ;
0 <
jc
£ 1;
120

\x>3,
в> Ь >
2
x
x - 3 ’
x > 5.
Ответ:
x e ( - o o ; l]U [5;oo).
Дополнительные методы решения неравенств 
с переменной под знаком модуля
В заключении рассмотрим несколько частных случаев, когда можно обой­
тись без раскрытия модуля, проанализировав структуру неравенства.
22. 
Задание:
Решите неравенство U - V x - 2 i > - 5 .
Решение:
|4—V
jc
—2| > —
5.
Т.к. модуль - величина неотрицательная, то данное неравенство будет вы­
полнено для всех 
х
изОДЗ.
Найдем ОДЗ:
X -
2
>
0 ;
х > 2.
Ответ:
х 
€ |2;оо).
23. 
Задание:
Решите неравенство 
V x + 3 - l
Реш ение:
х - 1
л/х + 3 - 1
х2-1
>
0
.
>0.
Решение данного неравенства записывается из ОДЗ и условия неравен­
ства подмодульного выражения нулю:
121

х + 3 > О, 
х
2
-
1
*
0
, 
л/х + 3 - 1
*
0 ;
х
2
: -3 ,
JC ч* ±1,
х >
-3 , 
хф± \, 
х Ф —
2.
л/х + З 
Ф
1
;
| 
- р Ж и :
х
- 1
Ответ: х >
-3 , 
х Ф
±1, 
х Ф -2 .
24. 
Задание:
Решите неравенство |х
2
+ 
х
- 20| < 
х2
+ 
х -
20.
Р еш ение:
|х
2
+ 
х -
20
| < 
х2
+
1 1 20
.
Данное неравенство будет выполнено только гогда, когда 
х2
+ 
х -
20 > 0; 
(х + 5)(х - 4) > 0.
Ответ:
х е ( - оо; - 5]U [4; оо).
25. 
Задание:
Решите неравенство |х
2
+ 
6
х + 
8| 
< - х
2
-
6
х -
8
. 
Р еш ение:
|х
2
+ 
6
х
+ 8| < 
- х
2
-
6
х -
8 ;
|х
2
+ 
6
х 
+ 8| < 
- ( х
2
+ 
6
х 
+ 8 ) .
Т. к. модуль не может быть меньше отрицательного числа, значит: 
х 
+ 
6
х 
+ 8 £ 0 ;
(х + 2)(х + 4) < 0.
Ответ:
[ - 4 ; - 2 ].
Р езю м е
В данной главе вы ознакомились с базовыми сведениями о методах решения раци­
ональных уравнений и неравенств. В результате изучения данной главы вы должны 
овладеть следую щ ими умениями:
-
выполнять (без калькулятора) действия над числами, заданными в виде обык­
новенных и десятичных дробей и числовыми выражениями;
122

- переводить периодическую десятичную дробь в обыкновенную;
- выполнять тождественные преобразования числовых выражений, содержащих 
радикалы;
- выполнять разложение многочленов на множители различными способами;
- производить действия сложения, вычитания, умножения и деления над алгебра­
ическими дробями;
- раскрывать модуль по определению;
- решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и нера­
венства, приводящиеся к ним;
—решать алгебраические уравнения выше второй степени, приводя их к квадратным;
- использовать прямую и обратную теоремы Виета при решении задач;
- решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводя­
щиеся 
к 
ним;
- уметь решать уравнения и неравенства, содержащие модули.
В данной главе подробно изложены темы: раскрытие модуля, уравнения с моду­
лем, неравенства с модулем, т.к. в общеобразовательной школьной программе эти 
темы не рассматриваются.
Теперь вы подготовлены достаточно для того, чтобы начать использовать дан­
ные методы решения рациональных уравнений и неравенств при решении показа­
тельных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств.
123

Глава II

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: