Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е Ф У Н К Ц И И

Преобразование
Преобразование
Преобразование вы ра­
двойных радикалов
числовых выражений,
жений, содержащих
содержащих радикалы
степени с рациональ­
ными показателями
7.a)Vl7 + 24/30;
10. 
a) V T 5 0 - V 9 6 - J - —
V3 л/б
12.а)д/2л/2^2 
;
б)л/»9-2л/34 ;
б )2 л /3 2 --л Я в -
3
в)>/2+-у/9 + 4л/2 ;
| —л / 5 0 л / 2 -ьЗл/8; 
2 
2
г)^7 + л/48.
H
S
2>Яо
V 2 
2>/3->ft0’
Н
ш
а
8 . а) 
д/(3 - 2л/3)’ + 3;
,(>/75 + >/50)(5-2л/б)
л/З-л/2
1 
1 
_ 
20 
5
д) 
2°J 
■ 
‘
7 л/2-1 
Г 0-3 
1
6)V(2-V5)2 +V(3->/5): ;
11. Найдите число,
e)V 3-V 27-V 9-
в) л/28 -1 
Ол/3 
(5 + л/З);
г)(7з + л/5+ V 3 -V 5 )2;
если 90% этого
числа равны
+ 2
л
/6.
л/з + л/2
д)л
/16
 + ТзТ -л
/16
- л/зТ ;
е)^12-^80(12^80°-5) \
9. Вычислите 50% от числа
Л = 
л
/4+ 2
л
/ 3 -
л
/4 - 2
л
/3 •
Тождественные преобразования числовых выражений
Приведем основные формулы, необходимые для преобразований число­
вых выражений.
Формулы сокращенного умножения 
(а ± Ь)2 = а 2 ± 2аЪ + Ь2 
(а ± 6)3 = а 3 ± 3а 2Ь + 3ab2 ± Ь3
а 2 - Ь 2 = ( а - Ь ) { а + Ь) 
а3 ± Щ = ( а ± b)(a2 T a b + b2)

Степени
Степень с натуральным показателем
а 1 
= а
а" = 
а а - ... а ,
n e N , a e R
п
раз 
_ 
—
Степень с целым показателем
0 
I
а ш
I
а ~п
= — | 
а е
R, 
а *  
0. 
п е
N
еГ
Степень с рациональным показателем 
для неотрицательного числа 
а
т
а "  
= 
т е Z,
n е N
Свойства степеней
Я
И
м
■
Н
( а Ь ) х 
= 
а* -Ь х
Арифметический корень 
Определение. Арифметическим корнем степени 
п ( п е N,
/7
 
> 1) из нео­
трицательного числа 
а
называется неотрицательное число 
b
такое, что 
Ь"
= 
а.
Обозначается 
Уа = Ь.
Тождества. Если 
л[а
существует, то 
\4а)
= 
а;
2
у[а**
= |о|, 
а
е /?;
1я~у1а1п~1 =а, а е R;
2л-[1
2л-1 
2 и - |/
1 я - \
г>
\ - а
= - v a
, 
а е к.
Основные свойства, 
yfab = "4а ■ >[b, a t
О, 
Ь >
0;
J f = _ £ а > 0, А > 0; 
>/$* = 
$ J a = "'rfci, а >
0;
у ь
у ь
—
/ j—w 
/—
vfl" = 
\Q 4 а
> 0.
(л/flrjT =Va'", а > 0 ;
В настоящей главе мы сделаем некоторые замечания общего характера по 
ряду разделов алгебры и арифметики, касающиеся вопросов, зачастую усколь­
зающих из поля зрения посыпающих, а также разберем некоторые примеры.

Обращение периодической десятичной Дроби 
в обыкновенную дробь
Правило перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную
таково:
Чтобы обратить периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо 
из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого 
периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру
9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, 
сколько цифр между запятой и первым периодом.
Например,
Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную можно
выполнить другим способом.
Рассмотрим обращение чистой и смешанной периодических десятичных 
дробей в обыкновенные.
а) 
Обратим в обыкновенную дробь число 0,(13).
Пусть*=0,(13) = 0,1313...
Умножим чистую периодическую дробь х на такое число, чтобы запятая 
переместилась ровно на период вправо. Поскольку в периоде две цифры, надо 
перенести запятую на две цифры вправо, а для этого достаточно умножить 
число хна 100.
б) 
Обратим в обыкновенную дробь число х = 0,2(54).
Перенесем в данной смешанной периодической дроби запятую вправо 
так, чтобы получилась чистая периодическая дробь. Для этого достаточно х 
умножить на 10, получим 1 Ох=2,(54).
Обратим чистую периодическую дробь в обыкновенную так, как мы сде­
лали это в предыдущем примере.
0,2(1) =
2 1 -2
19 
90 ~ 90’ 
21 9 -2
21? 
990 ~ 990
3,1(73) =
3173-31 _ 3142 _ 1571 
990 
” 990 ~ 495 ’
0,2(19) =
Тогда 100х=0,1313...-100= 13,1313...= 13,(13). 
Теперь вычтем х из ЮОх, получим:
100х-х = 13, (13)-0,(13);
99х =13;
13
99'
10

Юл = 2,(54) |*100;
1000
л
: = 254,(54);
1 ООО*-10* = 254,(54)-2,(54);
990* = 252;
252 
28 
14 
Х~
990 ~ 110 ~ 55
1. 
Задание:
Обратите в обыкновенную дробь число: 
а) 0,11(7); 
б) 1,(36); 
в) 0,2(7).
Решение:
а
) * = 0,11(7) |*100; 
б)* = 1,(36) |* 100; 
в)* = 0,2(7) |*10; 
!00лг = 11,(7) |*10; 
100* = 136,(36); 
10jc = 2,(7) |*10;
1000* = 117,(7); 
100*-*= 135; 
Ш х = 21,(1),
1000*-100* = 106; 
99* = 135; 
100*-10* = 25;
900* = 106; 
_ 135 _ 15 
90* = 25;
106 
53 
~ 99 ~ 11 
_ 25 _ 5
900 ~ 450’ 
* ' 
~ 90 ~ ?8
Можно обратить периодическую десятичную дробь в обыкновенную,
используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
а) 
Представим число 5,(4) в виде обыкновенной дроби.
Решение.
Запишем данную периодическую дробь в следующем виде:
5,(4) = 5,444... = 5 + — + — + — + ...= 5 + 
Л
— + 
+ ...).
10 100 1000 
\1 0 ГО2 103 
)
В скобках записана сумма бесконечно убывающей геометрической про-
1 
. 
1 
грессии со знаменателем 
q
= — и первым членом о, = — .
\_
s = Ь> =
10 . 1 , 9 . 1
1 
- q
, J_ 
10 10 9'
10
1 
49
Имеем 5,(4) = 5 + 4 -- = — .
9 
9
II

6) 
Запишем периодическую дробь 1,2(3) в виде обыкновенной.
Решение.
и (3 )= и ззз...= 1 + А + А + ^
+ _ 1 Го+...= , + 1 + э ( ^ +т1г ^
+ ...)
1
г 
Ь1
Ю2 . 1 ■ 9 - 1 ■
1 
- q
J _ _1_ 
100 ' 10 
90*
‘ 10
2 V 1 : , 
2 
1 
37
1,2(3) = 1+— ьЗ — = 1+— + — = — . 
w
10 
90 
10 
30 
30
Применение формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения часто применяются для упрощения 
числовых выражений.
2. 
Задание:
Вычислите:
149 - 76 
|1152-152 
1 |2732-162
а) 
л1 . ~-2 
ш7 1
Г) ®3ll 
__
■*■...■
457 -384 
V 
130 
17 V 
257
712-2 3 2+94-42
6) 
622 -3 2 2
з а ж
«, и —
 >
.
■ ■ i
5,1 + 5,1 • 4,5 + 4,5'
Решение:
149 
-7 6
(149-76)(149+76) 
73-225 
225 
15
4572 -3 8 4 2 
\ (457-384)(457+384) 
V 73-841 
V 841 
2 9 ’
712 -2 3 2 +94-42 (71 - 23)(71+23)+94 • 42 
48-94+94-42 
622 -3 2 2 
* 
(62-32)(62+32) 
”
30-94
94(48 + 42)
9 4 -3 0
12
- 3 ;

1 J 9 2 -(5,3-2 ,8 )(5 3 + 2,8) = 9J2,5-8,I = Щ И И I
= 40,5;
V 100 
10
лл _ 
1
1 152 —152 
1 
f 
V 
130 
} l 7 V
b
)V9
j
-5,32 - 25,2- * д/92 •
5,32 - 92 •
2,82 = ^ 9 2 (5,32 -2 ,8 : )
27^ = 0 Д
257
100130
130 
17)
257-289
= 0,3-10 + ----17 = 4;
17
= V * l + 2 > / 7 7 + 7 - ( V i T - V 7 ) Я с Т и ^ / Т ) 2 - (л/ГТ- -/7 ) =
= (л/ГТ + У ? ) - ( л /н - д /7 ) = 4;
2 7 • (1,73 - 1,5?)
g 2 7 - ( l , 7 3 - l , 5 3)
6 5,1“ + 5 ,1 -4 ,5 + 4 , 5 2 ~ 3 2(1,72 + 1,7 1 ,5 + 1,5") ~
1
3 ( 1 ,7 - 1 ,5 ) ( 1 ,7 2 + 1,7-1,5 + 1,52) = 3 . 0 2 = 0 6
1,72 + 1 ,7 • 1,5 + 1,52
Смешение дробей
Сократить дробь - значит разделить числитель и знаменатель дроби на
одно и то же число или выражение.
3. Задание: Сократите дробь:
л
/ 2 1 +
л
/Г 4 
9 - 2 Л
ЮО"
а )
т=------; 
г) 
У 
i 
ж ) —-—:— г —г »
n & N \
V 7
3
V
6
-
2
V
2
Ш
Ш
„
2
V
1 0
+
4
-
2
V
2
, ( V i o - l ) ! - 3
,
4 1 8 "
б )
V
5
+ V
2 - 1
; 
3>
i
^
r
-
"
s W
;
_
2 V I 0 - 5
_
^9 V40-V4 
Л 8^'+ 8*)1 
. 
„
®) 
Г"“ 9 
в) “ Г—
—
I—
1
-^ 9 
И) 
A ll 
9
k € jV 
9
4 - л / Г 0
V 2 5 - V 2 - V 3
( 4 - 4
)

6э*Л
. 
2l+^
Решение:
2л/Го+ 4-2>/2 2л/5 • 
42"^2-М
• V2 - 2-Д 
2л[2(л[5+л12 [1-2^2;
б) л / 5 + ^ - 1
=
>/5 + V 2 - l
V 5 W 2 - 1
2
V
10-5
& (2 Л -4
ъ
) _ Ц.
4 -л / Г 0 _ л / 2 -Г 2 л / 2 -л / 5 ; 
V 2 ’
%
9 -2 л / з
л/З-Г З л / З -2 ; _ ( I .
Зл/б-гл/?” л/2 ГЗл/3-2^ V I ’
j>/io-i/-3 
(J\o-u2-(S )2
i
д) Vio+l - T s лЯо+^r-i " 
Vi
0
+V
3
-!
= VFo-i-V3,
^ 9 л / 4 0 ^ 4
л / ? •
л/23 •
5 •
л / ?
е)ш ^ щ =
В 1 Ш я ’
(8*+,+8*/_ r8V8 + i;;2 _ 82A' -92 _ 3-26* _ 3 
И)(4* -4*'*/ 4 f4*'V4-i;/ “ 43ft"u -33 " 2“ *2~6 ~ 2‘ 
= 3-64 = 192;
2
4 1 8 я 
2"+2 • 32"
3 ) ---------------- --- ------------ g
g
2
• 32," 2и+1 = 2-3 = 6;
4 
63+v? 
62 -6,w? 
3 6 - 6 lW*
к)---------- - ----------—- * --- ------ 12.
14

в более сложных случаях освобождаются от иррациональности не сразу,
а в несколько приемов. 
__
5. 
Задание:
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.
а)7 2 Ж
; 
E>w
b r
. 
Д)^
Ш
Г
r)^w; , е)/ЖГ
Решение:
1 
V 2 - V 3
_ 
л/2- У з
J 2 - 0 _
Л У 7 2 7 Щ
" (л /2 + Щ
/ 2 - V 3 ) “ ( 7 2 ) " - ( 4
л / 3 ) : 
2 - л / з
= 
( У 2 - У З Х 2
+ 
УЗ) 
= (>/2_ 4/з)(2 + VJ);
( 2 -
а
/3 ) ( 2 + л / 3 )
_ _
7 
7л/2 
+ У З
_ 7>/2
+ Л
_ 7л/2 
+ 
л/3(2 - л/3) _
б>л/2 + ^3 
2 + *$ 
(2 + л/3)(2-л/3)
7>/2 + > / ! ( 2 - л / 3 ) _
+
-
У з )
= 7-у/(2 + Л V 2 - л/3 )2 = 7 ч /2 - л / 3 ; 
4-(л/3)2
1 
_ 
V 7 - V2 
V 7 - V 2
_ V 7 - V 2
J
В) \ f i  W 2 ~ $ 7 + V 2X V 7 - V 2) ~ (л/7)2 - ( V 2 ) : 
л/7-л/2 "
(У7-У2)(л/7+ л/2) (V7 -У 2)(л/7+ л/2) = (У ? -У 2 )(л /7 + л /2 ).
~
(л/7-л/2)(Т7+л/2) 
( л / 7 ) J - ( л / 2 ) 2 
=
5
1 
\
л /2 -У з
_ 
л / 2 - 3
л/з 
_ л / 2 - У З _ 
л/2 + V 3 ~ (л /2 + ^ 3 )( л / 2 - V 3 )
( л / 2 ) : - ( 3
л /3 )2 ~ 2 - $ Г ~
(л/2 - УЗ)(4 + 23
л/9 + VjTF) ^ 
(>/2 
- З
л/3)(4 + 2 W + ЗД/З) _
~ (2 - W )(4 + 2л/9 + VeT) ~ 
(2) - (л/9)-
= (V3 - л/2)(4 + 2\/9 + Зл/З);
1
1
_
л / 2 + л / з - л / 5
Д л/2 + л / з + л / 5 * (л /2 + л /3 ) + л/5 “ (
л
/ 2 + - Л +
л
/ 5
х
Л
+
л
/
з
- 7 5 )
.
V 2 -Нл/З-л/5 
л/2 + л/3-л/5 = л/б(л/2+л/3-л/5) =
(л/2 + л /3 )М л /5 )2 7^ Г 2л/б 
. 
12
16

л/12 + л/Й$ - л/30 
2 л /3 + З л /2 -л /3 0
12
12
е)
12
12
12(3 + 
yfl
+ л/З)
З + л/2-л/3 
(3 + л/2)->/3 
(3 + >/2-
л
/3)(3 + 7 2 +
л
/3) 
12(3 + 
л
/ 2 +
л
/3) _ 12(3 + л/2+л/3) 
6(3 + 
л
/2+>/3)
(3 + л/2)2 — (>/3)2 
8 + 6л/2
4 + Зл/2
= 6(3 + V 2 4.V 3X 4 . 3^ ) g 6(3 + V 2 + ^ X 4 - 3V 2 ) 
^ + 
(4 4 Ш ¥ 4 -З л Ш
-2
= 3(9л/2 -
12
+ 
6
- 4>/2 + 3>/б - 4>/3) = 3(5л/2 - 
6
+ Зл/б - 4л/з).
6. 
Задание:
Вычислите:
22
а)
5 - > / 7
л
/ 7
+
л
/ 5
7 + л / 5
б)
12
7 1
л/5-1 3 + 4л/5J vл/5 —
1 4 + л / 5 /
Решение:
Предварительно освободимся от иррациональности в знаменателе.
а)
1
22 
+ •
9(5 + л/7)
л
/ 7 -
л
/5
5 - - J ?
J l + J s
 
7 +
л/5 
( 5 - > / 7 ) ( 5 + > /7 )
(л /7 + л / 5 ) ( л / 7 - л / 5 )
2 2 ( 7 - л/5)
( 7 + л/5 )(7 — л/?)
18
= - ( 5 + л/7 - л/7 + л/5 + 7 - л /5 ) = 6;
9 (5 + л /7 ) 
л / 7 - V 5 [ 2 2 ( 7 - л / 5 )
5 + л/7 
л/7 - л/5 
7 — л/5
4 4
б)
12
71
л /5 -1
3 +
4л/5/ 1 л /5 -1
4 +
>/5j I (л/5 — 1)(л/5 +1) 
(3 + 4л/5)(3- 4л/5)
1 2 ( 7 5 + 1)
71(3 - 4 л /5 )
8(л/5 + 1 )
_________________
1 1 ( 4 - л / 5 )
(л/5 - 1)(л/5 + 1 )
( 4 + л /5 )(4 - л /5 )
8(л/5 + О + 11 (4 — л /5 )
12(л/5 + 1) 
7 1 ( 3 - 4 7 5 )
4 
**
= (Эл/5 + 3 + 3 - 4 л / 5 ) - ( 2 л / 5 + 2 + 4 - л / 5 ) = ( 6 - л / !
райгыров 
атындагы ПМУ-д|ц 
академик С.Бейсембле? 
атындагы гылыми
17

Преобразование двойных радикалов
Выражение вида 
1
Ja + b-Jc
, где 
а, b
и 
с
— некоторые числа, называется
двойным или сложным радикалом.
При преобразовании выражений, содержащих двойные радикалы, часто 
оказывается удобным освободиться в двойном радикале от внешнего радикала.
Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то ос­
вободиться от внешнего радикала можно с помощью тождества V ? = 
\а\.
7 
.Задание:
Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное 
выражение в виде квадрата:
а)л/*7 + 2л/30 ; 
б ) | Е р ^ 3 4 ; 
в) - ^ 2 + ^ + 4 ^ ;
г
) Ф + >1
а
&.
Решение:
a)V m ^V 3 0 = 
|
=|Vl5-bV2| = VT5+V2;
6Wl9- 2V3 4 =V2 + 17- 2>/2 M7 
j
= -(л/2 - VT7) = л/Г7-л/2;
в)а/2 + л/9 + 4 ^ I а/2 + л/8 + 1 + 4л/2 |
^ / 2
+ V(2a/2 + 1)2 = л/2 + 2л/2 + 1 =
= V(V2 +1)’ = |л/2 + 1| = л/2 +1;
г)^7 +л/48 I л/7 + 4л/3 I л/4 + 3 + 47з I^ /(2 + л/З)2 = л/г+ Т з = l i ( 4 + 2>/3) |
= 
Щ1
1 + 
2
^ 
|
S
11
 I| | | |
,| 
j jpj + 
ц
8. 
Задание:
Вычислите:
а)л/(3-2л/3)2 + 3; 
г)(>/з + >/5 + л /з-> /5 )2;
б
д
)
7
1
б
7
Ж
.
л
/
Г
б
^
/
з
Г
;
в)л/28 1 Ол/з -(5 + л/з); 
e )V l2 -> ^ 0 (12 + 800,5) 5.
Решение:
18

t
.
k
: 2> V ^ f ' w
2-fi >
•>/? • >/3»
2 
Б > 3;
3-2-Л <0;
б ь/О 1^
+V(?: ^ ) r = |2 -> /5 |+ ^ -'/5 ) = 4 2 - ^ ) + ( 3 - V 5 ) = l; 
т.к. 2-V5 < 0иЗ-л/5> 0;
в ) « У 2 8 - 1 0 л / з ( 5 + - ^ ) = V 2 5 + 3 - 2 - 5 V
f ( 5 + V 3 ) = V ( V 3 - 5 )
( 5 + л / 3 ) =
=|л/3-5|-(5+л/3) = (5-л/3)-(5+л/3) = 2 5 -3 = 22;
г)(л /з|Щ +V3-V5)2 = ^ 3 + л/5 J +2д/(3 + л/5)(3-л/5) +^л/з~ V sJ =
Й З + л/5+2л/4+3-л/5 =10;
fl)Vl6+V^T- VI6-V3T' = 7(16 + ^зТХ16- л/з7) = Vl6- —31 = 
у/225
— 15;
e)Vl2—л/80 (12+8005)* *= Vl2-v>/80 Vl2 +V80 =^/(12-л/80)(12 + л/80) =
= V144 -8 0 = V64 = 4.
9. 
Задание:
 Вычислите 50% от числа Л = д/4 + 2л/з - 74-2 > /3
.
Решение:
А = V4+
2
^ - > /4 - 2л/3 = 7(1 + л/3)- -7(1 -л/3)2 = jl + S j - jl--y/Ij =
= 1+л/З-(>/3 - I ) = 2;
i4 
2
50% от числа Л составляет----- 50 --------50 = 1.
. 
100 
100 
Ответ:
 
1.
Преобразование числовых выражений, содержащих радикалы
10. 
Задание:
 
Вычислите:
a) Vi
50
-V
96
- |- - L ; 
6
)
2
^
2
-iVii-IVi
0
-IV
2
 + 
3
V
8
;
В) 
4
J
7
I
------- f f i L
. : 
г ) ( У 7 5 + У 5 0 ) ( 5 - 2 л / б )
2 2V3-Vii0;
T 3-V 2
19

б)2л/32
- - М ~
4 л/50 | | л / 2 + Зл/8 = 8 Л
- yfl -
-
\
 л/2 
+ 6л/2 - Юл/2;
= 2 л / 3 0 -
2 > / 5 ( л / б + л / 5 ) = 2 л / 3 0 - 2 л / 3 0 - 1 0 = - 1 0 ;
(л/75 + л/50)(5 - 2л/б) _ 5(л/3+У2)(5-2л/б) 1 5(Уз+л/2)(Уз - V2)2 _ 
Г) 
V3-V2 
л/з-л/2
= 5(л/з +л/2)(л/3- V2) = 5.
—
3 —
2л/б + 2 + 2^6 —
5;
5
- 9
0
%
х - 1 0 0 %
’
5 
90
х ” ю о N
Преобразование выражений, 
содержащих степени с рациональными показателями
12. 
Задание:
Вычислите;
JC =
5 100 
50 
g 5
90 
~ 9 " 9'
Ответ:
5 - .
9

.9
Решение:
I 
J
л / 2 -1
- 2-0’3•
2V2V2 | V2VV24 IV2V24 = 
ijllp}
= VV? = V ? SV32i
L V
3
V
2
1
. J r l F -
Ш В
■
v s " i p
в Щ
в 4 =1 
■ И
3 2
- / V 
-- I 
13'
3
4
-(
3 - 7
 
= 3
 
2
- 3
4
- 3
' 2
* 3
~ 4
=
3
"3-25-
д)
л / 2 - l
■
 
2
°'" • 
=;- J_
2°5(1
 -
2
°
5
j 
Щ
_+
1
л/2-
( л / 2 - 1 ) ( л /2 + 1)
- 2
* 
+ 2
=
= 2 • +1 -2 • +2= 3:
i)V 3 -^ V 9 -V 2 +^
= 3 V 2 7 -?tX = 9_ 5r T = Q .r Г
6 4
32
= 9,5.
21

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: