ОҚулық Екінші басылым. Өңделген Алматы, 2012 2 Əож 53 (075. 8) Кбж 22. 3 я 73 Т90

297 
1
0
( )
l
f z dz
= Ω
∫
                                        (4)
12-сурет
Екінші  интегралдың  мəні - жоғарыда  айтылған  ауданның (W) 
статикалық моменті, яғни
( )
1
.
0
ñ ö
z f z dz
z
⋅
= Ω ⋅
∫
l
                          (1.30)
Мұндағы  z
сц
-бірінші  эпюраның  салмақ  центрінің  координаты. 
Осыларды ескере отырып интегралды алуға болады.                                    
1
1
1
0
0
0
(
) ( )
( )
( )
l
l
l
ɧɬ
U
a bz f z dz a f z dz b z f z dz
 

 

˜
³
³
³
   
      (1.31)
Сонымен, екі функцияның көбейтіндісінен интеграл алу үшін, екі 
функцияның эпюраларын бір-біріне көбейту керек. Толық айтқанда, 
қисық  сызықты  функцияның  эпюрасының  ауданын  түзу  сызықты 
функцияның  ординатасына  көбейтеміз.  Бұл  ордината  бірінші 
функцияның эпюрасының салмақ центріне сəйкес болады. Егер екі 
эпюра  да  түзу  сызықты  болса,  онда  қай  ауданды,  қай  ординатаға 

298
көбейту  басты  мəселе  емес.  Біреуінің  ауданын  басқасының 
ординатасына көбейтсе болғаны. Тек, көбейтілетін ордината, ауданы 
алынып  отырған  эпюраның  салмақ  центрінің  астына  дəл  келсе 
болғаны.  Сонымен,  Верещагин  тəсілінің  негізгі  ерекшелігі,  Мор 
интегралдарын графикалық əдіспен алу болып табылады, яғни
.
1
....
N
ɫ ɰ
i
y
EI
G
:
˜
 

                                 (1.32)
Бұл  тəсілмен  орын  ауыстыруды  табу  үшін,  қандай  ішкі  күштер 
ескерілетінін  анықтап  алу  керек.  Бұдан  бұрынғы  параграфтарда 
көрсетілгендей, ішкі күштердің барлығының əсері  бірдей болмайды, 
олардың  біреуі  орын  ауыстыруға  көп  ықпал  етсе,  кейбіреулерінің 
ықпалын ескермеуге де болады.
Ішкі күштерді анықтап алғаннан кейін:
1.  Берілген сыртқы күштерден пайда  болатын, ескеруге қажет 
ішкі күштердің эпюрасы тұрғызылады.
2.  Берілген  сыртқы  күштердің  барлығы  алынып  тасталып, 
қарастырылып  отырған  конструкция  бірлік  күшпен  жүктеледі.  Ол 
күш  орын  ауыстыруы  ізделіп  отырған  қимаға  түсіріледі.  Бірлік 
күштің бағыты орын ауыстырудың мүмкін бағытын көрсетеді.
3. Сыртқы күштер эпюрасы бірлік күштің эпюрасымен, жоғарыда 
айтылғандай,  көбейтіледі.  Көбейтіндінің  таңбасы  эпюралардың 
қалай  орналасқанына  байланысты  анықталады.  Егер,  көбейтіліп 
отырған  эпюралар  конструкция  осінің  бір  жағында  жатса, 
көбейтіндінің таңбасы оң (+), ал олар осьтің екі жағында жатса, онда 
таңба теріс (-) болады.
1-есеп:  Берілген  арқалықтың  С  қимасының  орын  ауыстыруын 
Верещагин  тəсілімен,  табу  керек  болсын (13,а-сурет).  Алдымен, 
берілген күштерден ию моменттің эпюрасын тұрғызамыз (13,б-сурет). 
Одан кейін, сыртқы күштерді алып тастап, орын ауыстыруы ізделіп 
отырған қимаға бірлік күшті түсіреміз (13,в-сурет). Осы жүктемеден 
эпюра  тұрғызамыз (13,г-сурет).  Тұрғызылған  екі  эпюраны  бір-
бірімен көбейтердің алдында, оларды мұқият зерттеп алу керек.    

299 
13-сурет
Бірлік  күштің  эпюрасын  екі  аралыққа  бөлеміз,  өйткені  ол  С 
нүктесінде «сынып» өзінің бағытын өзгертіп тұр. Ал, берілген күштің 
эпюрасы үш аралыққа бөлінеді, олар – А нүктесінен бірінші күшке 
дейін;  екі  күштің  арасы  жəне  екінші  күштен  В  нүктесіне  дейінгі 
аралық. Екі эпюраны біріктіріп қарасақ, оларды онда бұларды өзара 
көбейту үшін төрт аралыққа бөлу қажет, олар А   нүктесінен бірінші 
күшке  дейін;  бірінші  күштен  С  нүктесіне  дейін;  С  нүктесінен 
екінші күшке дейін жəне  бұл күштен В нүктесіне  дейінгі  аралық. 
Эпюралар С нүктесінен қарағанда симметриялы болғандықтан АС 
аралығын бір-біріне көбейтеміз де, алынған нəтижені екі еселейміз.
Сонымен,  үшбұрыштың  ауданы – 
1
2
a
P a
⋅
,  оған  көбейтілетін 
ордината –
1
1
3
y
a
=
; төртбұрыштың ауданы – 
a
P a
⋅
, ал ордината – 
2
0,75
y
a
=
.

300
3
3
2 1
1
2 5,5
5,5
0,75
2
3
6
192
ɫ
Pa
Pl
Pa a
a Paa
a
EI
EI
EI
G
˜
ª
º
 
˜ ˜

˜
 
 
«
»
˜
¬
¼
. 
2-есеп.  Қарқындылығы  тұрақты  таралған  күшпен  жүктелген 
арқалықтың  С  қимасының  орын  ауыстыруларын  (сызықтық  жəне 
бұрыштық) табу керек (14-сурет). 
14-сурет
Өткен  есептегідей,  берілген  күштен  пайда  болатын,  ию 
моментінің  эпюрасын  тұрғызамыз (14,а-сурет).  Арқалықты  бірлік 
күшпен  жүктеп (14,б-сурет),  одан  пайда  болатын  ию  моментінің 
эпюрасын тұрғызамыз (14,в-сурет). Қисық үшбұрыштың ауданы:
2
4
1
3 2
6
q
q
⋅
⋅ =
l
l
l
.
Бұл  үшбұрыштың  салмақ  центрінің  астындағы  бірлік  күштен 
пайда болған эпюраның ординатасы 
3
4
y
= l
.

301 
Бұларды өзара көбейтіп, қатаңдыққа бөлгеннен кейін сызықтық 
орын ауыстыру табылады, яғни
3
4
3
6
4
8
c
ql
ql
l
EI
EI
δ =
⋅
=
⋅
⋅
.
Енді қиманың бұрылу бұрышын табамыз, ол үшін, конструкцияның 
қатаңдығы  тұрақты (EJ=сonst)  екенін  ескере  отырып,  сол  қимаға 
бірлік  момент  түсіреміз (14,в-сурет).  Бірлік  моменттің  бағыты 
қиманың  бұрылу  бағытын  көрсетеді.  Егер  оның  бұрылу  бағыты 
дұрыс жорамалданбаған болса, онда есептің шешімі теріс таңбамен 
шығады. Эпюралар бір-бірімен көбейтілгенде, əр аралықтағы эпюра 
өзіне сəйкес аралықтың эпюрасымен көбейтіледі.
Қарастырылып  отырған  есепте  АВ  жəне  ВД  аралықтарындағы 
эпюралар ғана көбейтіледі.
- 
AB
 аралығында -  
1
1
,
2
Pl l
Ω =
⋅
1
1;
y
=
- 
BD
 аралығында  -  
2
,
Pl l
Ω =
⋅
2
1
y
=
Қиманың бұрылу бұрышы: 
2
1 1
1,5
1
1
2
c
Pl
Pl l
Pl l
EI
EI
θ
⎛
⎞
=
⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ =
⎜
⎟
⎝
⎠
.

302
III. БҰРАЛУ ДЕФОРМАЦИЯСЫНЫҢ 
КЕЙБІР ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ
Техниканың,  оның  ішінде  авиацияның  жеделдеп  дамуы 
инженерлік конструкцияда жұқа қабырғалы сырықтарды қолданудың 
маңызының өте зор екенін көрсетіп отыр. Бұл кезде конструкцияның 
салмағы көп жеңілдейді жəне материал экономиясы да аз болмайды.
Жұқа  қабырғалы  сырықтарды  техникада  пайдалану  есептеу 
тəсілдерінің дамуына əсерін тигізіп, көлденең қимасы дөңгелек емес 
сырықтарды есептеудің (еркін бұралу) теориясы пайда болды. Бұл 
тарауда, аталған теорияның кейбір ерекшеліктеріне тоқталамыз. 
§1. Қимасы дөңгелек емес   сырықтардың  бұралуы туралы                               
Қимасы дөңгелек емес элементтердің бұралуы да тəжірибеде жиі 
кездесiп тұрады. 
15-сурет 
Мұндай  элементтердің  қимасы  деформацияланған  кезде  жа зық 
күйiнде қалмайды (15-сурет) яғни, бұл жағдайда Бернулли гипотезасын 
қолдануға  болмайды.  Сондықтан,  мұндай  есептердің  шешімін 
серпімділік  теориясы  арқылы  алуға  болады,  ал  бұл  пəнде  есептердің 
дайын  формулалары  ғана  беріледі.  Мысалы,  қимасы  төрт  бұрыш 
элементтер үшiн
max
K
M
W
δ
τ
=
,                                                                  
K
M
G J
δ
φ
⋅
=
⋅
l
.                                                         
x
I
 жəне 
k
W
келтірілген инерция моменті жəне келтірілген  қарсыласу 
моменті. Бұл шамалар төмендегі формулалардан табылады.  

303 
K
J
a b
β
= ⋅ ⋅
3
,                                                        
2
K
W
a b
α
= ⋅ ⋅
 .                                                        
Мұндағы 
α
  жəне 
β
 – төртбұрыштың  қабырғаларының 
қатынастарына тəуелдi коэффициенттер, ал 
b
 -  сол төртбұрыштың 
кіші қабырғасының шамасы. 
 
16-сурет
Параграфтың  соңында,  серпімділік  теориясының  тəсілі  арқылы 
алынған,  жанама  кернеудің  төртбұрышты  қиманың  бетінде  таралу 
эпюрасын көрсете кетейік (16-сурет). Бұл жердегі 
η
 - төртбұрыштың 
қабырғаларының  қатынастарына  тəуелді  коэффициент.  Бұл  коэф-
фициенттердін шамалары  төмендегі кестеде келтірілген.     
                                                                                                  1-кесте
а/в
1
1,5 1,75
2
2,5
3
4
6
8
10
∞
α
0,21 0,23 0,24 0,25 0,26
0,26 0,28 0,30 0,31 0,313 0,333
β
0,14 0,20 0,21 0,23 0,25
0,26 0,28 0,30 0,31 0,313 0,333
η
1,00 0,86 0,82 0,80 0,77
0,75 0,75 0,74 0,74 0,742 0,742
§2. Иірілген сырықтардың орын ауыстыруы жəне кернеулер 
Иірілген  серіппелер  негізінен  сығылып (17,а-сурет)  немесе 
созылып (17,б-сурет) жəне бұралып (17,в-сурет) жұмыс істейді.

304
Алдымен созылып немесе сығылып жұмыс істейтін серіппелерді 
қарастырайық. 
Созылып тұрған серіппенің кез келген жерінен тілік жүргізіп, оны 
екіге  бөлейiк.  Бір  бөлігін  (астыңғы)  алып  тастап,  қалған  бөлігінің 
статикалық  тепе-теңдігін  қарастырайық (18-сурет).  Серіппенің 
кез келген көлденең қимасында Р күшімен 
2
PD
M
=
 моменті пайда 
болады (18,а-сурет). 
17-сурет
Момент пен күшті oсьтерге проекциялаймыз, сонда      
                         
1
,
2
D
M
P
Cos
δ
α
= ⋅
         
1
;
2
u
D
M
Sin
α
=
1
,
Q
P Cos
α
= ⋅
         
N
P Sin
α
= ⋅
.                (1.33)
        
        
 
18-сурет  

305 
Серіппенің ұзаруын немесе отыруын (l) табу үшін Мор интегралын 
қолданамыз.  Сондықтан,  серіппені  бірлік  күшпен  жүктеп,  ішкі 
күштердi табамыз.
                  
1
2
D
M
Cos
δ
α
=
,       
1
,
2
u
D
M
Sin
α
=
1
,
Q
Cos
α
=
1
N
Sin
α
=
.                            (1.34)
Созылу  мен  сығылудағы  секілді  серіппенің  ұзаруына  немесе 
отыруына  негізгі  ықпал  етуші  бұрау  моменті  болғандықтан  төрт 
интегралдың орнына бір интегралды қолдансақ болғаны.
1
k
l
M M
dz
G I
δ
δ
λ
⋅
=
⋅
∫
.                                  (1.35)
Шамамен Cosa »1 деп алып үшiншi интегралды аламыз.
2
3
4
4
k
K
PD
PD
l
n
GI
GI
π
λ =
=
.                           (1.37)
Бұл  жердегі 
D n
π
≈ ⋅ ⋅
l
 - серіппенің  негізгі  жұмыс  бөлігінің 
ұзындығы, n - орам саны. Егер серіппе көлденеңі дөңгелек сымнан 
жасалса, онда 
4
32
K
p
d
I
I
π
=
=
 болғандықтан,
3
4
8PD n
Gd
λ =
.                                       (1.38)
Созылып немесе сығылып тұрған серіппенің сымына негізінен – 
бұрау моменті əсер ететін болғандықтан,
max
2
K
K
M
PD
W
W
δ
τ
=
=
.                                (1.39)
Тұтас дөңгелек қима үшін
max
3
8
p
M
PD
W
d
δ
τ
π
⋅
=
=
.                                 (1.40)
Енді  бұралып  жұмыс  істейтін  серіппелерге  көшейік.  Бұралып 
жұмыс  істейтін  серіппелердің  қималарында  толық  М=m  моменті 
пайда болады (19-сурет).
20–661

306
Бұл моменттi осьтерге проекциялаймыз. Сол кезде
,
u
M
m Cos
α
= ⋅
       
M
m Sin
δ
α
= ⋅
.       (1.41)
Серiппенi бiрлiк моментпен жүктеген кезде
1
u
M
Cos
α
=
,    
1
M
Sin
δ
α
=
.                (1.42)
Бұл  өрнектердегі a бұрышының  аздығынан  бұрау  моментiнiң 
ықпалын  ескермеймiз  де,  бұралу  бұрышын  ию  моментi  арқылы 
табамыз.
1
1
U
y
y
M
M
m
dz
EJ
EJ
δ
φ
⋅
⋅
=
=
∫
l
.                 (1.43)
    
    
 
19-сурет    
Өткен жолғыдай, бұл жерде де сosa»1 деп қабылданды. Серiппе 
сымының ұзындығын ескерсек
y
m D
n
EJ
π
φ =
.                               (1.44)
Ию кезiндегi ең үлкен кернеу
max
x
m
W
σ
=
.                                (1.45)
§3. Жұқа қабырғалы   сырықтарды есептеудің негізі туралы 
Жұқа қабырғалы конструкциялардың жаңа түрлерін тəжірибеде 

307 
пайдалану  негізінде,  оларды  есептеудің  жаңа  əдістемелері 
өмірге  келді.  Бұл  теорияны  дамытуда  көп  еңбек  сіңіріп,  үлкен 
жетістіктерге  жеткен  совет  ғалымы  В.З.Власов  екенін  атап 
өткен  жөн.  Сонымен  қатар,  жұқа  қабырғалы  конструкцияларды 
есептеудің  теориясын  одан  əрі  дамытуға  ат  салысып,  үлкен 
жетістіктерге  ие  болған  ғалымдар:  А.А.Уманский,  Д.В.Бычков,  
А.Ржаницын жəне тағы басқалар.
Қазіргі  кезде,  жұқа  қабырғалы  конструкцияларды  есептеудің 
негізгі  теориясының  қабырғасы  толығынан  қаланды  деуге  болады 
жəне  ғылымның  бұл  саласы  құрылыс  механикасының  негізгі  бір 
бөлімі болып табылады.
3.1.Еркін жəне қысылысып бұралу туралы түсінік.   
А.  Еркін  бұралу.  Осы  тараудың  бірінші  параграфында 
қарастырылған,  қимасы  дөңгелек  емес  сырықтың  бұралуы,  еркін 
бұралуға  жатады.  Сонымен,  иілу  деформациясы  пайда  болмайтын 
бұралудың  түрі – қысылыспайтын  еркін  бұралу  деп  аталады. 
Эксперимент  арқылы  жəне  теориялық  зерттеулердің  нəтижесі 
көрсеткендей,  сырықтың  бекітілуімен  жүктелуінің  ерекшеліктері 
қималардың еркін депланациялануына бөгет болмаса, онда мұндай 
бұралу кезінде сырық иілмейді. Демек бұл жағдайда: 
а)  барлық  қималарда  жанама  кернеулердің  шамасы  тұрақты 
болады,
б) сырықтың қималарының бойлық бағыттағы ара-қашықтықтары 
өзгермейді,
в) қималарда тік кернеулер пайда болмайды.
Б. Қысылысып бұралу. Егер сырықтың кем дегенде бір қимасының 
еркін  депланациялануына  бөгет  болатын  жағдай  туындаса  немесе 
кейбір  қималардың  депланацияланулары  əртүрлі  болса,  онда 
қысылысып  бұралу  пайда  болады.  Қысылысып  бұралудың  кейбір 
гипотезалары:
а) 
сырықтың 
көлденең 
қимларының 
пішіні 
(контур) 
деформацияланбайды,
б)  сырықтың  орталық  бетінің  материалы  ығысу  нəтижесінде 
өзгермейді жіне т.б.

308
3.2.Қысылысып бұралу кезінде туындайтын кернеулер.
Жұқа қабырғалы сырықтардың деформациялану ерекшеліктерін 
қарастыру  үшін,  қоставрдың  иіліп-бұралуын  зерттегенде,  олардың 
қималарында  кернеулердің  үш  тобы  туындайтыны  белгілі  болды. 
Олар
а) «таза бұралудан» туындайтын жанама кернеу - 
k
k
k
M
I
δ
τ
⋅
=
,
б)  көлденең  күштен  туындайтын  қосымша  жанама  кернеу 
(секториалды жанама кернеу) - 
ω
τ
. 
в) секториалды тік кернеу) - 
ω
σ
.
Қысылысып  бұралуды  зерттеген  ғалымдар:  С.П.  Тимошенко 
(1905ж.),  Губер (1924), Б.Г.  Галеркин (1927), Вагнер (1928), П.М. 
Знаменский (1934), Л.С. Лейбензон (1935) жəне тағы басқалар.
IV. МОР ТЕОРИЯСЫ
Оқулықтың 9-тарауында  созылымдылық  түсінігін  қолданып, 
бірнеше  беріктік  теорияларын  қарастырғанда,  тəжірибеден 
жинақталған  мəліметтерді  жүйелеу  арқылы  тағы  бір  беріктік 
теориясын тұжырымдауға болатынын неміс ғалымы Мор көрсеткенін 
айтқанбыз. 
Осы  оқулықтың 8-тарауында  жазық  кернелген  күй  үшін 
қорытылып шығарылған  мына формулаларға көңiл бөлейiк.
1
3
1
3
2
2
2
Cos
σ σ
σ σ
σ
α
+
−
=
+
,           (1.46)
1
3
2
2
Sin
σ σ
τ
α
−
=
.                           (1.47)
Енді (1.46) формуладағы  (
1
3
2
σ σ
+
)  мəнін  теңдіктің  сол  жағына 
шығарып, екі формуланың теңдіктерінің оң жəне сол жақ мəндерін 
квадраттау арқылы a бұрышынан құтылуға болады.
2
2
2
1
3
1
3
2
2
σ σ
σ σ
σ
τ
+
−
⎛
⎞
⎛
⎞
−
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
.               (1.48)
Бұл өрнектің σ жəне t жүйелеріндегі шеңбер теңдеуі екені, оның 

309 
центрі координата басынан  (
1
3
2
σ σ
+
) қашықтықта жатқаны, теңдеуден 
айқын  көрініп  тұр (20-сурет).  Бұл  шеңбер  Мор  шеңбері  немесе 
кернелген күйдің шеңбер диаграммасы деп аталады.
Үлгіні кез келген кернелген күйде сынай алатын жəне кернеулерді 
пропорционал түрде өзгертіп отыратын сынақ машинасы бар болсын. 
Осы  машинаның  көмегімен,  белгілі  бір  кернелген  күйді  таңдап 
алып,  оның  кернеулерін  біртіндеп  өзгерте  бастайық.  Ерте  ме,  кеш 
пе, əйтеуір, бір уақытта қауіпті жағдай туып, үлгі не созылымдылық 
күйге жетеді, не қирайды.
20-сурет  
Осы күйге сəйкес келетін Мор шеңберін σ жəне t жазықтығында 
сызамыз (21,а-сурет). Осы материалдан жасалған келесі үлгіні, басқа 
бір кернелген күйде сынап, оны да қауіпті жағдайға жеткiземiз. Бұл 
күй үшiн де Мор шеңберiн сызамыз (21,б-сурет).
21-сурет

310
Сынақты  осылай  жүргiзе-жүргiзе,  зерттелiп  отырған  материал 
үшiн  жеткілікті  түрде  шеңберлер  жүргiземiз  де,  оларды  σ  жəне t 
жазықтығында,  бір  жүйеде  көрсетемiз (22-сурет).  Шеңберлердiң 
ең  жоғарғы  нүктелерi  арқылы  өтетiн  қоршау  сызығын  жүргiземiз. 
Бұл  қоршау  сызық  σ
2
  кернеуiне  тəуелдi  емес  жəне  бұдан  басқа 
ешқандай  да  қоршау  сызығын  жүргiзуге  болмайды  деген  жорамал 
қабылдаймыз.
Қоршау  сызығының  көмегімен,  материалда  қауіпті  жағдай  туу 
үшін σ
1
 жəне σ
3
 кернеулерін   неше есе үлкейтуге болатынын, яғни 
қор  коэффициентін  табуға  болады.  Ол  үшін  берілген  кернелген 
күйдің  Мор  шеңберінің  ең  үлкенін  сызып,  оның  кернеулерін  неше 
есе  үлкейткенде,  бұл  шеңбер  қоршау  сызығымен  жанасатынын 
тапса болды.
22-сурет
Мор  шеңберлерінің  қоршау  сызығының  пішіні,  материалдың 
қасиетіне тəуелді екенін айта отырып, одан бұл материал үшін тағы 
бір механикалық сипаттамасы болып табылатынын атап айтқан жөн.
Қазіргі  кезде  кернелген  күйдің  барлық  түрлерінің  моделін 
жасайтын сынақ машинасы жоқ болғандықтан, созылу мен сығылу 
шеңберлерін  қолданамыз  жəне  қоршау  сызығы  түзу  сызық  деп 
қарастырамыз.  Келтірілген  суретте,  созылу  жəне  сығылудың  ең 
үлкен  шеңберлеріне 
D
  жəне 
K
      нүктелерінде  жанама  болатын 
қоршау сызығы жүргізілген (23-сурет).
Ең  үлкен  (σ
1
)  жəне  ең  кіші  (σ
3
)  бас  кернеулері  берілген,  белгілі 
бір  кернелген  күйдің  Мор  шеңберін (23-сурет)  тұрғызайық.  Егер 
бұл кернелген күйдің барлық құраушыларын n есе үлкейтсек (n-қор 
коэффициенті),  онда  материалдың  қауіпті  күйіне  сəйкес  шеңбер 
пайда болады, ол С нүктесінде қоршау сызығымен жанасады.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: