И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

1 )1 ^ 4’ 
2
)\ХУ
4’
|x + j/ = 5. 
[х + У = -5.
(1;4),(4;1). 
Н ? - 1 Х Н М >
О твет: (-4; -1), (-1; -4), (1; 4), (4; 1).
16. Задание: Решите систему уравнений: 
лгу = 6,
xz = 2, х > 0 , у > 0, z > 0. 
y z -  
3;
Решение:
х у -  
6
,
дсг = 2 , дс > 0, 
у > О, z > О. 
yz = 3;
Перемножив почленно уравнения системы, получим: 
х2 ->2 Z2 =36; 
дс • 
у • Z = 6.
Разделим полученный результат на каждое уравнение системы:
У =
3; 
дс = 2.
О твет: (2; 3; 1).
Такие системы очень часто встречаются в задачах по стереометрии.
дс2 1 ® 25,
17. Задание: Решите систему уравнений
Решение: 
х 2 + у 2 =25,
дгу = 12.
лги = 12.
Умножим второе уравнение на 2, сложим его с первым. Получим: 
(х + у)2 =49.
63

| | Х+* “ 7’ 
2)\Х + У\7 ^
(х у= 12 . 
[ху =
12.
(3; 4), (4; 3). 
М ;- 3 ) ,( - 3 ;- 4 ) .
О твет: (—4; -3), (-3; -4 ), (3; 4), (4; 3).
Г д*2 у 2 — у 2 + 2 ху — 2
18. Задание: Решите систему уравнений J
[ З х У - 2 / + 8 л у = 1.
Решение:
j x 2y 2 - у 1 1
2 х у
1 2 
I *(-2 ), 
J -
2 х У + 2у 2 - 4х>> = -4 , 
[Зх2у 2 1 2 у 2 + 8ху = 1; 
[Зх2_у2 - 2_у2 + 8ху = 1;
х2у 2 + 4 ху + 3 = 0; 
ху12 = -2 ± л / 4 -3 = - 2 ± 1; 
Гху = -3 , 
Гху = -3 ,
D l, 2 2 . 2 „ 
. 
1 
i
. 
(-3; 1), (3 ;-1 );
2
)
3х-у- - 2 у + 8ху = 1; 
[у2 1 1; 
xy = -U
 
|ху = - 1,
Зх2у 2 - 2 у 2 + 8ху = 1; 
[ у 2 = -3 ; 
система решений не имеет.
О тв ет: (-3 ; 1), (3; -1 ).
Чтобы решить систему уравнений нестандартно, нужно проявить опреде­
ленную смекалку, применив искусственные приемы, рекомендуемые в курсе 
алгебры.
6 4

I
§5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Целые рациональные неравенства
1. (х + 2)х(х - 1)(Х - 2) < О
2. (2х +1)(3 - х)(х — 6) < О
3. (х + 3)(3х - 2)5( 7 1
jc
)3(5
x
+ 8)2 < О
4. 
(
jc
- 1)3( х - 2)2(х - 3)5(х - 4) < О
5. (х - 3)2(х- - 4)(х2 - 9)(х3 + 8)(х + 6)4 > О
6. 15х2 - (5х - 2)(3х +1) < 7х - 8
7. х3 -1 0 х 2 +21х > О
8. 4х2 + 4х +1 < О
9. (х2 - 1)3(Зх2 +1) <
< (х2 -1 )3( 6 - З х - 5 х 2)
10. х4 - Зх3 + х2 +3х —2 > О
11. х4 -1 0 х 2 + 9 < О
12. (х2 + х + 3)(х2 +х + 4) < 12
Д р о б н о -р ац и о н ал ьн ы е н е р а в ен с т в а
13>в)(х -1 Х х ± 2 ^ <0;
б)
( - 1 - х ) 5 
х2 - 4х -1 2
. х3 - Зх2 - х + 3 _ 
г)
 — ;-------------- > 0;
в)
х - 2
< 0;
14. а)х>
15 
х + 2 ’
х + х - 2 
х2 - 4х + 3
в) х < 3 -
<0;
х -1
а )
х + Зх + 2 
Зх3- х 4 +4х2 
х1 + х + 2
>0.
„ х - Зх + 24 
.
6) 
----------- < 4;
х - Зх + 3
. Зх2 + х -1
4х2 + Зх -1
г ) - -
---------- <---------------
х —
6х —
7 
(х + 1)(х-7)
(х2 - 5х - 6)(3х2 - 2х - 1) (х 2 - 5 х - 6 ) ( 2 + 2 х - 4 х 2) . 
5 - х
, 
5 - х
(х + 3)2(х2 + х +1)
15. а) 
б)
16.
х 2 + X + I
—
< .
< 1 .
1
х+1 х 
х - 1 х - 2
17.
1
4 
4
1 
1 
■
< •
х - 1 х - 2 х - 3 х - 4
30
65

Системы и совокупности неравенств
18.
Зх - 4 < 8х + 6, 
2х -1 > 5л' - 4,
11 х -9 < 15х + 3.
21
.
х
+ 
х -
 6 < О,
(л- +1)(5 - х) > О,
I I
х 
4
24.
19.
20
.
7 - х , 3 + 4х 
-------- 3 <---------- 4,
З х-1 < - + 2, 
2
2х - 3 < — +1, 
4
3 - х > 2 + 4х.
22
.
—х + 5(4 - х) < 2(4 - х). 
х2 - 5 х + 4
( х - 3 ) 2
>0,
(х - 3)(х +1) 
25. 
(х - 4)(х + 4) ^ 0.
(2 -
х) 
(Зх + 1)(х - 3)(1 - х)2 > 0. 
(Зх - 4)(х - 4) < О, 
х(х +J)(x -5 ) <0.
а) - 1 < х + х < 12;
■ --------- < О,
х - х + 1 
23 
, 
2 - х 1
б)1-< ------ < 2.
26.
х > 9.
х + 1
х(х - 2)3 (х +1)2 (2х - 3) < О, 
(2 - Зх)(х +1) > О,
(х + 1)(3х - 4)(2 - х) < 0.
Методы решения рациональных неравенств
Методы решения рациональных неравенств во многом повторяют методы 
решения соответствующих уравнений с добавлением лишь одной, но принци­
пиальной идеи: функция, непрерывная и не обращающаяся в нуль на неко­
тором интервале, сохраняет на нем знак. Это является основой применения 
метода интервалов.
Метод интервалов (промежутков) 
для решения целых рациональных неравенств
При решении целых рациональных неравенств используется метод интер­
валов, который состоит в следующем.
1 
случай. Пусть требуется решить неравенство, состоящее из произведе­
ния линейных множителей 
(х - а,)(х - а2)(х - а3)...(х 
- а„) v 0 .
Рассмотрим многочлен 
P(x) = ( x - f lIX x-< ^X x-fi^)...(x-aJI) ,
где 
а1,а 2,...,а11 - корни (нули) многочлена. Причем все числа а,,а 2,...,ап различ­
ны, а, <а2 < ... < ап.
1) 
Числа ах,а 2,...,ап отмечаем на числовой оси точками. Точки изобража­
ются закрашенными кружками, если неравенство нестрогое (<, >), и пустыми 
кружками, если неравенство строгое (<, >). Отмеченные точки разбивают всю 
числовую ось на промежутки.
6 6

2) Расставляем знаки на каждом из образовавшихся промежутков. При 
этом удобнее начинать с крайнего правого промежутка. Все точки этого 
промежутка больше наибольшего корня многочлена, а значит, все линейные 
множители Р{х) положительны. Таким образом, Р(х) > 0 в интервале ап < х < оо, 
а далее при переходе справа налево через нули левой части неравенства знаки 
Р(х) чередуются.
Изменение знаков многочлена Р(х) удобно иллюстрировать с помощью 
волнообразной линии, которая проводится, начиная справа сверху, последо­
вательно через все корни многочлена. Волнообразную линию называют 
кривой знаков.
3) Решением неравенства Р(х) > 0 будет объединение всех интервалов, 
в которых поставлен знак плюс (кривая знаков проходит выше числовой оси).
Решением неравенства Р(х) < 0 будет объединение всех интервалов, в кото­
рых поставлен знак минус (кривая знаков проходит ниже числовой оси).
Для нестрогих неравенств к соответствующим интервалам добавляются их 
концы.
Рассмотрим применение метода интервалов к следующим примерам.
1 .Задание: Решите неравенство (ж + 2)х(х — 1 )(jc —
2) < 0.
Решение:
(х + 2)х(х- 1Х*~2)<0.
Найдем нули многочлена:
х = -2 ,х = 0,х=  1,х=^2.
О тв ет: х е (-2 ; 0) U (1; 2 ).
2. Задание: Решите неравенство (2х + 1 )(3 - х)(х - 6) < 0.
Решение:
(2х+ 1 )(3 — 
jc
)(
x
— 6) < 0.
Приведем данное неравенство к стандартному виду, умножив обе его ча­
сти на (—1).
Замечание. При умножении или делении обеих частей неравенства на 
отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
(2х+ 1 )(х -3 )(х -6 )> 0 .
Нули многочлена:
х
= — , 
х
= 3, 
х —
 6.

О твет: х е
2 
случай. Рассмотрим общую схему решения рационального неравенства 
вида (jc - о,)*' (jc - а2)к' ...(х - ап)к" v 0 . Обозначим многочлен:
а,, а2,...,ап - корни многочлена соответственно кратности кх, кг,...,к„.
Неравенство такого вида решается с помощью обобщенного метода ин­
тервалов:
На числовую ось наносят числа at,a 2,...,an. В интервале справа от наи­
большего из этих чисел ставят знак плюс. Затем на остальных интервалах 
расставляют знаки многочлена в зависимости от четности степени, соответ­
ствующей данной точке на числовой оси.
Если 
к,
- четное число, то при переходе через точку х, многочлен сохраня­
ет знак, т.е.
х
Если 
к,
- нечетное число, то при переходе через точку 
jc; 
многочлен меня­
ет знак, т.е.
Таким образом рассматриваются все промежутки.
Решением неравенства Р(х) > 0 будет объединение всех интервалов, в кото­
рых поставлен знак плюс, а решением неравенства Р(х) < 0 будет объединение 
всех интервалов, в которых поставлен знак минус.
3. Задание: Решите .неравенство 
(
jc
+3)(3 
jc
- 2 )5 (7 - х )3 (5х + 8 )' < 0 . 
Решение:
Р(х) = (х - я, )*' (х I а2 )*J ...(х - а„)*".
или
или
(х + 3)(3х - 2 )5(7 - х )3(5х + 8)2 < 0.
Приведем данное неравенство к стандартному виду:
(х + 3)(3х -
2)5(
х
 
1 7 ) 3(5х 1 8 ) 2 > 0. 
Нули многочлена:
-,(5) 
й(2)
3 
5
В скобках указана кратность корня.

4. Задание: Решите неравенство (x - 1)3(х - 2)2(x - 3)5(x - 4) < 0. 
Решение:
(x -  l)J(x - 2)z(x - 3)5(x - 4) < 0.
Нули многочлена: 
x = 1(3), x = 2(2), 
X
= 3(S), x = 4.
5 
3
Ответ: х е
 Г - 3; I j j U f - j ; - j l U (7; oo).
Ответ: ( - oo; l]U{2}U [З;4].
Замечание. Множеством решений нестрогого неравенства Р(х) v 0 явля­
ется объединение двух множеств: множества решений строгого неравенства 
Р(х) v 0 и множества решений уравнения Р(х) 
- 0.
3 
случай. Обобщенный метод интервалов можно применять и для реше­
ния неравенства вида:
(х - а, )*’ (х - а , )*-’ ...(х - ап)*" (6,х2 + с,х + с/, )'■ ...(6mx2 + стх + dni)'” 
v
0, 
в котором дискриминант каждого из квадратных трехчленов 
(^ х : + с,х + < / , (bmx2 +cmx 
+ 
dm)
 
отрицателен. В этом случае исходное 
неравенство равносильно неравенству (х - а,)*1 (х - а,)*5 ...(х - а, )*■ v 0 ,
рассмотренному в предыдущем случае.
5. Задание: Решите неравенство 
(х 
- З)2
(х2 
-
4)(х2 
-
9)(х3 
+ 
8)(х 
+ б)4 ^ 0.
Решение:
(х - З)2 (х2 - 4)(х2 - 9)(х3 + 
8)(х 
+ 
6)4 
> 0;
(х - 3)2(х - 2)(х + 2)(х - 3)(х + 3)(х + 2)(х2 - 2х + 4)(х + 6)4 > 0;
(х - З)3(х - 2)(х + 2)3(х + 3)(х2 - 2х + 4)(х + б)4 > 0;
(х - З)3(х -
2)(х 
+ 
2)2(
х
 
+ 
3)(х 
+ 6)4 £ 0.
Нули многочлена:
х 
= 3(,\ х — 2, 
х 
—
 - 2 (2\ 
х 
= -3, 
х 
»
- 6 (4).
69

Ответ: х
 е {- б} U [- 3; 2] U [З; оо).
Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логариф­
мическая и тригонометрические функции, а также их композиции и функции, 
получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в сво­
ей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять для 
решения практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов 
позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения 
промежутков, границы которых - либо корни соответствующего уравнения, 
либо граничные точки области определения неравенства.
Решение целых рациональных неравенств
Целое рациональное неравенство вида а0х" + а,х"~| + —+a„-ix + a„ 
можно решить по следующей схеме:
1) Найти корни многочлена Р(х) = а0х" + а ,* ”-1 + ...+ а„_,х + а„ ■
2) Разложить многочлен на множители.
3) Применить метод интервалов.
6. Задание: Решите неравенство 15х2 - (5х - 2)(3х +1) < 7х — 8.
Решение:
15х2 - (5х - 2)(3х +1) < 7х - 8;
15х2 - (15х2 - х - 2) < 7х - 8;
х + 2 < 7х - 8;
/ 6 х - 1 0 > 0 
|:6;
7. Задание: Решите неравенство х 3 - 1 Ох2 + 2 1х > 0 . 
Решение:
х 3- 1 0 х 2 + 2 1 x ^ 0 .
Разложим левую часть неравенства на множители:
70

x(x2 § 10 х + 2 1) > 0;
х2
 -1 0 х + 21 =0;
jc, =3, 
x2 =
 7.
x (x -3 X *-7 )> 0 ; 
x = 0, x = 3, x = l.
x
Ответ: x e [O; 3]U [7;
oo).
8. Задание: Решите неравенство 4x: + 4x +1 < 0. 
Решение:
4xz + 4x +1 < 0;
(2x +1)2 < 0;
9. Задание: Решите неравенство (x2 - l)J(3x' +
1) 
< (x2 -
1)3(6 
- Зх - 5x2). 
Решение:
(x2 - l)3(3x2 +1) < (x2 - 1)3(6 - 3x - 5x2).
Замечание. Нельзя сокращать неравенство на общий множитель. 
Перенесем все члены неравенства в левую часть и вынесем множитель 
(х2- I)3 за скобки:
2
2
X
Ответ: х €
(х2 - l)J(3x2 +1 - 6 + Зх + 5х2) < 0;
(х - 1)3(х + 1)3(8х2 + Зх - 5) < 0; 
8х2 + Зх - 5 = 0;
5
X, * - 1 , Xj = —
2 
8
8
71

О твет: х е {- l}(J —; 1 
_ 
8
|
х
4
- Зх3 + 
х2 
+ 
Зх - 2 
>
0.
Разложим левую часть неравенства на множители: 
х4 -З х 3 + х2 + З х -2 = (х4 +х2 - 2 ) - ( З х } -З х) =
= (х4 + 2х2 - х2 - 2) -  (Зх3 - Зх) = (х 2(х 2 + 2) -
(х2 
+ 2)) - Зх(х2 -1 ) 
= (х 2 + 2)(х2
1
1) J Зх(х2 
В
1) = 
(х2 
1
1)(х2 
В 
Зх + 2) =
= (х - 1)(х+1Хх - 1)(х - 2) = (х - 1)2(х 1 1)(х - 2);
(х - 1)2( х + 1)(х - 2) > 0; 
х = 1(2), х = —1, х = 2.
10. 
Задание:
 Решите неравенство 
х* -
Зх3 + х2 + Зх 
-
2 > 0.
Решение:
-1
О твет: х е ( - оо; - l](J {l}U [2; оо).
11
. Задание: Решите неравенство х4 -
1 
Ох2 + 
9 < 0
. 
Решение:
х
4- 1 0
х
2+ 9< 0.
Понизим степень многочлена, обозначив х2 = /, тогда:
/2 -10/ + 9 < 0;
/2- 10/+9 = 0; 
Ч /,=9, t2 = l.
(/ -9 )(/ -1 )< 0 ;
(х 2 - 9 ) ( х 2 - 1 ) ^ 0 ;
(х - 3 )(х +3)(х - 1)(х +1) < 0;
Ответ: х
€ [- 
3; 
-
l]U [l; 3].
72

(дс2 + х + 3)(х2 + дс + 4) < 12.
Обозначим дс2 + дс + 3 = /, тогда:
/(/ + !)< 12;
12. 
Задание:
 Решите неравенство 
(дс2 
+ 
х
 + 
3)(дс2 
+ 
дс 
+ 4) < 12.
Решение:
/ + /-12 < 0;
Г
+/-12 = 0; 
/. = -4, /2 =3.
(/+ 4)(/-3)< 0;
(дс2 +дс + 7Х*2 +дс)<0; 
х2 + дс < 0; 
дс(дс +1) < 0.
+
Ответ: х е (-1; 0).
Решение дробно-рациональных неравенств
ш
Рассмотрим неравенства вида
Q M )
v 0, где Р„(х) и Qm(х) - многочлены
степеней п и /n соответственно. Такие неравенства называют дробно-рацио­
нальными.
Стандартный метод решения дробно-рациональных неравенств, например,
ш
неравенства вида 
~ > 0, состоит в использовании равносильного перехода:
г ' а д ^ о ,
Q m( x ) > 0 ;
Рп(х) <
о, 
Q J * ) < о.
бЛ *)
Рп{*)
Q A * )
> 0 о
Применение метода интервалов для решения неравенств такого вида по­
зволяет значительно сократить объем вычислительной работы по сравнению 
со стандартным методом равносильного перехода, особенно в тех случаях, 
когда степени числителя и знаменателя не ниже второй.
Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов заключа­
ется в следующем:
73

1) Приводим неравенство к стандартному виду.
Р (х)
Рациональную функцию R(x) = " 
назовем стандартной, если ее чис­
литель Рп(х) и знаменатель Qm(x) разложены на простые (быть может, кратные) 
множители, причем старшие коэффициенты всех множителей положительны.
2) Отмечаем на числовой оси корни числителя и знаменателя. Причем, для 
решения нестрогого неравенства, корни числителя изображаем на числовой 
оси закрашенными кружками, если, конечно, данный корень не является од­
новременно и корнем знаменателя. Корни знаменателя изображаем пустыми 
кружками.
3) Кривая знаков - удобное средство интерпретации интервалов знакопо- 
стоянства функции R(x).
Она чертится справа налево, начинаясь над осью Ох, и проходит через все 
корни Рп(х) и Qm(xy.
При этом:
-е сл и кратность какого-либо корня нечетная, то кривая знаков пересекает 
ось Ох, т.е. функция R(x) меняет знак на противоположный;
- если кратность какого-либо корня четная, то кривая знаков остается по 
одну сторону от оси Ох, т.е функция R(x) сохраняет знак. Такую точку называ­
ют точкой возврата.
4) Выбираем промежутки, служащие решением данного неравенства:
- если неравенство строгое, ответ состоит только из интервалов;
- если неравенство нестрогое, в ответ включают корни числителя, не явля­
ющиеся корнями знаменателя, и отдельные точки - точки возврата, соответ­
ствующие корням числителя.
Рассмотрим применение метода интервалов на следующих примерах.
13. Задание: Решите неравенства:
' 
И (х
~ОС* + 2)2 
ч х 2 + х - 2 | Р
, ч Зх3 - х 4 + 4х2
а) —г\
—
1
— <0; 
Ш ---------- i i ;
д
) — I------------ >о.
(- 1- * ) 
ч 
х - 4 х + 3 
х + х + 2
„ х 2 - 4 х - 1 2
Л 
\ ч х3 - Зх2 - х + 3 
А
б---------------------------------------- )
 
1—
jj 0; 
г ) — j — -- ~ > 0 ;
jc — 2 
х 4* Зх + 2
Решение:
(х -1 )(х + 2 
У 
( - 1 - х )
(х - 1)(х + 2)2
(- 0 + Х ))5
(х -1 )(х + 2)2
а ) ^
< 0;
74
> 0; 
(х+1У

корни числителя х = 1, 
х
= - 2 (2);
корни знаменателя 
хI _ _»«*)
/у/////
-2
-1 
Ответ: х е 
(-оо; - 2) U (-2; -1 ) U (1; <») ■
х2- 4 х - 1 2 = 0;
' х - 4 х - 1 2
I
б )--------------- <0;
х - 2
( * - 6 ) ( х + 2) ^
q
х - 2
х, =6, х, = -2; 
х * 2 .
Ответ: х е ( -
оо; 
- 2]U (2; б].
. х2 + х - 2
в)—-----------
х* - 4х + 3
(х + 2 Х х -1 )
(х -З Х х -1 )
< 0; 
<0.
Ответ: 
х е [- 2; l)U (1; 3). 
х3 - Зх2 - х + 3
г)
х2 + Зх + 2
>0.
Представим числитель в виде произведения:
х31 Зх2 - х + 3 = (х31 Зх2) - (х - 3) = х2(х - З ) - ( х - З ) = (х -
= (х - 3 ) ( х - 1 ) ( х + 1).
(х - 3 ) ( х - 1 ) ( х + 1)
Получим неравенство:
(х + 2)(х +1)
>0.
3)(х2 - 1) =
Ответ: х
 е (-2 ; - 1 ) U (-1 ; 1) U (3; оо).
75

Зх3 - х4 + 4х2 
д) 
-  
-
> 0; 
х~ + х + 2
х4 -З х 3 - 4 х 2
х2 +х + 2
х2(х2 - З х - 4 )  
х2 + х + 2
<0;
<0;
х2 + х + 2 = 0;
D < 0 - корней нет.
х 2( х - 4 ) ( х + 1)<0.
Т
Ответ: х е (-1; 0) U (0; 4 ).
п
-
Р„ (х) 
Р (х) 
При решении дробно-рациональных неравенств вида — !----- v —^— -
& ,( * )
Q.2(
x
)
следует помнить, что если знак общего знаменателя дробей неизвестен, то 
не имеем права на него умножать обе части данного неравенства. Надо пере-
РП1(х)
нести Q (х) Б левую часть неравенства и привести слагаемые к общему
знаменателю . Полученное неравенство 
”№ '@ тг(х) р»2( * ) 'Qm, W
следует решать методом интервалов.
14. Задание: Решите неравенства:
15
6 m,(x )Q m2(x)
v 0
а )х >
х + 2
в) х < 3 -
х — 1
„ х - З х + 24
б )—г— ------- <4;
х - З х + З
Решение:
\ 
15
а) х >
г) 
1 х ~ 1 < 4 х : + Зх - 1
х - 6х - 7 
(х + 1)(х - 7)
х + 2
15 
я
х --------->0;
х + 2
х 2 + 2х -1 5
х + 2
> 0;
х2+ 2 х -1 5 = 0;
х, = - 5 , х2 =3.
76

(х+ 5)(*-ЗК 0 
х+2
Ответ: х е (-5; - 2) U 
( 3 ; о о ) .
х2 - Зх + 24
б)—------ — <4;
х - Зх + 3
. 
х2 -
Зх + 24 
л
4 -----1----------- >0;
х - Зх + 3
Зх2 - 9 х - 1 2
х — Зх + З 
х2 
- Зх - 4
>0;
>0:
х2 
-Зх + З 
(х-4Х х + 1)>0.
х2 —
Зх—4 = 0; 
х2-3 х + 3 = 0; 
х, = 4, х, = —
1. 
D < 0 - корней нет.
Ответ: х е 
(-оо; 
-1) U (4; 
оо).
в )х < 3 ---- —;
х -1
х - 3 +----- <0;
х -1
х - 4х + 4
х —
I 
( х - 2 ) 2 
х -1
< 0;
^0.
Ответ: х
€ (-оо; 1)U {2}.

Зх* + * -1 
4х2 + Зх -1
х2- 6 х - 1
(х + 1)(х -
7) 
’
Зх3 + х -1 
4х2 
+ Зх - 1
(х + 1)(х -
7) (x + l X x - 7 ) ’
(х + 1)(х - 7)
<х+2)
го.
(*+1Хдт-7)
X
Ответ: х
е ( - оо; - 2]U (-1 ; 0]U (7; оо).
15. Задание: Решите неравенства:
(х 2 - 5х - б)(3х2 - 2х - § ^ (х~ - 5х - 6 )(2 + 2х - 4х 2) 
5 - х
5 - х
Решение:
(х2 - 5х -
6)(3х2
 
- 2х -1) ^ (х2 -5х-6Х2 + 2х-4х2) 
5 -х
5 —
jc
_Су_g
...... ■ - (Зх2-2 х -1 -2 -2 х + 4 х 2)^0;
5 -х
(х2 - 5х - 6Х7х2-4 х -3 ) ^ о
х -5
х
7
Ответ: х е
78

X
+ Х 
+ 1
В данном случае х2 + х + 1 > 0, поэтому исходное неравенство равносильно 
следующему неравенству:
(х + З)2 < 1;
(х + З)2 -1 < 0;
(х + 2)(х + 4) < 0.
Ответ: х е [- 4; - 2].
16. 
Задание:
Решите неравенство------ — 5 *
Решение:
х+1 х х -1 х - 2
1---- 1 
-----< —
х + 1 х 
х -1 х - 2
-1
-1
(х+1)х 
(х - 1)(х - 2) 
4 х - 2
х(х+ 1)(х -1 Х х -2 )
^0.
Ответ: х
е (-оо; - 1 ) U| 0; — U (i;2 ).
Распространенный прием решения более сложных неравенств - замена 
переменных.
1 
1
17. 
Задание:
Решите неравенство 
Решение:
_ J____ 4 _ _ 4 _ _ 2
х
-1 х - 2 х - 3 х - 4 
30

г
_ _ z ! _ +------- *------- < — ;
(
jc
— 1)(
jc
—
4) (дс - 2)(x - 3) 
30
_
i _________ 2 _ < ± ;
x2 - 5 x +6 x2 - 5x + 4 
30
Замена: дс' - 5дс + 4 = /.
— — - — — 
< 0;
1 + 2 t 30
г2 -2 8 / + 180 A 
----------- ------> 0;
30/(/ + 2)
(/-Ю Х/-18) . 0.
30/(/ + 2)
(дс2 — 5дс — 6)(дг- - 5дс -1 4 ) ^
(дс2 - 5дс + 4)(дс2 - 5х + 6)
(дс - 6)(дс + 1)(лс - 7)(х + 2) 
q
(х - 4)(х 11)(х - 2)(х - 3)
____ У//////Х____
~~-2~± А
l i ~ ^ 2  
3 ^ ^ 4
6
О твет: х е (-оо; - 2) U (-1 ; 1) U (2; 3) U (4; 6) U (7; со).
Решение систем и совокупностей рациональных неравенств
Умение решать системы и совокупности неравенств требуется не только в 
заданиях, которые начинаются словами “решите систему 
Чаще решение 
одного неравенства (например, иррационального, логарифмического, с модулем) 
сводится к решению равносильных им совокупностей или систем неравенств.
Решение систем неравенств
Если ставится задача найти множество общих решений двух или несколь­
ких неравенств, то говорят, что требуется решить систему неравенств.
Для определения искомого множества решений находим решение каждо­
го неравенства отдельно и отмечаем его на числовой оси. Целесообразно при 
этом решение каждого неравенства отмечать на различных числовых осях, 
соблюдая упорядоченность значений. Затем находим пересечение получен­
ных множеств.
Рассмотрим на примерах основные случаи, которые получаются при 
решении систем неравенств.
80

Предварительно отметим следующие теоремы:
1) Если а, > а2 > .... > ап, то 
X > о,,
х > а2,
о х > av
* > а„>
2) Если t\ > b2 >.... > Ьп, то 
х < Н
х < Ь2,
v 
о х<Ьп.
х < Ьп;
18. Задание: Решите систему неравенств:
Зх -  4 < 8х + 6,
• 2х -1 > 5х - 4,
1 1 х - 9 < 15х + 3.
Решение:
Решим каждое неравенство системы:
Зх -  4 < 8х + 6,
5х > -10,
х > -2,
2х -1 > 5.г - 4,
Зх < 3,
х < 1,
11 х -9 < 15х + 3;
4х > -12;
х > -3; 
1
Ответ: 
х е (—
2; 1).
19. 
Задание:
Найдите наименьшее целое решение системы неравенств: 
1 -х
, 3 + 
Ах

Решение:
1 - х
,
3 + 4.V
-------- 3 < -----------4
2 
5
I Ю,
- х + 5 (4 -х ) < 2(4- х )
| -3;
35 - 5х - 30 < 6 + 8х - 40. 
5х + 60 - 1 5х < 24 - 6х;
13х>39, Гх > 3.
4х > 36; 
I х > 9;
х > 9.
Наименьшим целым решением из промежутка (9; со) будет 10. 
Ответ:
10.
20. 
Задание:
Решите систему неравенств:
х * -5 х + 4
х - х + 1 
х2 >9.
£ 0,
Решение: 
х2 - 5х + 4
S 0 ,
х2 - X + 1 
х 2 
> 9.
Рассмотрим уравнение 
х2 - х 
+ 
1 =0.
Поскольку 
D <
0, уравнение решений не имеет и систему можно перепи­
сать в виде:
х2 - 5х + 4 < 0, 
Г (х -4 )(х - 1 )< 0 ,
х2 - 9 > 0;
(х -3 )(х + 3) >0.
О твет: 
х
е (3; 4].
21. Задание: 
Найдите сумму целых решений системы неравенств:
82

Решение:
х2 + х -  6 < О,
(х +1)(5 - х) > О,
х > 4 ’
х + х - 6 < О,
(х +1)(5 - х) > О,
1 
1 
х 
4
(х + 
3)(х 
- 2) S О, 
(х + 1)(х - 5) < О, 
х - 4
4х
<0.
Целыми решениями неравенства будут числа 1 и 2. В ответе укажем их 
сумму.
Ответ: 3.
22. Задание: Решите систему неравенств:
(х - 3 )1
Решение: 
(х-3)2
£0, 
(х-ЗХ х + 1)
(х - 4)(х + 4) й 0.
* 0 ,
(х - ЗХ* +1)
(х -4 Х * + 4)£ 0.
Замечание. Точка 3 “выколота”, т. к. множитель (х - 3) присутствует и 
в знаменателе дроби.
83

Ответ: х е [ - 4 ; - l)U (З; 4].
23. Задание: Решите неравенства:
а ) - 1 < х2 + х < 12;
. 
2 - х
б)-1 < ------ < 2.
х + 1
Решение:
а) - 1 < х 2 + х < 12.
Решить двойное неравенство - значит, решить соответствующую ему сис­
тему неравенств:
Гх2 
+ 
х> -1', 
(х2 
+ 
х 
+ 1>0, 
Г 
xeR,
[х2 + х< 12; 
[
х
2 + 
х
- 12<0; 
|(х + 4 )( х - 3 ) < 0.
Ответ: х е (-4 ; 3).
2 — 
х
б) 1 < ——- < 2.
х + 1
Запишем соответствующую систему неравенств:
2 - х
Г1 — 2х „
2х — 1
-----
2tl»
— - > о ,
------- £ 0,
х + 1
х + 1
х + 1
2 - х  „
-З х
х
------ ^ 2;
------^ 0;
------>0.
х + 1
х + 1
х + 1
84

Решение совокупностей неравенств
Если ставится задача найти множество всех значений, являющихся реше­
нием хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо решить сово­
купность неравенств.
Множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств 
решений входящих в нее неравенств.
24. Задание: Решите совокупность неравенств:
Зх - 1 < — + 2,
2
2х - 3 < — +1,
4
3 - х 
>
2 + 4х.
Решение:
З х -1 < —+2,
2
2 х - 3 < —+ 1, 
А
3 - х >2 +Ах.
85

1) 3
jc
-1 < - + 2;
2
2 ) 2 x - 3 < —+ 1;
4
3) 3 - x > 2 + 
4x;
5x 
- 1 < 0;
4
2
16
x < — . 
7
w w W X V ,
X
X
5
7
5
Объединением этих множеств является промежуток - оо; 2
25. Задание: Решите совокупность неравенств:
(2 - х)*(3х + 1)(х - 3)(1 - х )2 > 0,
(Зх - 4)(х - 4) < 0, 
х(х + 1)(х - 5) < 0.
' Найдем решение каждого неравенства совокупности:
1) (2 - х)3(Зх + 1 )(х - 3)(1 - х)2 > 0;.
(- (х - 2))3(Зх + 1)(х - 3)(-(х - 1))2 > 0;
(х - 2)3(Зх + !)(* - 3)(х - 1)2 < 0;
О твет: х е -о о ;2— .
(2 - х)3 (Зх + 1)(х - 3)(1 - х)2 > 0, 
(Зх - 4)(х - 4) < 0, 
х(х + 1)(х - 5) < 0.
Решение:
ГЧ 
I 
Г
'

2) (Зх - 4)(
jc
- 4) < 0;
х е (-оо; - 1 )
U 
(0; 5).
Решение совокупности (объединение промежутков) определяем из ри­
сунка, на котором отмечены решения всех трех неравенств.
Ответ: х е ^ _ ° о ;-Л и (0 ;5 ).
26. Задание: Решите конструкцию неравенств:
[ х ( х - 2 ) 3( х + 1)2( 2 х -
3) 
£ 0 ,
[(2-Зх)(х + 1) > 0,
_(х + 1)(3х - 4)(2 - х) < 0.
Решение:
|х(х - 2)3(х +1): (2х - 3) £ 0,
}(2 - Зх)(х +1) > 0,
(х + 1)(З х-4)(2-х)< 0.
Найдем решение каждого компонента совокупности:
jx(x - 2)J(x +1)2(2х - 3) £ 0, 
1х(х - 2)3(х + l)J(2x - 3) < 0, 
{(2 - Зх)(х +1) > 0; 
[(Зх - 2)(х +1) < 0;
87

2) (х + 1)(3дг - 4)(2 - л) < 0; 
(jr + 1)(3
jc
- 4)(
jc
- 2) > 0;
х е ( - 1 ; 0 }
je e | - 1 ; - |U(2;oo).
Объединим найденные решения:
Ответ: х
е -

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: