Дәріс тақырыбы: Лопиталь ережесі. Туындының көмегімен функцияны зерттеу

ТЕЙЛОР ФОРМУЛАСЫ
функциясы дәрежелі көпмүшелігі болсын:
Бұл көпмүшелікті дәрежелі ( кез-келген сан) айырмасының дәрежесі 
арқылы түрлендірейік, яғни 
ты.
коэффициенттерін табу үшін (1) теңдігін 
n 
рет дифференциалдайық:
)
(
x
f
)
(
x
P
n

n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
a
x
P
х
f







2
2
1
0
)
(
)
(

n
0
x
x


0
x

)
(
x
P
n

 



n
n
n
x
x
A
x
x
A
x
x
A
A
x
P
0
2
0
2
0
1
0
)
(









(1)
n
A
A
A
A
,
,
,
,
2
1
0







1
0
2
0
3
0
2
1
3
2
)
(










n
n
n
x
x
nA
x
x
A
x
x
A
A
x
P




 

2
0
0
3
2
1
3
2
2
)
(










n
n
n
x
x
A
n
n
x
x
A
A
x
P



 
 

3
0
0
3
3
2
1
4
3
2
3
2
)
(













n
n
n
x
x
A
n
n
n
x
x
A
A
x
P

...................................................................................................
,



n
n
n
A
n
n
n
x
P
1
2
2
1
)
(
)
(






мәнін алынған теңдіктерге және (1) теңдікке қойып, мынаны аламыз:
табылған мәндерін (1) теңдігіне қойып, дәрежелі
Көпмүшелігінің дәрежесі бойынша жіктеуін аламыз: 
, яғни
0
x
x

0
0
)
(
A
x
P
n

)
(
0
0
x
P
A
n

1
0
)
(
A
x
P
n


!
1
)
(
0
1
x
P
A
n


, яғни
2
0
2
)
(
A
x
P
n


!
2
)
(
0
2
x
P
A
n


, яғни
0
0
3
2
)
(
A
x
P
n



!
3
)
(
0
3
x
P
A
n


, яғни
...................................................................................................
,
0
0
)
(
1
2
)
1
(
)
(
A
n
n
x
P
n
n




!
)
(
0
)
(
n
x
P
A
n
n
n

, яғни
n
A
A
A
A
,
,
,
,
2
1
0


n
)
(
x
P
n
0
x
x














2
0
0
0
0
0
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
x
x
x
P
x
x
x
P
x
P
x
P
n
n
n
n


n
n
n
x
x
n
x
P
0
0
)
(
!
)
(


(2)

(2) формуласы 
дәрежелі
көпмүшелігі үшін Тейлор формуласы 
деп 
аталады. 
1-мысал.
көпмүшелігін дәрежесі бойынша 
жікте.
Шешуі: , , , 
Сондықтан , , ,
Сәйкесінше
яғни
Кез келген функция үшін Тейлор формуласы
дифференциалданатын функциясын қарастырайық. Тейлор формуласы 
белгілі бір шарттарды қоя отырып, функциясын көпмүше түрінде көрсетуге және 
осы жуықтау қателегін бағалауға мүмкіндік береді.
1-теорема.
Егер функциясы нүктесінің қандай да бір маңайында 
анықталған және -ші ретті туындысы бар болса, онда кез келген 
х
үшін осы 
маңайдан 
с нүктесі табылып, келесі формула орындалады:

n
)
(
x
P
n
1
2
3
4
)
(
2
3





x
x
x
x
P
n
1

x
1
0


х
2
6
12
)
(
2





х
х
х
Р
6
24
)
(




х
х
Р
24
)
(



х
Р
10
)
1
(


Р
20
)
1
(




Р
30
)
(


х
Р
24
)
1
(




Р






3
2
1
!
3
24
1
!
2
30
1
1
20
10
)
(









x
x
x
x
P


3
2
2
3
)
1
(
4
)
1
(
15
1
20
10
1
2
3
4











х
х
х
х
х
х
)
(
x
f
y

)
(
x
f
)
(
x
f
y

0
x


1

n

(3) 
формула функциясы үшін Тейлор формуласы
деп аталады. Бұл формуланы
түрінде де жазуға болады, мұндағы 
Тейлор көпмүшелегі
деп, ал
Лагранж түрінде жазылған Тейлордың 
қалдық мүшесі 
деп аталады. -
жуық теңдігінің қателігі. Осылайша, Тейлор формуласы
функциясын қалдық мүшесінің мәніне тең сәйкес дәрежелік дәлдікпен 
көпмүшелігімен алмастыруға мүмкіндік береді. 













2
0
0
0
0
0
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f



 

1
0
)
1
(
0
0
)
(
!
1
)
(
!
)
(







n
n
n
n
x
x
n
c
f
x
x
n
x
f




1
0
,
0
0







х
х
х
с
(3)
)
(
x
f
 
)
(
)
(
x
R
x
P
x
f
n
n















2
0
0
0
0
0
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
P
n


n
n
x
x
n
x
f
0
0
)
(
!
)
(



 

1
0
)
1
(
!
1
)
(





n
n
x
x
n
c
f
)
(
x
R
n
)
(
x
R
n
)
(
)
(
x
P
x
f
n

)
(
x
f
y

)
(
x
P
y
n


болғанда Тейлор формуласының дербес жағдайы болып табылатын –
Маклорен формуласын
аламыз:
мұндағы 
с
мәні 
0
мен 
х
-тың арасында жатыр 
.
болғанда Тейлор формуласы (3) немесе
түріне, яғни ақырлы өсімшелі Лагранж формуласымен 
сәйкес. Алдында қарастырылған жуық есептеудің 
(функция дифференциалы) формуласы 
2-мысал.
е 
санының жуық мәнін 0,001 дәлдікпен табыңыз.
Шешуі: функциясының Маклорен формуласын жазайық. Осы 
функциялардың туындыларын табайық: , , .
0
0

x








0
!
1
)
0
(
)
0
(
)
(
x
x
f
f
x
f
1
)
1
(
)
(
!
)
1
(
)
(
!
)
0
(





n
n
n
n
x
n
c
f
x
n
f
(4)


1
0
,





х
с
0

n


0
0
)
(
)
(
)
(
x
x
с
f
x
f
x
f






0
0
)
(
)
(
)
(
x
x
с
f
x
f
x
f






0
0
0
)
(
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f












0
0
0
!
1
)
(
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f


n
n
x
x
n
x
f
0
0
)
(
!
)
(


х
е
x
f

)
(
х
е
x
f


)
(

,
)
(
х
е
x
f


х
n
е
x
f


)
(
)
1
(

, , , , болғандықтан, (4) 
формуласы бойынша 
қойсақ:
е 
санының жуық мәнін 0,001 дәлдікпен табу үшін қалдық мүшесі 0,001 –
ден кіші шарты бойынша ді анықтаймыз. болғандықтан, . 
Болғандықтан болғанда
Сондықтан, 
яғни, жуық мәнін аламыз.
Кейбір элементар функциялардың Маклорен формуласы бойынша жіктелуін 
келтірейік:
(4)
1
)
0
(
0


е
f
1
)
0
(
0



е
f

,
)
(
х
е
x
f


1
)
0
(
)
(

n
f
c
n
е
c
f


)
(
)
1
(
!
)
1
(
!
!
3
!
2
!
1
1
1
3
2









n
x
e
n
x
x
x
x
е
n
c
n
х

1

x
!
)
1
(
!
1
!
3
1
!
2
1
!
1
1
1








n
e
n
е
c

!
)
1
(

n
e
c

n
1
0


c
3

c
e
6

n
001
,
0
0006
,
0
5040
3
!
7



c
e











1667
,
0
5
,
0
2
!
6
1
!
5
1
!
4
1
!
3
1
!
2
1
1
1
e
718
,
2
7181
,
2
0014
,
0
0083
,
0
0417
,
0





718
,
2

e

c
n
x
n
x
x
x
x
x
n
n
n
n
cos
!
)
3
2
(
)
1
(
!
)
1
2
(
)
1
(
!
5
!
3
sin
3
2
1
1
2
5
3















c
n
x
n
x
x
x
x
n
n
n
n
cos
!
)
2
2
(
)
1
(
!
)
2
(
)
1
(
!
4
!
2
1
cos
2
2
1
2
4
2













1
1
1
3
2
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
3
2
)
1
ln(














n
n
n
n
n
c
n
x
n
x
x
x
x
x

 
1
1
2
!
1
)
1
)(
(
)
1
(
!
)
1
(
)
1
(
!
2
)
1
(
1
)
1
(


















n
n
n
x
n
c
n
x
n
n
x
x
x















Бақылау сұрақтары:
1
.Функция асимптоталары. 
2.Функция графигінің өсу, кему аралықтары. 
3.Функция графигінің дөңес, ойыс аралықтары. 
4.Функцияның кесіндідегі ең кіші, үлкен мәндері.
5.Функция графигін толық зерттеу
6.Тейлор формуласы

ҰСЫНЫЛАТЫН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.: Интеграл-
пресс, 2002.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. -М., 2004.
Рябушко А.П. Жоғары математикадан жеке тапсырмалар: 1,2,3 бөлімдер.-
Қарағанды, 2011.
Письменный Д.Т. Жоғары математикадан дәрістер жинағы: Толық курс. - М.: 
Қарағанды, 2012. - 524б.
Тутанов С.Қ., Шаихова Г.С.Жоғары математика 1,2 -бөлім. -Қарағанды, 2011.
Махмеджанов Н.М. Жоғары математика есептерінің жинағы. -Алматы, 2008. -392 
б.
Қажыкенова с.Ш, Пак Ю.Н, Шаихова Г.С. Жоғары математика курсы. - Қарағанды, 
2020. - 290б.
8.Шаихова Г.С. Төлеутаева Ж.М. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық 
есептеулрі. - Қарағанды, 2018. -98б. 
9. Дүйсек Қ.Е., Қасымбек Е.Ә. Жоғары математика. - Алматы, 2008.
10. К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. Сборник задач по 
высшей математике. АЙРИС ПРЕСС. - Москва, 2004.- 57 с.
11. Айдос Е.Ж. Жоғары математика 1. Оқулық. - Алматы. 2007ж. - 280б.
12. Айдос Е.Ж. Жоғары математика 2. Оқулық. Алматы. 2007ж.

Назар қойып 
тыңдағандарыңызға 
рахмет!