И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

д )
х ( х + 2 ) - у ( у - 2 )
х 2 + 2 х - у 2 + 2 у
(х2 - у 2) + 2(х + 
у) _
х - у + 2
_ (х
+ 
у)(х - у + 2)
х - у + 2
__4_ 2 _ Ю _ 2 
Ш 
У ~
15 + 5 1 15 ~ 3
- у + 2
х - у
е)
х - у + 2
9 - 4 а 2 - 4 а Ь - Ь 2 
3 + 2 а + Ь
4 а 2
+ 2 
ab
+ 3 6 - 9
х
9 - ( 2 а + Ь)2
3 + 2 
а + Ь
( 4 а - - 9 ) + (2аЬ + ЗЬ) 
х
(3 - 2а - 6)(3 
+ 2а+Ь) 
3 + 2 а + Ь _
(2а - 3)(2а + 3) + 
Ь(2а +
3) “
1 
_ (2а 1 3)(2а - 3 + 
Ь)(3 + 2а + Ь) _
(3 - 2а - Ь)(3 + 2а + Ь)
х
= —
2
а —3.
Действия с алгебраическими дробями
Порядок выполнения действий над алгебраическими дробями такой же, 
как для действий над числами: сначала выполняют возведение в степень, за­
тем — умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание; при наличии 
скобок прежде всего выполняют действие в скобках.
Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями.
9. 
Задание:
Упростите выражение
(
, > 
х - у
(
х + у
1
2 
х + у~
^ + у
х - y J
;
ху
Решение:
У т
\jr— v 
. 
\X+V 
J. 
±
. 
"» . 
0
%
2 
м / 2
х - у
х + у
_ х - 2ху
+ 
у
+ х ' +
2
ху + у
__ 
2(х~ + 
у~)
о
+
х + у
х - у
(х + у ) ( х - у )
\
2
п 
х г + у г +2 х у
(х + ^ ) \
3 )
2
ху 
2
ху 
2
ху
2 (х 2 
+ у 2) 
(х + у ) 2
_ 
х 2 + у 2 
2(х2 + у 2)(х + у ) 2 ■ ху>
х + у
(д
: + у ) ( х - у )
2 ху
х + у
ху
(х + у ) ( х - у ) 2 х у ( х 2 + у 2) 
х - у '
Ответ:
х - у
30

10. 
Задание:
Упростите выражение:
2 
-6 I
4 V
2а -Ъ b2 - 4 а 1 
2a + b I
I 4
а 2 +Ь2^
Б ш
Решение:
„
2 
66 
4 
2 ,2п+А 
66 
От---- г+
2лг-6 
Ь2 - 4 а 2 2a+ b 
2а—b 
(2a-b)(2a+b)
4 a + 2 b -6 b -$ a + 4 b
4 а
(2 a -b )(2 a fb ) 
4а2- Ь
2)1
4
0г_|§ 4
а2 +Ь2 
4а2- Ь 2 Щ4сг +Ь2
8
а2
4а~ — Щ 
4а2— Ь2 
4а2—Ь2
,
4
а
 
8
а2 
_ 4а-(4а2- b 2)
 
I
4а' - Ь 2 4а2- Ь 2 
(4а2 - Ь 2) $а2 
2а
О т вет :
------.
2 
а
11. 
Задание:
Упростите выражение:
х 2
25 
х 2 
4 
х 2 +4
а )
------ + -------; 
б )
-------- I ----------
в )
--------------- + —
х - 5
5 - х
(х - 2) 
( 2 - х ) 2 
(х - 2) 
(2
Решение:
25 
х2 
25 
х2 - 25 
(х - 5)(х + 5)
б)
1 ч
л 
+
1
Н
- х
х - 5
х - 5
х - 5
( х - 5 )
х~
4
х~
4
х2 — 4 
(;
( х - 2 ) 2
( 2 - х ) 2
( х - 2 ) 2
( х - 2
)2 
( х - 2 ) 2
х + 2
х - 2 ’
х2 + 4
-------- - +
4х
х2 + 4
4х
х‘ + 4 —
4х
( х - 2 ) 3 ' ( 2 - х ) 3 
( х - 2 ) 3 
( х - 2 ) 3 
( х - 2 ) 3
12. 
Задание:
Упростите выражение
Г 3 
4 х - 6
+■
, х - 4
х - З х - 4
4 '2а~*
2
а+Ь
4х
~ х У
= х + 5;
с 
- 2)(х + 
2)
( х - 2 ) 2
( х -
2)2
1
( х - 2 ) 3 х - 2 '
2х 'j 
х
Г + l J 2 х - 3 '
31

Решение:
э 
4 х - 6
2 x
3 
U+1 
4 x - 6
2 x li" 4
1)------- + —-------------- 1 --------= --------- 
+ ------------------- +
л - - 4
x~
- 3.v- 4
x + I 
x - 4
(x + 1)(a'- 4 )
дг + 1
_ 3л- + 3 + 4 л - - 6 + 2л:2 -8 л - 
2
x
2 -
x
- 3 
( 2 x - 3 ) ( x +
1) _ 2 л г -3
(x
| l ) ( x
1 4) 
”
(
a
- | l) ( .v
1 4 ) 
” (
jc
I
l)(.v -
4 ) 
.t -
4
2a' - 3 
x
_
(2 x
- 3 ) • 
x
_ 
x
x - 4
2 x - 3 ~ ( x - 4 ) ( 2 x - 3 ) _ x - 4 '
2
)
_ 
x
Ответ:
x - 4
П рием ы рац и он альн ого вы п олн ен и я тож д ественн ы х преобразований:
1) 
Д ля уп рощ ен и я д р о б н ы х р ац и он альн ы х вы раж ени й н ец ел есооб разн о 
при ведени е сл агаем ы х к о б щ ем у зн ам ен ател ю без п ред вари тельн ого сокра­
щ ения дроби. Э то следует и м еть в виду и в д альн ейш ем : 
перед приведением
дробей к общему знаменателю следует проанализировать, можно ли эти
дроби предварительно сократить.
13. 
За д а н и е:
У простите вы раж ение: -
Ч 1 
+ а 2 + а 
а - а 2 
a 2(a — b) 
b2 +ab
I 
а 3 + Ь3 
а
Ф Ш
— S
i — Ш
Ш
г - . -г - + 1
, 
в)
1 
- а 3
. ( 1 - а ) 3 ’ 
а 3 - Ь
3 
а 2 + ab + b2 ' 
b(a2 —a b + b 2) 
b
Р еш ение:
1 
+ а~ + а 
а - а
1Ц
а~
+
а 
а(1
-
а)
1 
а
Г
1
+ (1 - а ) 3, 
(1 - а)(1 
+ а 2 
+ 
а) 
+ 
( I - а)3 
Щ а + 
( I -
а)2
1
—а + а _
1 
\
(1 -
а)2
(1 -
а)2
’
„
a2( a - b )
b2 +ab 
a2( a - b )
b2 +ab
б)
 
+ 
I ■
 
I , 
L i +
а3 - Ь 3 
а2 + ab + b2 
(а — b)(a2 + ab + b2) 
а 2 + ab + b2 
a2 + ab + b2
b2+ab 
a2 +ab + b2
a '+ a b + b ' 
a + ab+ b‘
= 
1
;
a3+b3 
a _ ( a + b)(a2 — ab+ b2) а
_
а +b а _ а + Ь - а
b(a2- a b + b2) Ъ 
b(a2 — ab + b2) 
b 
b 
b 
b
-
Ш
3 2

2) При выполнении преобразований выражений вида 
(а
+ 
Ь)
• 
с
иногда 
бывает более рациональным не выполнять действия в скобках, а 
воспользо­
ваться распределительным свойством умножения.
14. 
Задание:
Упростите выражение:
а)
(
а - Ъ
) 
(а + Ь)~
г
г И < г - * 0 ; 
Ш Ш Ш В
а + х
а —х
а — х .
в )
С
* - y f
х 2 - у 2 
( х + у ) 2
( х 2 - у 2)2
( х + у ) 2 + 2( х 2 - у 2) + ( х - у ) 2
а)
Решение:
1 
I
(а + ьУ
Г 
\ (а2 - Ь 2)2 =
1
1
(а - Ь)2
(а
+ 
Ь)2
(а - Ь)2 ■
 
(а
 + 
Ь)2
=
(а
-
Ь)1 ■
(аг + 
Ь)2
(а - Ь)2 ■
(а
+ 
Ь)2
(а -Ь )2
(а + Ь)2
= (а
+ 
Ь)2 
- (а -
Ь)2
= 4
ab;
I
б)
(
а2 - х 2
\ а + х
а* - х~ 
а — х
= а - х + \ - а - х = \ - 2х:
1 
I _ ( а -
х)(а + х) а - х
(о - х)(а + х)
а + х
2
1 
+ —1----- г +
в)
г Р
Ш
( х - у У
х 2
— 
у 2 
(х + уУ
(лг + 
у)2
+ 2(дс: -
у 2)
+ (дг -
у)2
1 
1 
---- + -----
Jf — V 
X
+ V
/
2
 
2 \ 2  
(х - у )
X
- у
X + у
4х
(х
+ 
у + X
-
у)
4х2
(х
I
у
+ 
х
-
у)2
- =
1
.
3) Рассмотрим преобразования дробей, числитель и знаменатель которых 
являются дробными выражениями.
Такие дроби обычно называют сложными дробями.
15. 
Задание:
Упростите выражение:
а)
х . у
У 
х
.
- + — -2 *
У 
х
1-1 
б )
------ —
Х 
+ - - 2
х
33

Решение:
а
) 
Используя основное свойство дроби, умножим числитель и знамена­
тель дроби налу.
- - L
у
х
—+ —- 2
; ; 
х
х 
У
У 
х ,
ху
X 
у
— ■ху
---- -XV
у
X
х ' - у
- + — - 2
У 
х
х 
у
_ 
х г + у 2 - 2ху
Х у
 
—; 
ху
И----
Х у -
2 
Х\ 
'
_ (х -,у )(х + >0 
х + у
( Х - у ) 2 
~ х - у '
б) 
Умножим числитель и знаменатель дроби на 
х.
1 -
1
X__ __
1 -
х - 1
х —1
х + — 2 
Х + — 2 - х
х 2 +1 - 2х 
(х 1 1)2
16. 
Задание:
Представьте сумму
в виде дроби.
Решение:
Заметим, что 
Тогда:
1
1
(х+1)(х+2) (х+2)(х+ 3) (х+3)(х+4)
(х + 1)(х 
+ 2)
х + 1 
х + 2 
\ l
+ -
1
(х + 1)(х + 2) 
(х + 2)(х + 3) 
(х + 3)(х + 4) 
х + 1 
х + 2 
х + 2
___ 1 
| 
1
___ 1 _ = _ J ___ 1 
3
х + 3 
х + 3 
х + 4 
х + 1 
х + 4 
(х + 1)(х + 4)
О т вет :
---------------- .
(х + 1)(х+4)
17. 
Задание:
Упростите выражение
2х
4х
34
х - 2
х + 2 
х
2 + 4
 
х4 + 16

Решение:
В этом случае сложение будет рациональнее выполнять последовательно: 
сначала сложить две первые дроби, затем к полученной сумме прибавить третью 
дробь и, наконец, к сумме первых трех дробей прибавить четвертую дробь.
Имеем:
1 
1 
2х 
4х3 
2х 
2х
U
х - 2
х + 2 
лг + 4 
х4 + 16 
х : - 4
х 2 +4
х 4 + 16
4
х
3
4х3 
8х7
Г X4 - 1 6
х 4 + 16 ” х * - 2 5 б '
Ответ:
---- .
х
-2 5 6
Преобразование алгебраических выражений, содержащих модули
Чтобы хорошо овладеть методикой решения уравнений и неравенств с 
модулем, нужно сначала научиться раскрывать сами модули.
и метод промежутков.
Для этого:
1. приравнивают к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, полу­
ченные значения переменной откладывают на числовой оси;
2. исследуют алгебраическое выражение в каждом из полученных про­
межутков.
Рассмотрим несколько примеров на раскрытие модуля.
18. 
Задание:
Запи сать без знака модуля следую щ ее выражение: 
у
= [х| + 12
-х \
+ 3|х - 3|, если 2 < 
х
< 3.
Решение:
2 < х <
3;
у
= jx| + 12 - х| + 3|лг - 3| = х - (2 - х) - 3(х - 3 ) = д г-2 + д :-З х + 9 = - х + 7.
19. 
Задание:
Записать без знака модуля выражение 
у - \ х
+
2| - Зх.
В этом случае используют определение модуля а
а, 
если а
> О,
-
а, если а <
О
Решение:
У ~
|* + 
2
|-Э* = |
х + 2 - З х , 
если
х + 2 ^ 0 ,
- (х + 2) - Зх, 
если х
+ 2 < 0;
2 - 2х, 
если х к. -2,
- 2 - 4х, 
если х < -2.
35

20. 
Задание:
Освободиться от знака модуля в выражении: 
у - х 
+1 + |х + 5| - |х - 3 |.
Решение:
1) Определим точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, 
равны нулю ,
т в.
х
+ 5
= 0, 
х - 3
= 0.
Находим 
jc
= —5, х = 3.
2) Эти точки нанесем на числовую ось, получим три промежутка.
3) Определим знаки каждого выражения, стоящего под знаком модуля на 
отдельных промежутках. Эти знаки также укажем на числовой оси следую­
щим образом:
II 
- 
■
 
I 
■
 
|
.
х
х-3 
.
.5 
- 
3 
+
Полученные комбинации знаков используем при раскрытии модуля: 
если * < - 5 , т о у = х + 1 - ( х + 5) + ( х - 3 ) = х + 1 - х - 5 + х - 3 = х - 7 ;
если -5<х< 3,то>> = х + 1 + (х + 5) + ( х - 3 ) = х + 1 + х + 5 + х - 3 = Зх + 3; 
если х > 3 , то_у = х + 1 + (х + 5 ) - ( х - 3 ) = х + 1 + х + 5 - х + 3 = х + 9 .
Ответ: у
=
х - 7 ,
если х < -5,
Зх +
3, 
если -
5 < 
х <
3, 
х + 9, если х >3.
2
1. 
Задание:
Записать без знака модуля выражение: 
у
= |2х + 3| I М - 7| - 5.
Решение:
Г
”
-
х-7
j
-1,5 
- 
7 • 
+
если 
х
< —1,5,то 
у
=
- ( 2 х + 3 ) - ( х - 7 ) - 5 | - 2 х - 3 - х + 7 - 5 = - З х - 1
если- 1 , 5 < х < 7 , то 
у -
(2х + 3 ) - ( х - 7 ) - 5 = 2х + 3 - х + 7 - 5 = х + 5 ; 
если х > 7 ,то 
у
= (2х + 3°) + ( x - 7 ) - 5 = 2x + 3 + x - 7 - 5 = 3 x - 9 .
- З х - 1
,если х <
-1,5, 
х + 5, 
если
- 1 , 5 < х < 7 ,
Зх - 9, 
если
х > 7.
Ответ: 
у
=
3 6

Рассмотрим, как раскрытие модуля позволяет сократить дроби.
22. 
Задание:
Сократите дробь 
у
= —^ —— .
х — х — 6
Решение:
1) Разложим знаменатель на линейные множители: х2 - х - 6 = (х -
Перепишем дробь: у = — — —У— .
(х - 3 ) ( х + 2)
2) При 
х
= 3, 
х - - 2
дробь не определена.
3) Теперь раскроем модуль и, по возможности, сократим дробь:
• 
х(х
- 3) 
-
х
при 
х
- 3 < 0 имеем 
у
= 
при 
х -
3 > 0 имеем 
у
=
(х -
3)(х + 2) 
х + 2
х(х - 3) 
_ 
х
(х 
- 3)(х
+ 2) 
х + 2
Ответ: у =
х
--------- ! 
если х <
3, 
х Ф -2 ,
х + 2
х
------ , 
если х >
3.
х + 2
3 у _у2 _2
23. 
Задание:
Сократите дробь 
у 
= --------------.
|2 - х |
Решение:
Ъ х - х 2 - 2
-
(х2 - Зх + 2) 
- ( х - 1 ) ( х - 2 )
7 1
м
л
- И
;
;
0 
_ Л 
— (х — 1)(х — 2) 
( х - 1 ) ( х - 2 )
п р и 2 - х > 0, 
у
= — ----- ------- - = ------ ------- - = х — 1;
2 - х
х - 2
о 
- ( х - 1 ) ( х - 2 )
- ( х - 1 ) ( х - 2 )
, 
при 
2 - х < 0, у = —------- --------- - = — ------ ---------- = 1 - х
- ( 2 - х )
х - 2
х - 1 , 
если х < 2,
Ответ: у = \
1 - х, 
если
х > 2.
3)(х+2).
37

Преобразование выражений, 
содержащих степени с целыми показателями
Алгебраическое выражение называют рациональным, если оно содержит 
переменные, над которыми производятся только операции сложения, вычита­
ния, умножения, деления и возведения в целую степень.
Определение. Если 
а
* 0 и 
п
-натуральное число, то 
а~"
= — .
Выражение 0 ” не имеет смысла.
Действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же 
правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.
Рассмотрим примеры преобразований рациональных выражений, кото­
рые содержат степени с целыми показателями.
24. 
Задание:
Упростите выражение:
а
б ) ( а Ь - 2 + а - 2Ь)(а-] + Ь - ' У ];
V 2
в )
1 +
V
х " 6 + X -4 +
X 2
X 2
+
х 4 + х 6
у
Решение:
о д ы
т и )
Т Т ^ - Т • 
Г Т
= ---- Щ Щ • --------
\Ь - 
а ' )
Ь )
^ 
a b ' ) \ ab )
(а + Ь)(а2 - a b + b 2) - a b _ a 2 - ab + b 2
crb
2
• ( а + 
Ъ)
ab
38

25. 
Задание:
Выполните действия:
а)
б х у
{ - с 2хУ
2 j ; 6 )f^ m 2wj -(-32m2/i);
2алЬ
3 
6a~*b*
Зх*у~*
5лГ*У ’
г)
f
° ' v 1
-2 
f 
1
W e - j
1
, 6C? >
Решение:
а)
Ьх2у~
•I j c V , - ’
^ - . l c V
V
=
с* 
81
б)| 
- т ' п
I -(—32/77 /7) = — m V • (-32m и) = — m V ;
64 
2
| 
O
'

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: