ТЕЙЛОР ФОРМУЛАСЫ функциясы дәрежелі көпмүшелігі болсын:
Бұл көпмүшелікті дәрежелі ( кез-келген сан) айырмасының дәрежесі
арқылы түрлендірейік, яғни
ты.
коэффициенттерін табу үшін (1) теңдігін
n рет дифференциалдайық:
)
(
x f )
(
x P n
n n n n x a x a x a a x P х f
2
2
1
0
)
(
)
(
n 0
x x
0
x
)
(
x P n
n n n x x A x x A x x A A x P 0
2
0
2
0
1
0
)
(
(1)
n A A A A ,
,
,
,
2
1
0
1
0
2
0
3
0
2
1
3
2
)
(
n n n x x nA x x A x x A A x P
2
0
0
3
2
1
3
2
2
)
(
n n n x x A n n x x A A x P
3
0
0
3
3
2
1
4
3
2
3
2
)
(
n n n x x A n n n x x A A x P
...................................................................................................
,
n n n A n n n x P 1
2
2
1
)
(
)
(
мәнін алынған теңдіктерге және (1) теңдікке қойып, мынаны аламыз:
табылған мәндерін (1) теңдігіне қойып, дәрежелі
Көпмүшелігінің дәрежесі бойынша жіктеуін аламыз:
, яғни
0
x x
0
0
)
(
A x P n
)
(
0
0
x P A n
1
0
)
(
A x P n
!
1
)
(
0
1
x P A n
, яғни
2
0
2
)
(
A x P n
!
2
)
(
0
2
x P A n
, яғни
0
0
3
2
)
(
A x P n
!
3
)
(
0
3
x P A n
, яғни
...................................................................................................
,
0
0
)
(
1
2
)
1
(
)
(
A n n x P n n
!
)
(
0
)
(
n x P A n n n
, яғни
n A A A A ,
,
,
,
2
1
0
n )
(
x P n 0
x x
2
0
0
0
0
0
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
x x x P x x x P x P x P n n n n
n n n x x n x P 0
0
)
(
!
)
(
(2)
(2) формуласы
дәрежелі
көпмүшелігі үшін Тейлор формуласы деп
аталады.
1-мысал. көпмүшелігін дәрежесі бойынша
жікте.
Шешуі: , , ,
Сондықтан , , ,
Сәйкесінше
яғни
Кез келген функция үшін Тейлор формуласы дифференциалданатын функциясын қарастырайық. Тейлор формуласы
белгілі бір шарттарды қоя отырып, функциясын көпмүше түрінде көрсетуге және
осы жуықтау қателегін бағалауға мүмкіндік береді.
1-теорема. Егер функциясы нүктесінің қандай да бір маңайында
анықталған және -ші ретті туындысы бар болса, онда кез келген
х үшін осы
маңайдан
с нүктесі табылып, келесі формула орындалады:
n )
(
x P n 1
2
3
4
)
(
2
3
x x x x P n 1
x 1
0
х 2
6
12
)
(
2
х х х Р 6
24
)
(
х х Р 24
)
(
х Р 10
)
1
(
Р 20
)
1
(
Р 30
)
(
х Р 24
)
1
(
Р
3
2
1
!
3
24
1
!
2
30
1
1
20
10
)
(
x x x x P
3
2
2
3
)
1
(
4
)
1
(
15
1
20
10
1
2
3
4
х х х х х х )
(
x f y
)
(
x f )
(
x f y
0
x
1
n
(3)
формула функциясы үшін Тейлор формуласы деп аталады. Бұл формуланы
түрінде де жазуға болады, мұндағы
Тейлор көпмүшелегі деп, ал
Лагранж түрінде жазылған Тейлордың
қалдық мүшесі деп аталады. -
жуық теңдігінің қателігі. Осылайша, Тейлор формуласы
функциясын қалдық мүшесінің мәніне тең сәйкес дәрежелік дәлдікпен
көпмүшелігімен алмастыруға мүмкіндік береді.
2
0
0
0
0
0
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
x x x f x x x f x f x f
1
0
)
1
(
0
0
)
(
!
1
)
(
!
)
(
n n n n x x n c f x x n x f
1
0
,
0
0
х х х с (3)
)
(
x f
)
(
)
(
x R x P x f n n
2
0
0
0
0
0
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
x x x f x x x f x f x P n
n n x x n x f 0
0
)
(
!
)
(
1
0
)
1
(
!
1
)
(
n n x x n c f )
(
x R n )
(
x R n )
(
)
(
x P x f n
)
(
x f y
)
(
x P y n
болғанда Тейлор формуласының дербес жағдайы болып табылатын –
Маклорен формуласын аламыз:
мұндағы
с мәні
0 мен
х -тың арасында жатыр
.
болғанда Тейлор формуласы (3) немесе
түріне, яғни ақырлы өсімшелі Лагранж формуласымен
сәйкес. Алдында қарастырылған жуық есептеудің
(функция дифференциалы) формуласы
2-мысал. е санының жуық мәнін 0,001 дәлдікпен табыңыз.
Шешуі: функциясының Маклорен формуласын жазайық. Осы
функциялардың туындыларын табайық: , , .
0
0
x
0
!
1
)
0
(
)
0
(
)
(
x x f f x f 1
)
1
(
)
(
!
)
1
(
)
(
!
)
0
(
n n n n x n c f x n f (4)
1
0
,
х с 0
n
0
0
)
(
)
(
)
(
x x с f x f x f
0
0
)
(
)
(
)
(
x x с f x f x f
0
0
0
)
(
)
(
)
(
x x x f x f x f
0
0
0
!
1
)
(
)
(
)
(
x x x f x f x f
n n x x n x f 0
0
)
(
!
)
(
х е x f
)
(
х е x f
)
(
,
)
(
х е x f
х n е x f
)
(
)
1
(
, , , , болғандықтан, (4)
формуласы бойынша
қойсақ:
е санының жуық мәнін 0,001 дәлдікпен табу үшін қалдық мүшесі 0,001 –
ден кіші шарты бойынша ді анықтаймыз. болғандықтан, .
Болғандықтан болғанда
Сондықтан,
яғни, жуық мәнін аламыз.
Кейбір элементар функциялардың Маклорен формуласы бойынша жіктелуін
келтірейік:
(4)
1
)
0
(
0
е f 1
)
0
(
0
е f
,
)
(
х е x f
1
)
0
(
)
(
n f c n е c f
)
(
)
1
(
!
)
1
(
!
!
3
!
2
!
1
1
1
3
2
n x e n x x x x е n c n х
1
x !
)
1
(
!
1
!
3
1
!
2
1
!
1
1
1
n e n е c
!
)
1
(
n e c
n 1
0
c 3
c e 6
n 001
,
0
0006
,
0
5040
3
!
7
c e
1667
,
0
5
,
0
2
!
6
1
!
5
1
!
4
1
!
3
1
!
2
1
1
1
e 718
,
2
7181
,
2
0014
,
0
0083
,
0
0417
,
0
718
,
2
e
c n x n x x x x x n n n n cos
!
)
3
2
(
)
1
(
!
)
1
2
(
)
1
(
!
5
!
3
sin
3
2
1
1
2
5
3
c n x n x x x x n n n n cos
!
)
2
2
(
)
1
(
!
)
2
(
)
1
(
!
4
!
2
1
cos
2
2
1
2
4
2
1
1
1
3
2
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
3
2
)
1
ln(
n n n n n c n x n x x x x x
1
1
2
!
1
)
1
)(
(
)
1
(
!
)
1
(
)
1
(
!
2
)
1
(
1
)
1
(
n n n x n c n x n n x x x
Бақылау сұрақтары: 1
.Функция асимптоталары. 2.Функция графигінің өсу, кему аралықтары. 3.Функция графигінің дөңес, ойыс аралықтары. 4.Функцияның кесіндідегі ең кіші, үлкен мәндері. 5.Функция графигін толық зерттеу 6.Тейлор формуласы
ҰСЫНЫЛАТЫН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.: Интеграл-
пресс, 2002.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. -М., 2004.
Рябушко А.П. Жоғары математикадан жеке тапсырмалар: 1,2,3 бөлімдер.-
Қарағанды, 2011.
Письменный Д.Т. Жоғары математикадан дәрістер жинағы: Толық курс. - М.:
Қарағанды, 2012. - 524б.
Тутанов С.Қ., Шаихова Г.С.Жоғары математика 1,2 -бөлім. -Қарағанды, 2011.
Махмеджанов Н.М. Жоғары математика есептерінің жинағы. -Алматы, 2008. -392
б.
Қажыкенова с.Ш, Пак Ю.Н, Шаихова Г.С. Жоғары математика курсы. - Қарағанды,
2020. - 290б.
8.Шаихова Г.С. Төлеутаева Ж.М. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық
есептеулрі. - Қарағанды, 2018. -98б.
9. Дүйсек Қ.Е., Қасымбек Е.Ә. Жоғары математика. - Алматы, 2008.
10. К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. Сборник задач по
высшей математике. АЙРИС ПРЕСС. - Москва, 2004.- 57 с.
11. Айдос Е.Ж. Жоғары математика 1. Оқулық. - Алматы. 2007ж. - 280б.
12. Айдос Е.Ж. Жоғары математика 2. Оқулық. Алматы. 2007ж.