Тәжiрибелiк қондырғының сипаттамасы

38 
 
 
1–сурет 
1- 
Жүк,  2- Шар, 3- Cobra3 құрылғы,  4- Жарық үзгіш құрылғы,  5- Жалғағыш 
сымдар,  6- Қысқыш,  7- Жібек жіп,  8- Айналмалы маятник,  9- Таяқша,  10- Диск,  11- Қуыс 
цилиндр,  12- Тұтас цилиндр,  13- Саңылаулы диск. 
 
 
 

39 
 
 
2 –сурет 
 
4.3.2. Аспаптың техникалық параметрлері 
 
  Cobra3қондырғысы 
  Қорек көзі    
 
 
 
 
12В 
  Кабель 
 
 
 
 
 
RS232 
  Ығысу мен айналуды бақылау бағдарламасы 
  Жарық өткізбейтін экран 
  Айналғыш маятник 
  Салмаққа қарсы жүкше 
 
 
 
CS2000 
  Батарея 
 
 
 
 
 
9В 
  Жібек жіп  
 
 
 
 
 
200 метр 
  Жүк ұстағыш  
 
 
 
 
1 грамм 
  Кесіндісі бар жүк    
 
 
 
1 грамм 
  Қысқыш 
  Үш аяқты тұрғы 
  Олшегіш сызғыш 
 
 
 
 
2 метр 
  Жалғағыш шнур қызыл 
 
 
 
1 метр 
  Жалғағыш шнур көк  
 
 
 
1 метр 
  Жалғағыш шнур сары  
 
 
 
1метр 

40 
 
Windows бағдарламада жұмыс жасайтын компьютер 
 
4.4.  Жұмыстың орындалу тәртібі 
  4.4.1. Құрылғыны жұмысқа дайындау. 2-суретке сәйкес Cobra3 құрылғысына электр 
өткізгіш сымдарын жалғаңыз. 
Маятник осін жарық үзгіш механизммен жалғайтын жіптің 
көлденең тұрғандығына көз жеткізіңіз. Маятник өсіне жіпті қатырғыш винттен сәл төменірек 
етіп шамамен 7 рет ораңыз. 
3              
3- сурет 
3 суретке сәйкес экперимент параметрлерін орнатыңыз. «Ось диаметрі» үшін 20 мм 
мәнің еңгізіңіз, бұл айналғыш маятник осімен жарық үзгіш жабқышының бірдей 
жылдамдықпен айналуларына мүмкіндік береді. 
  Жарық үзгіштің дөңгелекшесіне жібек жіпті орап, қондырғыны  1-граммдық жүк 
ұстағыштың бір шетінен еркін ілініп маятникке тербелмелі қозғалыс жасауға кедергі 
келтірмейтіндей етіп реттеңіз.  
4.4.2.  Маятникті 180 градусқа жуық ауытқытып маятникті босатыңыз. «Өлшеуді 
бастау» тетігін басып мәліметтерді жазуды бастаңыз. 10 – 15 секндттан кейін «Өлшеуді 
тоқтату» тетігін басыңыз. Егер «әрбір 50 мс сайын мәліметтерді жазу» терезешесіндегі 50 мс 
мәндері өте үлкен немесе өте кіші болса жазылған сигналдың үзілген немесе ауытқыған 
қауіпі бар. Бұл жағдайда сигналдың кіші немесе үлкен жағына жазылатындай етіп жйілікті 
реттеңіз. 1-граммдық жүк ұстағыш жіпті жарық үзгіш механизм мен айналғыш маятниктің 
ортасында тұруына көмектеседі. Егер жіп түйіліп немесе остен шығып кетсе жүк ұстағышқа 
жүк қосыңыз. 

41 
 
 
   
 
 
 
4 - сурет 
 
 
4.4.3. Енді бірінен соң бірін маятниктің айналу осіне келесі элементтерді 
орналастырыңыз: 
 
Саңылаусыз диск 
 
Тұтас цилиндр 
 
Қуыс цилиндр 
 
Сфера 
 
Таяқша 
Бұлардың әрқайсысы үшін айналу остен қашықтықтарын арттырып зерттеңіз. 
Саңылаулы дискіні центрінен бастап барлық саңылау айналасында айналдырыңыз. 
4.4.4. Өлшемдер жүргізіп болғаннан кейін 5-суреттегідей картина пайда болады. 
Курсор көмегімен Т тербеліс периодын анықтаңыз. Ол үшін өлшегіш сызықтарды тербеліс 
басына және аяғына қойыңыз. 
4.4.5.  Әр түрлі денелерге арналған инерция моменттерін анықтап 1 – кестеге жазыңыз. 

42 
 
 
   
5 - сурет 
 Таяқша үшін
  өлшеулерде келесідегідей мәндер қолданылады: 
Жалпы таяқша ұзындығы    
L = 60см 
Таяқша массасы  
 
 
M = 0,1715 кг 
Бір жүк массасы 
 
 
m = 0,2115 кг 
  4.4.6. Гюйгенс-Штейнер теоремасын жалпы инерция моментін жекелеген инерция 
моменттерінің қосындысы түрінде өрнектеп дәлелдеңіз.  Кестеге еңгізіңіз. 
Ескерту: Егер тербеліс жылдамдығы жеткілікті аз болса сигналдардың бұрмалануы 
және сыртқы сигналдардың тіркелуі орын алуы мүмкін. Өлшем жүргізуге қажетті 
интервалды алдынгы сынақ өлшемдерден шамалап алуға болады.Жарық үзгіш механизмі 
және қозғалыс датчигі маятнктің тербеліс энергиясы есебінен жүзеге асатындықтан 
амплитуданың шамалы өшуі мүмкін. Жарық үзгішпен тіркелмейтің аз тербелістер нөлдік 
нәтиже түрінде тіркеледі. 
  4.4.7. Таяқша үшін  2 – кестені толтырыңыз. 
  4.4.8. Диск үшін  3 – кестені тол тырыңыз.  
  4.4.9. Екінші және үшінші кестелерге қарап Гюйгенс–Штейнер заңының 
орындалғандығына талдау жасап, жұмысты қорытындылаңыз. 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - Кесте  
Дене 
Масса, кг 
Радиус, м 
Инерция 
моменті, кг 
(тәжірбие) 
Инерция 
моменті, кг 
(теория) 
Диск 
0,292 
0,11 
 
17,66 
·
 
Тұтас 
цилиндр 
0,370 
0,049 
 
4,44 ·
 

43 
 
Қуыс 
цилиндр 
0,390 
 
 
 
7,49 ·
 
Сфера 
0,798 
0,07 
 
15,64 
·
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - кесте 
Таяқшаның жүкпен, жүксіз әр түрлі қашықтықтар үшін инерция моменті 
( m=0.2115кг) 
l / м 
 
2 ·m· (теория) 
2 ·m· +  
(теория) 
- 
 
- 
 
0,05 
 
 
 
0,1 
 
 
 
0,15 
 
 
 
0,20 
 
 
 
0,25 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - кесте 
Дисктің әр түрлі қашықтықтағы массасымен инерция моменті ( m=0.454кг) 
R / м  
 
m· (теория) 
m·
(теори
я) 
0 
 
- 
- 
0.03 
 
 
 
0.06 
 
 
 
0.09 
 
 
 
0.12 
 
 
 
 
  4.5. 
Әдебиеттер 
4.5.1. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т.1. М.: Наука, 1974. 
4.5.2.  Гольдин  Л.Л.  Руководство  к  лабораторным  занятиям    по    физике.  М.:    Наука, 
1973. 
4.5.3. Матвеев А.Н. Механика  и теория  относительности. М.: Высшая школа, 1986. 
4.5.4.  C.И. Исатаев, Ә.С. Аскарова және т.б. Жалпы физикалық практикум. Механика. 
Алматы: Қазақ университеті, 2001. 
 
 
№5 ЗЕРТХАНАЛЫҚ   ЖҰМЫС 
ҚАТТЫ ДЕНЕНІҢ АЙНАЛМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫС 
ДИНАМИКАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ЗАҢЫН ЗЕРТТЕУ 
 

44 
 
5.1.  Жұмыстың  мақсаты:  Обербек  маятнигінің  (айқышталған  қатты  дененің) 
көмегімен  айналмалы  қозғалыс  динамикасының  негізгі  заңының  орындалуын  эксперимент 
жүзінде тексеру.  
 
5.2. Теориялық қысқаша түсінік. 
 
5.2.1. Радиусы r
і
болып келген шеңбер бойымен айналған массасы m
і        
 материялық 
нүктенің  импульс  моментінің  айналу  осіне  проекциясы 
i
i
i
r
m
L
i
.  Қозғалыстың 
сызықтық  жылдамдығы 
i
 бұрыштық  жылдамдықпен 
 мына  өрнек  арқылы  байланысқан 
i
i
r
,    сондықтан 
2
i
i
i
r
m
L
.  Егер  материялық  нүктелер  жүйесі  0  осіне  қатысты  бәрі 
бірдей 
 бұрыштық  жылдамдықпен  айналса,  онда   
n
i
i
i
r
m
L
1
2
,    мұндағы  қосынды 
жүйедегі барлық материялық нүктелер үшін жүргізіледі. Барлық материялық нүктелер үшін 
 бұрыштық  жылдамдық  тұрақты,  сондықтан  оны  қосынды  таңбасының  сыртына 
шығарамыз: 
                             
I
L
                                                            (5.1)     
мұндағы  
 
 
 
 
                           
n
i
i
i
r
m
I
1
2
                                        
       (5.2) 
Жүйенің берілген оське қатысты инерция моменті (І) дегеніміз материялық нүктелердің 
массалары  мен  олардың    айналу  осіне  дейінгі  қашықтық  көбейтінділері  қосындысына  тең 
шама. Материялық нүктелер жүйесі үшін моменттер теңдеуін айналу осіне проекция түрінде  
жазайық 
                  
M
I
dt
d
dt
dL
 
 
                  
      (5.3) 
мұндағы  М  – сыртқы күштің толық моментінің айналу осіне  проекциясы.  
(5.3)  теңдеуін  оське  қатысты  моменттер  теңдеуі  немесе  айналмалы  қозғалыс 
динамикасының негізгі заңы деп атайды. 
5.2.2.  Дербес  жағдайда,  жылжымайтын  осьтен  айналған  қатты  дене  үшін  (4.3)  теңдеуі 
мына түрде жазылады: 
                     
M
dt
d
I
                                                              (5.4) 
немесе            
                     
M
I
 
 
                                            (5.5) 
 
Жылжымайтын  осьтен  айналған  қатты  дененің  І    инерция  моментінің   
   бұрыштық 
үдеуге көбейтіндісі сол оське қатысты күштердің моментіне тең. (5.5) теңдеуін Ньютонның 
екінші  заңымен  салыстырсақ,  айналмалы  қозғалыстағы  инерция  моменті  ілгерілемелі 
қозғалыстағы массаның, күш       моменті - күштің ролін атқарады. 

45 
 
Бұл  жұмысты  орындағанда:  айналу  өсіне  қатысты,  берілген  қатты  дене  үшін  күш 
моменті  М  өзгергенде  бұрыштық  үдеу 
  де  өзгереді,  бірақ  олардың  арасындағы 
пропорционалдық коэффицент шама жағынан І  инерция моментіне тең деп алынады.  
 
5.3. Қондырғының құрылысы және жұмыстың орындалу әдістемесі. 
5.3.1.  Керекті  құрал  жабдықтар:  Обербек  маятнигі,  жүктердің  жиыны,  секундомер, 
маcштабты сызғыш, штангенциркуль. 
5.3.2. Қондырғы 5.1 суретте көрсетілген. 
 
 
 
 5.1 –сурет. Обербек маятнигі ұңғыдан (1), оған өзара тік бұрыш (90
0
) жасай орналасқан 
төрт  шабақтан  (3)    және  төрт  бірдей  цилиндр  формалы,  өске  бірдей  қашықтықта  шабаққа 
орнатуға болатын жүктен (10)  тұрады. Ұңғыға радиустары әртүрлі (r
1
 және r
2
) тағы екі шкив 
(2) орнатылған. Обербек маятнигі тік діңгекке (4)  мықтап бекітілген, жүк ілетін жіп (5),  жүк 
ұстағыш(6)  пен жүк ілгіш (7), жіп ілінген блок (8), секундомер (9).  Осы қондырғы жүйесі 
горизонталь өстен еркін айналады.  
  5.3.3.  Шкивтердің  біріне  оралған  Н  жіптің  бос  ұшындағы  m  жүк  күш  моментін 
тудырады.  Егер  маятник  өсіне  түсірілген  үйкеліс  күш  моменті  M
џйк
  жіптің  керілу  күш 
моментіне салыстырғанда аз болса, онда (5.5) теңдеуін тексеру қиындыққа соқпайды. Жүктің 
тыныштық  қалпынан  төмен  қарай  h  қашықтыққа  түскен  t  уақытын    өлшеп,  жүк 
қозғалысының W үдеуін анықтауға болады  

46 
 
        
2
2
t
h
W
 .                                                      (5.6.) 
W  сызықтық  өдеудің 
 бұрыштық  үдеумен      байланысы  мына  өрнек  арқылы 
өрнектеледі: 
r
W
  
 
   
        
                                  (5.7) 
мұндағы  r – шкивтің радиусы. 
Егер Т - жіптің керілу күші болса, онда  
          
T
r
M
.                         
                                      (5.8) 
Жіптің керілу күшін  жүктің қозғалыс теңдеуінен табуға болады: 
,
T
mg
mW
 
)
(
W
g
m
T
 
онда             
       
)
(
W
g
m
r
M
. 
 
                             
   (5.9) 
 
 
5.3.4. Алайда, үйкеліс күшінің моменті  M
џйк
  ескеруге болатындай шама болғандықтан 
тәжірибе нәтижесі өзгереді, сондықтан үйкеліс күшінің моментін ескеріп (5.5) теңдеуін мына 
түрде жазуға болады 
 
           M – M
үйк
 
I
. 
 
 
 
                   (5.10) 
 
5.4. Жұмыстың орындалу тәртібі.  
 
5.4.1.  Экспериментті  бастамастан  бұрын,  өздігінен  бейтарап  тыныштық  жағдайға 
келетіндей  етіп,  маятникті  бірнеше  рет  айналдырып,  тексеріп  көру  керек.    Қондырғының 
сызықтық өлшемдерін өлшеп, өлшеу нәтижелерін 5.1 кестеге түсіріңіздер. 
        
5.1 кесте. Қондырғының сызықтық шамаларын өлшеу нәтижелері 
 
 
5.4.2.  Маятник  өздігінен  айналысқа  келетіндей  жағдайға  келтіріп,  жіпке  ілінген  жүкті 
біртіндеп  арттыра  отырып,  оның    m
0
  минимал  шамасын  анықтаңыздар.  Тыныштық  үйкеліс 
күш моментінің шамасын бағалаңыздар. 
5.4.3.  Н    жіпке  массасы    m>m
0 
  жүкті  іліп,  жүктің    h  биіктіктен  түсу  уақытын 
өлшеңіздер. Тәжірибені 5-7 рет қайталап, жүктің түсу уақытын қалайда дәлірек өлшеу керек. 
Өлшеу нәтижесін 5.2. кестеге түсіріңіздер. 
 
5.2  кесте.  Маятниктің  айқыш  шабақтарында  цилиндр  болмаған  кездегі  жіптің 
ұшындағы әртүрлі жүктердің  h биіктіктен түсу уақытын өлшеу нәтижелері 
 
М
аятини
к 
стержн
нің 
бөлік 
құны, 
мм 
Ш
кивті
ң 
диаме
трі  2r, 
мм  
Ж
үк 
ұстағ
ыш 
масса
сы, г 
Ц
илиндр
дің 
массас
ы, г 
цилинд
р 
жасаушысын
ың 
ұзындығы  l, 
мм 
қуыс 
цилиндрдің 
сыртқы 
диаметрі 
2R
1
, мм  
қуы
с 
цилиндрд
ің 
ішкі 
диаметрі 
2R
2
, мм 
Стерж
ндер 
бекітілген 
дискінің 
диаметрі 
2R
’
, мм  
 
 
 
 
 
 
 
 

47 
 
m
,  г   
t,  c 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.4.  Жүк  массасының  әртүрлі  шамаларына  арнап  5.4.3.  пункітін  қайталап  (5 7)  рет 
орындаңыздар. 
5.4.5.  Жүктің  әртүрлі  массасы  үшін  түсу  уақытының  орта  <t>  мәнін  тауып,  (5.6) 
формула бойынша жүктің осы массалары үшін W үдеуін, есептеңіздер. Әрі, осыған орай, 
 
бұрыштық үдеу мен  М күш моментін есептеңіздер. Эксперимент нәтижесін график түрінде 
кескіндеңіздер. Ол үшін абцисса осіне М күш моментінің мәндерін, ал ордината өсіне осыған 
сәйкес  маятниктің 
 бұрыштық  өдеуінің  мәндерін  салыңыздар.  Графиктен  үйкеліс  күш 
моментін  М
џйк
 анықтаңыздар және оның мәнін ескере отырып маятниктің инерция моментін 
есептеңіздер  
0
I
 (маятниктің шабақтарына төрт цилиндр кигізілмеген жағдайда). 
5.4.6. Маятниктің шабақтарына, айналу өсінен белгілі бір қашықтықта, төрт цилиндрді, 
айқыш  –  маятник  кез-келген  күйде  тепе-теңдікте  болатындай  етіп,  бекітіп,  5.4.1  -  5.4.4 
пункіттерінде  жазылған  тәжірибелерді  (эксперименттерді)  қайталап  орындаңыздар. 
Эксперимент нәтижелерін 5.3 кестеге түсіріңіздер. 
 
5.3 кесте. Маятниктің шабақтарында қосымша жүк (төрт цилиндр)  болғанда жіптің  h   
биіктіктен түсу уақытын өлшеу нәтижелері 
 
m
,  г   
t,  c 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
Алынған  нәтижелерді  пайдаланып,  5.4.5  пункітінде  көрсетілгендей,  графикті 
сызыңыздар.  Графиктен  маятниктің  инерция  моментін  І  табыңыздар  (шабақтарға  төрт 
цилиндр кигізілген жағдайда). 
5.4.7.  Маятниктің  шабақтарына  цилиндр  кигізгендегі  І    инерция  моментін    және  
маятниктің  цилиндрсіз  инерция  моментін  І
0
  біле  отырып,  әрі  инерция  моментінің 
аддитивтілік қасиетін пайдаланып, айналу өсіне қатысты бір цилиндрдің  инерция моментін 
есептеңіз: 
      
4
0
I
I
I
цил
 
 
 
                                           (5.11) 
5.4.8.  Теориялық  тұрғыдан,  қуыс  цилиндрдің  геометриялық  өлшемдерін  пайдаланып, 
мына формула бойынша оның инерция моментін есептеңіздер 
        
)
(
4
1
12
1
2
2
2
1
1
2
1
0
R
R
m
l
m
I
цил
 
                     (5.12)   
мұндағы  
1
R
 - қуыс цилиндрдің сыртқы радиусы; 
2
R
 - қуыс цилиндрдің ішкі радиусы;  
l
 -   цилиндр жасаушысының ұзындығы; 
  m
1 
- цилиндрдің массасы. 
5.4.9.  Гюйгенс-Штейнер  формуласын  пайдаланып  айналу  өсіне  қатысты  бір  цилиндр 
жүктің инерция моментін есептеңіздер: 
  
2
1
0
R
m
I
I
цил
цил
 
                                             (5.13) 

48 
 
мұндағы  R  -  айналу  өсіне  параллель,  қуыс  цилиндрдің  масса  центрі  арқылы  өтетін 
өспен айналу өсі арасындағы қашықтық. 
5.4.10. Қуыс цилиндрдің айналу  өсіне қатысты инерция моментінің алынған мәнін  І
цил 
пунктінде эксперимент нәтижесі бойынша алынған мәнмен салыстырыңыздар  
5.4.11. Барлық тәжірибедегі үйкеліс күш моментінің мәндерін салыстырыңыздар. 
5.4.12. Эксперимент жасаған кезде жіберілетін қателердің себептерін көрсетіңіздер. 
5.4.13. Инерция моментін анықтағанда жіберілген қатені график бойынша есептеңіздер. 
5.4.14.  Оқытушының  нұсқауы  бойынша,  берілген  программаны  пайдаланып, 
эксперимент нәтижелерін ЭВМ-да (электронды есептеуіш машинада) өңдеңіздер.  
 
 
5.5. Бақылау сұрақтары. 
 
5.5.1.  Қатты  дененің  айналмалы  қозғалыс  динамикасының  негізгі  заңының  оқылуын 
тұжырымдап жазыңыз? 
5.5.2.  Қандай  да  болмасын  өске  қатысты  дененің  инерция  моменті  дегеніміз  не? 
Берілген өске қатысты дененің инерция моментінің физикалық мазмұны неде? 
5.5.3.  Дененің  масса  центірі  арқылы  өтпейтін  өске  қатысты  инерция  моментін  қандай 
формула арқылы өрнектеуге болады? 
5.5.4.  Қандай  жағдайда  айналысқа  келетін  шкивтің  нүктелерінің  сызықтық  үдеуін 
жүктің қозғалыс үдеуіне тең деуге болады ? 
5.5.5.  Механикалық  энергияның  сақталу  заңын  пайдаланып,  маятниктің  инерция 
моментін анықтауға бола ма? 
 
         
5.6. Әдебиет 
 
5.6.1. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т.1. М.: Наука, 1974. 
5.6.2.  Гольдин  Л.Л.  Руководство  к  лабораторным  занятиям    по    физике.  М.:    Наука, 
1973. 
5.6.3. Матвеев А.Н. Механика  и теория  относительности. М.: Высшая школа, 1986. 
5.6.4.  C.И. Исатаев, Ә.С. Аскарова және т.б. Жалпы физикалық практикум. Механика. 
Алматы: Қазақ университеті, 2001. 
 
 
№6  ЗЕРТХАНАЛЫҚ ЖҰМЫС 
 
ФИЗИКАЛЫҚ МАЯТНИКТІҢ ТЕРБЕЛІС ЗАҢДЫЛЫҚТАРЫН ЗЕРТТЕУ. 
 
6.1.  Жұмыстың  мақсаты:  Физикалық  маятниктің  тербеліс  заңдарын  аз  ауытқу 
бұрыштары  үшін  зерттеу.Таяқша  маятниктің  тербеліс  периодының  таяқшаның  іліну 
нүктесінен  массалар  центріне  дейінгі  аралыққа  тәуелділігінің  эксперименттік  нәтижесін 
теориялық  заңдылықпен  салыстыру.  Өлшеулер  нәтижесін  пайдаланып  ауырлық  күшінің 
үдеуін есептеу. 
 
6.2. Теориялық кіріспе.  
Физикалық  маятник  деп  ауырлық  центрінен  (массалар  центрінен)  өтпейтін, 
қозғалмайтын горизонталь өске бекітілген және сол өске қатысты еркін тербеле алатын 
кез-келген қатты денеі айтады. 

49 
 
Орнықты тепе-теңдік күйінде физикалық маятниктің О іліну нүктесі  және С массалар 
центрі арқылы өтетін түзу вертикаль бағытталады. 
Массасы  m  маятникті  тепе-теңдік  қалпынан  αбұрышқа  ауытқытып  жіберсек,  онда  ол 
массалар центріне түсірілген ауырлық күшінің құраушысының әсерінен тербелмелі қозғалыс 
жасайды. (6.1-сурет) 
 
F = -mg sin .                                                                          (6.1) 
 
(6.1) теңдеуіндегі “минус” таңбасы ауырлық күшінің құраушысының αбұрышының өсу 
жағына қарама-қарсы бағытталғанын көрсетеді.  
Ауырлық күшінің құраушысының О айналу өсіне қатысты моменті:              
   M = -mgasin  
                                                                 (6.2) 
 
Мұндағы а – О іліну нүктесінен С массалапр центріне дейінгі қашықтық. 
Физикалық  маятниктің  қозғалыс  теңдеуінің  (моменттер  теңдеуінің)  айналу  өсіне 
проекциясын мына түрде жазуға болады   
 
 
sin
2
2
mga
dt
d
I
 
                                                   (6.3) 
 
Мұндағыт I – маятниктің айналу өсіне қатысты инерция моменті; 
  m- маятниктің массасы. 
Егер ауытқу бұрышы болымсыз аз болса (
5
0
),  онда sin
 деп, әрі 
2
0
I
mga
                                                   
              (6.4) 
арқылы белгілеп, (6.3) физикалық маятнигінің қозғалыс теңдеуін мына түрге келтіруге 
болады: 
 
0
2
0
2
2
dt
d
.                               
 
             (6.5) 
 
Берілген  дифференциялдық  теңдеудің    шешімі  мына  түрде  периодты  функция  болып 
табылады:  
 

50 
 
0 
cos
0
t
0
) 
 
                                         (6.6) 
 
мұндағы 
0 
–  тербелістің  бұрыштық  амплитудасы  (радианмен  берілген); 
0
t
0
  – 
тербелістің бастапқы фазасы, 
Енді 
0
 деп енгізген шаманың физикалық мағынасын түсіндірейік. 
Егер  маятникті 
0   
бұрышқа  бұрып,  бастапқы  жылдамдықсыз  ақырын  қоя  берсек, 
бастапқы шарт t=0 болғанда  =0,  =
0  
болады. 
Олай болса (6.6) теңдеуін мына түрде жазуға болады: 
0 
cos
0
t 
Косинус  периодты  функция  болғандықтан  (периоды  2 -ге  тең)  (6.6)  теңдеуді  мына 
түрге жазуға болады 
0 
cos
0
t 2 n) 
)
2
(
cos
0
0
0
n
t
 . 
Мұндағы  n=0,1,2…-тербелістер  саны, 
0
2
-  толық  бір  тербеліске  кеткен  уақыт,  ол 
тербеліс периоды деп аталады 
 
mga
I
T
2
2
0
 .                                                                       (6.7) 
 
Егер 1 секундтағы тербеліс санын  деп белгілесек, онда 
T
1
,  ал 
2
2
0
T
, 
мұндағы 
0
 – дөңгелек  (циклдік)жиілік  деп аталады, ол әрбір  2   секундтағы тербеліс санын 
көрсетеді. 
(6.7) формуланы математикалық маятниктің периодын анықтайтын формуламен 
 
g
l
T
0
0
2
 
 
                                                        (6.8) 
 
салыстырып мынадай қорытынды жасауға болады:ұзындығы 
 
 
ma
I
l
0
  
 
                                                     (6.9) 
 
математикалық  маятниктің тербеліс периоды берілген физикалық  маятниктің тербеліс 
периодымен бірдей.  

51 
 
l
0 
–шамасы физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы деп аталады.. O іліну нүктесі 
мен  С  массалар  центрі  арқылы  өтетін  түзудің  бойында  жататын,  әрі  іліну  нүктесінен  l
0 
қашықтықтағы O
 
нүктесі (6.1 -сурет)теңселу центрі деп аталады. 
 
Гюйгенс-Штейнер теоремасы бойынша  
 
I=I
0
+ma
2
 
                                                                          (6.10) 
 
мұндағы  I
0
–айналу  өсіне  параллель  және  маятниктің  массалар  центрі  арқылы  өтетін 
өске  қатысты  дененің  инерция  моменті.    (6.10)  өрнегін  (6.9)  формулаға  қойып,  физикалық 
маятниктің келтірілген ұзындығын анықтауға болады: 
 
ma
I
a
ma
ma
I
l
0
2
0
0
                                                           (6.11) 
 
Бұдан байқайтынымыз, әрқашан теңселу центрі массалар центрінен төмен жатады. 
Физикалық маятниктің теңселу центрінің негізгі ерекшелігі сол, егер осы центр арқылы 
өтетін  өске  маятникті  ілсек  тербеліс  периоды  өзгермейді.  Сонымен,  іліну  нүктесін  теңселу 
центріне  ауыстырғанда,  әуелі  іліну  нүктесі  теңселу  центрі  болып  табылады,  яғни  іліну 
нүктесі  мен  теңселу  центрі  қайтымды.  Берілген  жұмыста  физикалық  маятник  ретінде 
ұзындығ l=1050 мм жіңішке таяқша алынған. Таяқшаға массасы  m
1
  қырлы  ілгіш кигізілген. 
Қырлы ілгіштің массасы (m
1
) таяқшаның массасынан әлдеқайда кіші (m
1
< және ол іліну 
нүктесіне  өте  жақын  орналасқан.  Сондықтан  оның  массасының  маятниктің  іліну  нүктесі 
арқылы өтетін өске қатысты инерция моментіне  әсерін шамамен  ескермеуге болады. Олай 
болса (6.10)өрнегін мына түрде жазуға болады: 
2
2
12
1
ma
ml
I
   
                                                       (6.12) 
 
(6.12) өрнегін (6.7) формулаға қоямыз, одан шығатыны- 
 
mga
I
g
a
T
0
2
                                                                    (6.13) 
 
Бұдан,  егер  іліну  нүктесі  таяқшаның  массалар  центрімен  сәйкес  келсе  (a=0),онда 
маятниктің  тербеліс  периоды  шексіздікке  ұмтылады  да,  маятник  кез-келген  күйде  тепе-
теңдікте болады.