И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова
§2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
жүктеу/скачать 10,32 Mb. Pdf көрінісі
|
Р устюмова 2005
- Бұл бет үшін навигация:
- 11лс2-4 1 х + 9 прих= 14 Преобразование дробных выражений
- Зх-х - 2 |2-д| 23 Преобразование выражений, содержащих степени с целыми показателями
- = ( v - 2)0>2 - у + 4);
§2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Разложение многочленов на множители t.a)x(x +у - г) + у (х + у -= )~ -z (x + y ~ z ); б )х 3 - З х 2 + 5х-15; в) а2 - 2bc + 2ас - ab; г) 2а + ас2 ~ а 2с - 2 с , “в ; Л а щ---- , е = -5 — - 21 4 2.а)х6~\; б ) х 3- х + 2х + 2\ в) у 3- З у 2 + 6_у - 8; г} а4 - 2 а 3 +аг -1; д) а2 - 2аЬ + Ьг - г1. 3.а)бж2- х - 2 ; б)Х3 —х — 2х — 2; . в)9х2-30дсу+24>Г. 4.о )4 х 2 -12ху + 8^2; б)Xl+4; в)х4+х2 + 1; г) 8 lx 4 + 4. 5. Вычислите х3 + ^ у - х у 1 -j/3 при х — 3,6; у = —2,6. 6. Вычислите хъу + ху*, если ху = Ъ, х —у = 4. 7. Вычислите y= xi - 11лс2-4 1 х + 9 прих= 14 Преобразование дробных выражений 8. а) б) в)- Зх - ху + 2 у — 6 ху — 3X..+ 2 у — 6 х ,4+ х 7 + К } а +1 9 , £ z £ + £ ± Z а4-16 а4 - 4 д 3 +8а2 - 1 6 а + 16* х(х + 2 ) - у ( у - 2 ) 4 а ) ----------------------- при х - —, у = 0,4; х - у + 2 15 9 - 4л2 - 4 ab - Ь 2 3 + 2а + Ь 4а2 + 2а6 + 3 6 -9 х 10 . x + jH х - у , 2 * +У i l l : *‘ + У ‘ • + 6Ь 2а- Ь Ь2 - 4а2 2а + b ху 1 + 4 а2 - Ь2 22 11.а) 6)- х~ +4 Ах х - 5 5 - х ’ (х - 2)2 ( 2 -х ) 2’ (х — 2)3 ( 2 -х ) 3 3 | 4 х - 6 2х V х - 4 х2 - З х - 4 x + l j 2 х -3 п „ч 1 + сг+а а - а 2 а2{а-Ь) b*+ab ч а 3 + 6 13-а) :— g) --a . / +-=— — т; «) 14. а ) I - а 3 (1-л)3’ а3 ~Ъ3 a2+ab+ b2' b ( c r- a b + b 2) b f I г т м г 1'(fl2 _ ^2)2; + - Л т — Ц Ц и - Ь ) (o + ft) j | а + х а - х а - х ) ( а -Ь )2 (а + Ь)' 1 2 1 ( х - у ) - х- - у (х + у у ( х - у Г (х + у У + 2(х - У ) + ( х - у) х— у- ' i'll 15а)1 ^ г - ; б> - г - : ~ + — г2 х + — 2 у * х 1 1 17. (х + 1Хх+2) (х + 2)(х+3) (х + 3)(х+4) 1 1 2х 4х3 х - 2 х + 2 х* +4 х4 + 16 Преобразование алгебраических выражений, содержащих модули 18. j / = |х| + |2-х|+ 3|х-3|,если 2 <х< 3 19. у - |х 4 2 |- 3 х 20. у = х + 1 + J* + 5|- |х- 3| 21. ,у = |2х + 3| + |х - 7 |- 5 х|х -3 | 2 2 ----L х - х - 6 Зх-х - 2 |2-д| 23 Преобразование выражений, содержащих степени с целыми показателями 24'а)^ щ й 4 1+- ^ й - б)(аЬ-2 + а 2Ъ ){а '+ Ъ -у- ^ ^ x ^ + x ^ + x l г) х1 + х4 + х6 1 В Ш P f ** 6 х У 5 1 Ш 7 ) ’ З х У 3 5 х " 5 у 3 ’ б )| ^ •т 2и'| • (-3 2 т 'и ); ,(a'v T j[—f и Тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений Важную роль в процессе изучения математики, помимо умения работать с числами, занимает умение правильно преобразовывать, упрощать, разла гать на множители алгебраические выражения. Техника алгебраических преобразований является вспомогательным, но очень важным моментом в решении задач самых разных типов. Тождественные алгебраические преобразования широко используют при до казательстве тЦгоем, при исследовании функций, при решении уравнений и нера венств, а также в приложениях алгебры в геометрии, физике и других предметах. Напомним основные виды преобразований и рассмотрим соответствую щие примеры. - Разложение многочленов на множители. - Преобразование дробных выражений. - Преобразование алгебраических выражений, содержащих модули. - Преобразование выражений, содержащих степени с целыми показателями. Разложение многочленов на множители Разложение многочленов на множители применяется при решении алгеб раических уравнений, для упрощения выражений, для доказательства спра ведливости равенств и ^других случаях. 24 \ \ Разложение многочленов на множители выполняется чаще всего одним из следующих основных способов: - вынесение общего множителя за скобки и способ группировки; - использование формул сокращенного умножения; - разложение квадратного трехчлена на линейные множители; - выделение полного квадрата из трехчлена. В более сложных примерах приходится применять разные способы. Рассмотрим данные способы разложения многочленов на множители на Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки Этот способ основан на применении распределительного свойства умно жения. 1. Задание: Разложите на множители: а) х ( х +у - г ) + у (х + у - г) - г( х + у - z); б) хъ - Здг 2 + 5х -15; в) а2 - 2Ьс + 2ас - ab; 1 , 8 , I г) 2а + ас' - а 'с - 2с и наидите значение выражения при с ~ 4 * Решение: а ) x ( x + y - z ) + y ( x + y - z ) - z ( x + y - z ) = ( x + y - z ) ( x + y - : ) = ( x + y - z f ; б)х3-Зх2 +5х-15 = (х3 -Здг) + (5дг-15) = jc 2 (jc-3) + 5(;c-3) = ( х - 3 ) ( х 2 +5); в )a 2 -2 b c + 2 a c -a b = (а2 - ab) + (2ас - 2Ьс) = а ( а - Ь) + 2 с ( а - Ь ) = (а - Ь ) ( а + 2с); г)2 а + ас2 - а 'с - 2с = (2а - 2с) - (а 2с - а с 2) = 2(а - с ) - а с(а - с ) = ( а - с ) ( 2 - а с ) = Использование формул сокращенного умножения С помощью формул сокращенного умножения значительно упрощается разложение на множители. 2. Задание: Разложите на множители: а) х в - 1; примерах. б)х3- х + 2х + 2; в) у 3 - Зу2 + 6 у - 8 ; г) а * - 2а* + а2 -1 ; d )a 2~2ab + b2- z 2. 25 Решение: а) хь -1 = Й | - 1 1 (х3 - Ш 3 +1) I (* 10(* + 1)(*2 + х + W*' " х +1); | б ) х 3 - х + 2 x + 2 = (x3 - x ) + ( 2 x + 2 ) = x ( x - l ) ( x + l) + 2 (x + l) = (x + l ) ( x ( x - l ) + 2)=j = (х + 1)(Л-2 — х + 2); в) У - 3 / + 6 у - 8 = ( у 3 - 8) + (6 у - З у : ) = (У - 2 ) ( / + 2 у + 4) - З у (у - 2) - = ( v - 2)0>2 - у + 4); , г ) а 4 - 2а3 + а 2 -1 = а V - 2а +1)■1 1 = а 2 (а-- 1)2 - 1 = (а(а - 1 ) - 1 № < л- 1) + D | - { а 1 - а - 1)(а2 - а +1); д)а2 -2ab + b2 - z 2 = (a -b )2- z 2 = ( a - b - : ) ( a - b + г). Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Если х, и х 2 - корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с, то ах2 + &с + с = а (х -х ,)(х -х 2) . Эта формула применяется для разложения квадратного трехчлена на мно жители. 3. Задание: Разложите на множители: а ) 6 х 2 - х - 2 ; 6 ) х 3 - х - 2 х - 2 \ в)9х2 -ЗОху + 24уг. Решение: а) Решим уравнение: 6х2 - х - 2 = 0; 2 1 х = —, х, = ; 1 3 2 6х2 - X - 2 = бГх-у Т х ИИ зГх - 1 ) ■ гГ х + 1 j = (Зх - 2)(2х +1); б)х3- х - 2 х - 2 = Сх3 -х )-(2 х + 2) = х(х2 -1 )-2 (х + 1) = х(х-1)(х + 1)-2(х + 1) = = (х + 1)(х2- х - 2 ) = (х + 1)(х + 1)(х-2) = (х + 1)2(х-2), т.к. х2- х —2 = 0; х ,= 2 , х2 = —1. в) Решим уравнение 9х2 - ЗОху + 2 4 у = 0 относительно х. а - 9, Ь = -30_у, с - 24у 2; D = Ь2 - 4ас = (-ЗО у)2 - 4 • 9 • 24>»2 = 900_у2 - 864>»2 = З6.у2; 9х2 - ЗОху + 24.у2 = 9(х - 2у)^х - ^ y j = (х - 2 у) • 9^х - = (х - 2_у)(9х -12^). \ 26 Выделение полного квадрата из трехчлена Рассмотрим примеры, в которых многочлен можно разложить на множи- ели путем предварительного преобразования: добавить и вычесть одночлен, тредставив тем самым многочлен в виде разности квадратов или в видё разно- гги или суммы кубов. 4. Задание: Разложите на множители: а)4х2 -12ху + 8у2; б)х* + 4; в )х 4 + х 2 +1; г)8 1 х 4 + 4 . Решение: а) 4х2 - 12ху + 8у2 = 4х2-1 2 ху + 9 у2- 9 у 2 +8у2 = ( 2 х - 3 у )2 - у 2 = = (2х - 3 у - у ) ( 2 х - З у + у) = (2х - 4у)(2х - 2 у) = 4(х - 2у)(х - у); б) х* + 4 1 х 4 + 4 х 2 + 4 1 4 х 2 = (х 2 + 2)2 - (2х)2 = (х2 - 2х + 2)(х2 + 2х + 2); в ) х 4 + х 2 + 1 = X4 + 2 х 2 + I - х 2 = (х2 + 1)2 - х 2 = ( х 2 - х + 1)(х2 + Х + 1); г) 8 1х4 + 4 1 8 1х4 + 4 + 36х2 - 36х2 = (9х2 + 2)2 - Збх2 = = (9х: + 6х + 2)(9х2 - 6х + 2). Отметим, что при разложении многочлена на множители, помимо основ ных способов, часто используют следующие приемы: — представление некоторого слагаемого в виде суммы двух слагаемых. Например: х3 - Зх + 2 = х 3 - 2х - х + 2 = (х3 - х) + (- 2 х + 2) = х(х 2 - 1 ) - 2(х - 1 ) = = х (х -1 Х * + 1 ) - 2 ( х - 1 ) = ( х - 1 ) 0 г + х - 2 ) = ( х - 1 ) ( х 2 + 2 х - х - 2 ) = = (х - 1)(х(х + 2) - (х + 2)) - (х 1 1)(х + 2)(х - 1 ) = (х 1 1)2(х + 2); - введение новой переменной. Например: а )(х 2 +х + 1)(х2 + х + 2 ) - 12 = = а (а + 1 ) - 12 = а2 + а - 12 = Замена : х ' + х +1 = а\ = a2 + 4 a - 3 a - \2 = a(a + 4 )-3 (a + 4) = (сь+ 4)(а - 3) = = (х 2 + х +1 + 4)(х2 + х +1 — 3) = (х 2 + x +5X jc 2 + х - 2 ) = = (х 2 + x + 5X^2 + 2 х - х - 2 ) = (х 2 + х + 5)(х(х + 2) - (х + 2)) = = (х 2 + х + 5)(х + 2)(х -1 ); 27 Решение: а ) х й - 1 = (х 3)2 - 1 1 (х 3 - 1)(х3 1 1 ) I (х J 1)(х $ 1)(х2 + х + 1 )(jt - х +1); б ) х 3 - х + 2х + 2 = (х 3 - х ) + (2 х + 2) = х ( х - 1 )(х + 1) + 2(х + 1) = (х + 1 )(х(х-1) + жүктеу/скачать 10,32 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|