1-теорема. (экстремумның қажетті шарты). Егер
дифференциалданатын функциясының нүктесінде экстремумы бар болса, оның
осы нүктедегі туындысы нөлге тең: .
Үзіліссіз функцияның тек туындысы нөлге немесе туындысы болмайтын
нүктелерінде ғана экстремумы болады. Функцияның туындысын нөлге
айналдыратын немесе туындысы болмайтын
х аргумнтінің мәндерін
күдікті нүктелер деп атайды.
2-теорема. (Экстремумның жеткілікті шарты). Егер функциясы
күдікті нүктесінің қандайда бір
маңайында дифференциалданатын болса және
ол нүктеден өткенде (солдан оңға) туындысының таңбасы плюстен минусқа
ауысса, - максимум нүкте, таңбасы минустан плюске ауысса, - минимум
нүктесі болып табылады.
3-теорема. Егер нүктесінде функциясының бірінші туындысы нөлге тең
, ал нүктесіндегі екінші туындысы бар болса және нөлге тең болмаса
, онда болғанда нүктесінде функцияның максимумы, ал
болғанда минимумы болады.
)
(
x f y
0
х 0
)
(
0
x f )
(
x f y
0
х
)
(
x f
0
х 0
х )
(
x f
0
)
(
x f 0
х
0
)
(
x f 0
)
(
0
x f 0
х 0
)
(
0
x f 0
х
