§2.  Ию  моменті,  көлденең  күш  жəне  таралған  күштің

110
орналасқандықтан,  ондағы  ішкі  күштер  аз  шамаға  өзгереді,  яғни: 
Q+dQ   жəне    М+dM болады. Сонымен қатар, қаралып отырған эле-
ментар  бөлікке  əсер  етіп  тұрған  таралған  күштің  қарқындылығын 
тұрақты деп алуға əбден болады, яғни  q = const (84,б-сурет).
Енді  ұзындығы dz осы  элементар  бөліктің  теңдік  күйін 
қарастырайық.
0,
y
Σ =
   
(
) 0
Q g dz
Q dQ
+ ⋅ −
+
=
    
⇒
  
dQ qdz
=
.
Теңдiктiң екi жағын dz-ке бөлгеннен кейін
dQ
q
dz
=
                                            (7.1)
Бұл  теңдіктен,  көлденең  күштiң  бірінші  туындысы,  таралған 
күштің қарқындылығын көрсететінін айқындадық.
2
0
( )
0,
(
) 0
2
dz
M
M Q dz q
M dM
Σ
=
+ ⋅ +
−
+
=
Бұл теңдіктегі 
2
( )
2
dz
q
- жоғары дəрежедегi аз шама болғандықтан, 
оны есепке алмауға болады. Онда:
,
.
dM
Q dz dM
Q
dz
⋅
=
=
                       (7.2)
Сонымен, көлденең күш (Q), июші моменттің бірінші туындысы 
екеніне  көзіміз  жетеді.  Соңғы  теңдіктің  екі  жағын  да 
z
  бойынша 
дифференциалдап, оны (7.1) теңдікке қоямыз:
2
2
d M
q
dz
=
.                                                 (7.3)
Бұл  теңдік  ию  моментінің  екінші  туындысы - таралған  күштің 
қарқындылығы екенін көрсетеді. Осы алынған үш дифференциалдық 
тəуелділіктерді  пайдалана  отырып,  июші  момент  пен  көлденең 
күштің эпюраларының дұрыстығын тексеруге болады.

111 
§ 3. Таза иілудегі кернеу
Жоғарыда айтылғандай, таза иілу кезінде арқалықтың қимасында 
көлденең  күш  болмайды,  яғни Q=0. Осындай  таза  иіліп  тұрған 
арқалықты алып қарайық (85-сурет). Бұл арқалықты, оң жақ шеткі 
қимадан 
z
 қашықтықта кесейік. Сол жақтағы бөлікті алып тастап, 
қалған бөліктің (86-сурет) статикалық теңдігін қарастырамыз.
Осы  оқулықтың 6-шы  тарауынан  белгілі  статиканың  алты 
теңдеуін  құрайық.
1) 
0.
x
Σ =
2) 
0.
y
Σ =
dN күші де, июші момент те (М) бұл осьтерге проекцияланбайды, 
сондықтан   0=0;
85-сурет  
3)     
0.
z
6  
 
Ÿ
  
0
dN  
 
Ÿ
  
dN
dȺ
V
 
˜
 
A
N
dȺ
V
 
˜
³
             
  болғандықтан  
                                                 (7.4)

112
 
86-сурет
4)
0
y
M
Σ
=
.            
0
dN x
⋅ =
             
0
A
x
dA
σ ⋅
=
∫
                          (7.5)
5)
0
x
M
Σ
=
.            
dN y M
⋅ =
            
A
y
dA M
σ ⋅
=
∫
                        (7.6)
6) 
0
z
M
Σ
=
. 
Соңғы теңдеу де теңбе-теңдiкке айналады, яғни 0 º 0. Соны-
мен,  қарастырылған  есеп,  статикалық  анықталмайтын  болып 
шықты.
Енді  арқалықтың  деформацияланған  күйін  қарастырамыз. 
Ол  үшін,  бұл  арқалықтан,  ұзындығы dz элемент  бөліп  аламыз 
да,  осы  элементтің  иілген  (деформацияланған)  түрін (87-сурет) 
көрсетеміз.
Арқалықтың  кез  келген  қимасында  тек  ию  моменті  пайда 
болатындықтан, таза иілу кезінде біртекті сырықтың осі шеңбер 
болып иіледі. Сондықтан, таза иілуге жазық қималар жорамалын 
(гипотеза) қолдануға болады, демек, көлденең қималар деформа-
цияланбай, тек белгілі бір бұрышқа бұрылады деп тұжырымауға 
болады.

113 
 
87-сурет   
Осыған  байланысты,  қарастырылып  отырған,  ұзындығы dz 
 
элементтің, үстіңгі қабаттары ұзарады  да, астыңғылары қысқарады. 
Мұның  өзі,  үстіңгі  қабат  пен  астыңғы  қабаттардың  арасында  не 
ұзарып,  не  қысқармайтын  қабат  бар  екенін  көрсетеді.  Мұндай 
қабат бейтарап (нейтрал) қабат деп аталады. Ал, бейтарап қабаттың 
көлденең  қимамен  қиылысу  сызығы  (х-х)  бейтарап  сызық  немесе 
бейтарап ось деп аталады. Бейтарап қабат 87-суретте 
CD
 доғасымен 
көрсетiлген. Оның қисықтығы:
1
d
dz
θ
ρ
=
                                                 (7.7)
Бейтарап  қабаттан  (СД)  у  қашықтықта  жатқан  кез  келген  АВ 
қабатының  деформациясын  табайық.  Бұл  кесiндiнiң  деформацияға 
дейiнгi  ұзындығы dz-ке  тең  болатын,  ал  деформацияланғаннан 
кейiнгi ұзындығы АВ = (ρ+y)dθ. Осы АВ қабатының ұзаруы:
(
)
(
)
;
AB dz
y d
dz
y d
d
l
y d
ρ
θ
ρ
θ ρ θ
θ
Δ =
−
=
+
−
=
+
−
⇒ Δ = ⋅
l
Бұл қабаттың деформациясы:
8–661

114
yd
y
dz
d
θ
ε
ρ θ
ρ
Δ
=
=
=
l
                                       (7.8)
Гук заңын қолданып, кез-келген қабаттағы кернеудi табамыз.
y
E
E
σ
ε
ρ
=
=
                                             (7.9)
Табылған кернеудi iшкi күш – ию моментi арқылы өрнектеу үшiн, 
(7.4), (7.5), (7.6) жəне (7.9) формулаларды өзара шешемiз. Алдымен, 
(7.9) формуланы (7.4) теңдiкке қояйық
0
A
A
E
dA
y dA
σ
ρ
⋅
=
⋅
=
∫
∫
Бұл  теңдiктегi 
E
ρ
  мəнi  ауданға  тəуелдi  болмағандықтан,  оны 
интегралдың  сыртына шығарып жiберуге болады.
0
À
E
ydA
ρ
=
∫
Бұл өрнектегі 
0
E
ρ
≠
   болмағандықтан   
0
À
ydA
=
∫
                                                    
Жазық  қималардың  геометриялық  сипаттамаларында  көрсе-
тілгендей, соңғы интегралдың қима ауданының статикалық моментi 
деп аталатыны белгiлi. Яғни
;
x
À
S
ydA
=
∫
      жəне   
;
y
À
S
xdA
=
∫
                              (7.10)
Осының  алдындағы  бөлiмнен (6-тарау)  тағы  бiр  белгiлi  жайды  
келтiре кетейiк.
Статикалық  моменті  нөлге  тең  ось  орталық  ось  деп  аталады, 
басқаша айтқанда, ауданның (қиманың) салмақ центрі арқылы өтетін 
осьтердің статикалық моменті нөлге тең болады. Сонымен жоғарғы 
суреттерде көрсетілген 
x
 осі орталық ось болады, демек бейтарап 
ось қиманың салмақ центрі арқылы өтеді.
Енді, (7.9) формуланы (7.5) теңдiкке қояйық.
0
A
A
E
x
dA
x
ydA
σ
ρ
⋅
=
=
∫
∫
.

115 
Алдында қарастыр ылғандай
0
Ⱥ
E
xydA
U
 
³
,   
0,
E
U
z
   
Соңғы интегралдың центрден тепкiш инерция моментi деп атала-
тыны белгiлi.
xy
Ⱥ
J
x y dA
 
˜ ˜
³
.  
                                      (7.11)
Центрден  тепкіш  инерция  моменті  нөлге  тең  осьтер  бас  ось-
тер  деп  аталатынын  ескеріп,  бейтарап  ось  қиманың  бас  осі  екенін 
тұжырымдаймыз. Қорыта айтқанда, таза иілу кезінде, бейтарап ось 
қиманың орталық бас осі болып табылады.
(7.9) формула мен (7.3) формуланы өзара шешейік.
,
Ⱥ
E
y
ydA M
U
 
³
       
2
Ⱥ
E
y dA
U
³
. 
   
Өткен  тараулардан (6-тарау)  белгiлi,  төмендегi  қатынастарды 
ескерейік     
      
2
x
Ⱥ
J
y dA
 
³
   ǜbǣǛ    
2
y
Ⱥ
J
x dA
 
³
                           (7.12)
Бұл интегралдар, қиманың осьтiк инерция моменттерi деп аталады.
x
E
J
M
ρ
=
.
Бұл теңдiктен қисықтықты табайық
1
x
M
EJ
ρ
=
.                                        (7.13) 
Таза  иiлудегі  М=const  болғандықтан,  қисықтықтың  шамасы    Е 
мəніне тəуелді. Осыған байланысты 
x
EI
 шамасы иілудегі қатаңдық 
деп  аталады. (Еске  сала  кетейік:  созылу  мен  сығылу  кезіндегi 
қатаңдық – 
ȿȺ
)). 
Қисықтықтың мəнін (7.9) формулаға қойып кернеудің формула-
сын аламыз.

116
ɯ
M ɭ
J
V
˜
 
  
                                    (7.14)
§4. Көлденең иілудегі кернеулер
Таза  иілу  кезінде  арқалықтың  көлденең  қимасында  тек  тік 
кернеулердің пайда болатынына көзіміз жетті. 
Бұларға сəйкес келетін ішкі күштер қимадағы ию моменттеріне 
тең. Ал көлденең иiлу кезінде, қимада ию моментімен қоса, көлденең 
күштердің  пайда  болатынын,  бұдан  бұрын  тұжырымдағамыз.  Бұл 
күштер қима жазықтығында таралып жатқан элементар күштердің 
жиынтығы  болып  есептеледі.  Сонымен,  көлденең  иілу  кезінде 
арқалықтың қималарында тік кернеулер - 
( )
f M
σ =
   жəне жанама 
кернеулер -
( )
Q
τ ϕ
=
 пайда болады (88-сурет). 
88-сурет
Қимада  жанама  кернеудің  пайда  болуы,  əрбір  элементар 
ауданның қосымша бұрыштық орын ауыстыруына, яғни бұрыштық 
деформацияның  (γ)  пайда  болуына  əкеп  соғады.  Осыған  байланы-
сты, көлденең иілудің екі түрін қарастырамыз.
I.  Көлденең күш арқалық бойында тұрақты.
II.  Көлденең күш арқалық бойында өзгермелі.

117 
1) Көлденең иілудің бірінші түрін қарастырайық. Бұл кезде  жана-
ма кернеулер қима бетінде бірқалыпты таралмағандықтан, бұрыштық 
орын ауыстыруда бірқалыпты болмайды, демек, көлденең қималар 
жазық  күйінде  қалмайды.  Бірақ, Q=const болғандықтан,  барлық 
қималардың қисаюы бірдей болады (89-сурет).
Мысалы,  бір-бірінен 
z
l
  қашықтықта  орналасқан  екі  қиманы 
алып  қарайық.  Бейтарап  остен 
y
  қашықтығында  орналасқан    АВ 
-  талшығының  ұзаруы,  көлденең  қималардың  жазық  күйінде  қалу 
немесе қалмауына тəуелді болмайтыны 89-суретте  көрсетілген.
Өйткені  А’В’ = А”В”.  Сондықтан,  көлденең  иілу  кезiнде,  егер 
Q=const болса, онда тік кернеуді табу үшін таза иілудің формулала-
рын қолдануға болады.                                       
x
x
M ɭ
J
V
˜
 
        ǜbǣǛ      
max
max
ɏ
x
M
W
V
 
     
               (7.15)
Енді  көлденең  иілу  кезінде  пайда  болатын  жанама  кернеудің 
жуық  шамасын  анықтайық.  Ол  үшін,  бойлық  қимадағы  жанама 
кернеуді тауып алып, жанама кернеулердің жұптық заңы бойынша, 
оны көлденең қимадағы жанама кернеуге теңейміз.
89-сурет  
  Арқалықтан,  ұзындығы dz элемент  бөліп  аламыз (90,а-сурет). 
Бейтарап  осьтен    у  қашықтықта  орналасқан  бойлық  жазықтық 
арқылы элементті екіге бөлеміз де (90,а, б-суреттер), оның төменгі 
жағын алып тастап, қалған - жоғарғы бөлікке əсер ететін күштердің 
тепе-теңдік шартын қарастырамыз (90,в-сурет). 
Көлденең  иілу  кезінде,  оң  жақ  қимадағы  моменттің  сол  жақ 
қимадағыдан  айырмашылығы  dМ  шамасына  тең.  Қарастырылып 
отырған  жоғарғы  бөлікке  əсер  ететін  күштердi  z осіне  проекция-
лаймыз.

118
0,
z
Σ =
     
(
) 0
y
N
b dz
N dN
τ
+ ⋅ ⋅ −
+
=
                      (7.16)
y
dN
dz b
τ =
⋅
                                       (7.17)
сол жақ қимадағы бойлық күш 
Ⱥ
N
dȺ
V
 
˜
³
 ǣǛǢǛǧǛ 
/
1
2
Ⱥ
M
N
y dȺ
 
³
. 
90-сурет
Бұл жердегi
А’ - жоғарғы бөліктің ауданы,
у
1
 - элементар ауданның ординаты   (90,б сурет),
/
1
x
Ⱥ
ɭ dȺ S
 
³
 - қиманың жоғарғы бөлігінің статикалық моменті.
Сонымен,                              
*
x
x
M S
N
J
⋅
=
                                        (7.18)
Сол секiлдi, оң жақ қимадағы бойлық күш  
                        
(
)
*
x
x
M dM
N dN
S
J
+
+
=
⋅
                                  (7.19)

119 
Соңғы екi күштiң айырмасы
               
*
x
x
dM S
dN
J
⋅
=
                                         (7.20)
Соңғы өрнектi (7.17) формулаға қойсақ
             
*
x
x
x
Q S
J b
τ
⋅
=
⋅
                                             (7.21)
Алынған (7.21) формула  арқылы  бойлық  қимадағы  жанама 
кернеулерді  есептеуге  болады.  Көлденең  қимадағы  кернеулер  осы 
жанама  кернеулерге  тең  екені  жоғарыда  айтылды.  Сондықтан  осы 
формуланың көмегімен, көлденең қимадағы жанама кернеудерді де 
анықтауға болады.ол
2) Көлденең иілудің екінші түрін, яғни көлденең күш өзгермелі 
болған  жағдайда  (
Q const
≠
)  қарастырайық.  Бұл  кезде,  жазық 
қималар жорамалын қолдануға болмайтынын жоғарыда айтқанбыз. 
Сондықтан таза иілудегі формулалар біршама ауытқу береді. Оны-
мен    қоса,  арқалықтың  “қабаттарының”  араларында  тік  кернеулер 
пайда болады. Тəжірибелер мен зерттеулердің көрсетуіне қарағанда 
бұл кернеулердің шамасы арқалықтар үшін өте аз. Арқалықтар үшін,
 
олардың көлденең қимасының өлшемдері ұзындығынан əлденеше аз 
екенін ескеріп, көлденең күш өзтермелі болған   кезде де, кернеулерді 
төмендегі формулалармен есептеуге болады деп тұжырымдаймыз,
x
x
M y
J
σ
⋅
=
,         
*
y
x
x
y
Q S
J b
τ
⋅
=
⋅
                              (7.22)
§5. Тиімді қима
Келтiрiлген  формулаларға  сүйене  отырып,  таза  иiлiп  жұмыс 
iстейтiн  элементтердiң  тиiмдi  қималарын  қарастырайық.  Ол  үшiн 
91-суретте көрсетiлген арқалық үшiн тиiмдi қима таңдап алайық. Бұл 
арқалықтың қауiптi қимасындағы момент M = Pl жəне оның негізгі 
бөлігі таза иіліп тұр. Алдымен, қиманың пішіні тік төртбұрыш деп 
алайық. Қауіпті қимадағы кернеудің таралуы 92-суретте көрсетілген. 
Ең үлкен кернеу қиманың шеткі қабаттарында пайда болады.
Берiктiк шарты бойынша, шеткi қабатта пайда болған ең үлкен кер-
неу мүмкiн кернеуден аспау керек. Бұл кезде, ортаңғы қабаттарындағы 
кернеулер мүмкiн кернеуден мүлдем аз, ал бейтарап қабатта тiптi нөлге 
тең. Сондықтан мұндай қима тиiмдi бола алмайды.  

120
Ал  енді  тік  төртбұрыш  қиманың  үзік  сызықпен  көрсетілген 
бөлігіне  сəйкес  ауданды  алып  тастасақ,  арқалықтың  беріктігі  көп 
кеми қоймайды.
Демек,  көрсетілген  қиманың  орнына 93-суретте  көрсетілген 
қималардың бірін алған тиімді.
 
91-сурет                                92-сурет
Бұл көрсетілген қималардың ерекшелігі, кернеуі көп қабаттардың 
ені үлкен де, ал кернеулері аз қабаттардың ені кішкене. 
93-сурет
Сол  себепті,  мұндай  арқалықтарды  салмағы  жеңіл  жəне  олар-
ды  жасауға  материал  аз  кетеді.  Екінші  мысал  ретінде,  бірнеше 
қабат болып, n жұқа тақтайлардан жасалған консольды арқалықты 
қарастырайық  (94,а-сурет).

121 
max
2
2
6
( )
6
x
P
M
P
h
n
b h
W
bh
n
σ
⋅
=
=
=
l
l
. 
94-сурет
Егер,  тақтайлардың араларында үйкеліс күші жоқ болса, онда əр 
тақтай жеке-жеке иіледі (94,б-сурет). Əр тақтайға əсер ететiн күштiң 
шамасы Р/һ; ал ең үлкен тiк кернеу: 
max
2
2
6
6
x
P
M
Pl
h
n
W
bh
b
h
n
σ
⋅
=
=
=
⋅
⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
l
.
Енді,  тақтайлар  болат  қамыттармен  тартылып,  өзара  қатаң  бекiтiліп, 
қойған деп  қарастырайық (95,а-сурет). Бұл  кезде, барлық тақтай бір дене 
ретінде жұмыс істейді, демек биіктігі һ  арқалық секілді иіледі (95,б-сурет).
95-сурет

122
3
Тік кернеудің  шамасы 
max
2
6P
bh
σ
⋅
=
l
.                                                                  
Сонымен  бір-бірімен  қатаң  бекітіліп, n тақтайдан  жасалған 
арқалық,  өзара  бекітілмеген n тақтайдан  жасалған  арқалыққа 
қарағанда, жуық шамамен, n рет көп жүкті көтере алады.   
§6. Көлденең қималардың орын ауыстырулары мен бұрылуы. 
Иілген остің дифференциялық теңдеуі
Бас  жазықтықтардың  бірінде  жатқан  күштердің  əсерінен 
арқалықтың осі сол жазықтықта қисаяды. Мұны жазық иілу деп атай-
ды. Бір жақ шеткі қимасы арқылы бекітілген консолды арқалықтың 
екінші шеткі қимасына Р күші түсірілген (96-сурет). Қатаң бекітілген 
оң  жақ  қимадан z  қашықтықтағы  кез  келген  қиманың  салмақ 
центрінің  (о)  арқалық  осіне (z) перпендикуляр  бағытта  орын  ауы-
стыруын (00
1
)  арқалықтың  сол  қимадағы  иілуі  деп  атаймыз.  Оны 
f  əрпімен  белгілейміз (96,а-сурет).  Ал,  əр  қиманың  иілу  кезінде 
бұрылатын бұрышы,  сол қиманың бұрылу бұрышы деп аталып, θ 
əрпімен  белгіленеді (96,б-сурет).  Конструкцияларды  қатаңдыққа  
есептеу,  статикалық  анықталмайтын  есептердi  шешу  жəне 
динамикалық  күштердiң  əсерiн  ескеру  конструкциялардың  белгілі 
бір  қималарының  орын  ауыстыруларына,  бұрылу  бұрыштарына 
тікелей тəуелді. Қарастырылып отырған арқалықты координаталар 
жүйесіне бекітейік. 
96-сурет 
Ол  үшін,  координата  басын  арқалықтың  иілгенге  дейінгі  осінің 
бiр нүктесіне, атап айтқанда, оның сол жақ шеткі қимасына бекітейік. 
Арқалықтың осін - z, ал оған перпендикуляр осьті у деп белгілесек
( )
y
z
ϕ
=
                                 (7.23)

123 
Бұл теңдеу, арқалықтың иілген осінің теңдеуі немесе арқалықтың 
серпімді  сызығы    деп  аталады.  Ал  у = γ(z)  қисығына  жүргізілген 
жанама мен  z осінің арасындағы бұрыштың тангенсі төмендегіше 
анықталатыны   математикадан белгілі.
dy
tq
dz
θ =
.                                            (7.24)
Тəжірибеде  кездесетін  арқалықтардың  қималарының  орын 
ауыстырулары,  оның  тірек  аралықтарына  қарағанда  əлдеқайда 
аз  болатындықтан,  бұрылу  бұрышы  да  өте  аз  (
θ
 <1°) болады. 
Сондықтан  
dy
dz
θ ≈
                                       (7.25)
Демек, қиманың бұрылу бұрышы, орын ауыстырудың  z бойынша 
алынған бірінші туындысына тең.
Арқалықтың  иілген  осінің  пішінін  табу  үшін,  жоғарыда 
қорытылып  шығарылған,  иілудегі  қисықтықты  алып  қарайық. 
Қисықтықтың формуласы
1
M
EJ
ρ
=
                                                   (7.26)
Бұл  өрнекке,  аналитикалық  геометриядан  белгiлi  формуланы 
қосайық (97-сурет)
2
2
3
2 2
1
1
d y
dz
dy
dz
ρ
=
⎡
⎤
⎛
⎞
+
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
                                     (7.27)         

124
97-сурет
Өткен  параграфта  айтылғандай,  θ  бұрышының  тангенсi  тым  аз 
шама екенiн ескерсек,  dy
dz
  шамасының квадратын 
2
0
dy
dz
⎛
⎞
⎛
⎞ =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 еле-
меуге болады.
Сонда
2
2
1
d y
dz
ρ
=
.                                     (7.28)
(7.26) жəне (7.28) өрнектерден:
2
2
d y
M
dz
EJ
=
                                    (7.29)
Қатаңдықты  тұрақты  деп  алып  (ЕI=const),  июші  момент, 
көлденең күш жəне таралған күштің қарқындылығы араларындағы 
диференциалдық қатынастарды ескерсек:
I
y
θ ≤
,    
2
2
x
d y
M
EJ
dz
=
,      
3
3
x
d y
Q EJ
dz
=
,                     (7.30)
Соңғы теңдіктерден туындайтын тұжырымдар:
-  егер q = const болса, онда 
4
4
1
,
d y
q
const
dz
EJ
=
=
 бұл кезде арқалықтың 
иілген осінің пішіні төртінші дəрежелі қисық сызық болады.

125 
-  егер, q = о болса, онда арқалықтың иілген осі үшінші дəрежелі 
қисық сызық.
-  жоғарыда  келтірілген  формулалардың  дəлдігі,  орын  ауыс-
тырулардың қаншалықты аз екеніне байланысты.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: