«Задачи на приложения производной как средство реализации межпредметных связей в курсе алгебры и начал математического анализа общеобразовательной школы»

9 
Глава 1 Методические основы обучения решению задач
на приложения производной 
 
1.1 
Основные цели и задачи обучения решению задач
на приложения производной в школьном курсе математики 
 
В Федеральном государственном стандарте среднего общего 
образования в требованиях к предметным результатам отмечается, что 
математика на старшей ступени обучения должна способствовать 
формированию «представлений о математических понятиях как о важнейших 
математических моделях, с помощью которых можно описывать и изучать 
разные процессы и явления» [60], а также «представлений об основных 
понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением 
характеризовать поведение функций, использования полученных знаний для 
описания и анализа реальных зависимостей» [52].
В сборнике рабочих программ по алгебре и началам математического 
анализа Бурмистровой Т.А. [2, с. 13] указывается на то, что элементы 
математического анализа выступают в качестве моделей реальных ситуаций и 
позволяют продемонстрировать роль математического анализа в изучении 
других предметов.
Среди изучаемых учащимися элементов одним из центральным является 
производная и в дальнейшем ее приложение.
В результате изучения элементов математического анализа учащийся на 
базовом уровне 
научится
: 
– «оперировать понятиями: производная функции в точке, касательная к 
графику функции, производная функции;
– определять значение производной функции в точке по изображению 
касательной к графику, проведённой в этой точке;

10 
– вычислять производные одночлена, многочлена, квадратного корня, 
производную суммы функций, элементарных функций и их комбинаций, 
используя справочные материалы;
– решать несложные задачи на применение связи между промежутками 
монотонности и точками экстремума функции, с одной стороны, и 
промежутками знакопостоянства и нулями производной этой функции – с 
другой;
– исследовать функции на монотонность, находить наибольшие и 
наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простых 
рациональных функций с использованием аппарата математического анализа» 
[52]; 
получит возможность: 
– «сравнивать скорости возрастания (роста, повышения, увеличения и т. 
п.) или скорости убывания (падения, снижения, уменьшения и т. п.) величин в 
реальных процессах, пользуясь графиками;
– соотносить графики реальных процессов и зависимостей с их 
описаниями, включающими характеристики скорости изменения (быстрый 
рост, плавное понижение и т. п.);
– использовать графики реальных процессов для решения несложных 
прикладных задач, в том числе определяя по графику скорость хода процесса; 
– решать прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и 
других предметов, связанные с исследованием характеристик реальных 
процессов, нахождением наибольших и наименьших значений, скорости и 
ускорения и т. п., в дальнейшем интерпретировать полученные результаты» 
[52]. 
В результате изучения элементов математического анализа учащийся на 
углубленном уровне 
научится:
– «владеть понятиями: бесконечно убывающая геометрическая 
прогрессия, бесконечно большие числовые последовательности и бесконечно 

11 
малые числовые последовательности, производная функции в точке, 
производная функции, касательная к графику функции, первообразная, 
определённый интеграл;
– применять для решения задач теорию пределов;
– сравнивать 
бесконечно 
большие 
и 
бесконечно 
малые 
последовательности;
– вычислять производные элементарных функций и их комбинаций;
– исследовать функции на монотонность и экстремумы; 
– строить графики и применять их к решению задач, в том числе с 
параметром;
– использовать понятие касательной к графику функции при решении 
задач;
– применять теорему Ньютона-Лейбница и её следствия для решения 
задач» [43];
– «свободно владеть стандартным аппаратом математического анализа 
для вычисления производных функции одной переменной;
– свободно применять аппарат математического анализа для 
исследования функций и построения графиков, в том числе исследования на 
выпуклость;
– оперировать понятием первообразной для решения задач;
– оперировать сведениями об интеграле Ньютона-Лейбница и его 
простейших применениях;
– оперировать в стандартных ситуациях производными высших 
порядков;
– применять при решении задач свойства непрерывных функций;
– применять при решении задач теоремы Вейерштрасса;
– выполнять приближённые вычисления (методы решения уравнений, 
вычисления определённого интеграла);

12 
– применять приложение производной и определённого интеграла к 
решению задач естествознания;
– владеть понятиями: вторая производная, выпуклость графика 
функции; уметь исследовать функцию на выпуклость» [43]; 
получит возможность: 
– «решать прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и 
других предметов, связанные с исследованием характеристик процессов, 
интерпретировать полученные результаты» [2, с. 13-21]. 
В методических рекомендациях по алгебре и началам математического 
анализа Фёдоровой Н.Е., Ткачёвой М.В. отмечается, что главной целью 
изучения начал математического анализа является демонстрация учащимся 
«целесообразности изучения производной, так как это необходимо при 
решении практических задач, связанных с исследованием физических 
процессов, свойств функций и построении их графиков» [59, с. 29]. 
В методических рекомендациях к учебному пособию «Алгебра и начала 
математического анализа, 11 класс» под редакцией Никольского С.М., 
Потопова М.К., Решетникова Н.Н., Шевкина А.В. указываются, что цели 
изучения темы «Применение производной» сводятся к знакомству учащихся с 
аппаратом исследования функций, приближенных вычислений [4]. 
В статье Маскаевой А.М. обосновывается изучение учащимися 
применение производной, в частности, одной из задач является необходимость 
формирования у них учебно-познавательных и социальных компетенций, 
способствующих в дальнейшем развитию профессиональных компетенций 
[39].
В статье Кузнецова С.А. «отмечается что развитие математики связано 
с огромным расширением поля ее приложений и использования 
математических методов.

13 
Поэтому, целью изучения приложения производной является 
исследование движения, непрерывно изменяющихся состояний и процессов 
через модели – функции» [30]. 
Попов Н.И., Шустова Е.Н. отмечают необходимость изучения 
применения производной, так как изучение функций, их свойств и различных 
приложений для решения прикладных задач являются важной составляющей 
не только математического образования школьников в целом, но и 
личностного развития обучаемых [50]. 
Таким образом, целями обучения учащихся решению задач на 
приложения производной являются: 
– расширение области приложений школьной математики; 
– демонстрация прикладной направленности учебного материала, с 
указанием наиболее эффективных методов приложения производной; 
– личностное развитие учащихся; 
– расширение функциональной содержательной линии. 
Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие 
задачи: 
– сформировать у учащихся шаблоны решений стандартных задач на 
применение производной, а также предоставление учащимся возможности 
трансформировать шаблоны в не стандартную ситуацию; 
– сориентировать учащихся на развитие общего умения решать задачи 
на применение производной; 
– научить учащихся переводить реальные предметные ситуации в 
математические модели, использующие понятие «производная».
Под обучением решению задач на применение производной будем 
рассматривать процедуры взаимодействия учителя и учащихся через 
проектирование содержания и выбор соответствующего методического 
инструментария, обеспечивающих овладение учащимися компонентами 
умения решать задачи определенного вида. 

14 

жүктеу/скачать 1,41 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: