§ 2. П РИ М ЕН ЕН И Е ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОП

В задачах 1185 — 1197 найти наибольшие и наименьшие значение 
данных функций в указанных интервалах.
1185. у = x k — 2х° - f 5; 
[— 2, 2].
ч'і 1186. у  = х  -|- 2 V x ; 
[0, 4].
1187. у = х*—  5лг4-f-5лг3-f- 1; 
[— 1, 2].
•
ч11188. у = х 3 — Зх- -|—
6-лг — 2; 
[— 1, 1).
1189. y = V l O 0 — х- 
( ~ 6 ^ х ^ 8).
1191. j' = ^ 4
(0 * S X * S 4 ).
'41192. у =  
(0 < > < 1) 
( а > 0, t > 0).
1193. у  — sin 2jc — х 
^
1194. j/ = 2 tg je — tg2x
1195. у = лг* 
(0,1 sg: х  
со).
1196. у  —
(х'“ — 2х)'2 
(0 ^
3).
1197. у = arctg 
(0 < д г ^ 1 ).
Н е р а в е н с т в а
В задачах 1198— 1207 доказать справедливость неравенств.
1198. 2 V x  > 3 — — 
( j c >
1)^
1199.  1 -j-* 
(х ф  0).
1200. х  > 1и (1 -j- .v) 
(.v > 0).
1201. 1иj c > 2^ _ Г н , _. (* > !) •
1202. 2х arctg х 3^ In (1 -|- х-).
1203. 1 —
|—
х  In {х  -j- V 1 Ң—
х*) 2=5 V l  Н" X"4.
1204. 1п(1 +
(х > 0).
1205. sin 
jc
<
jc
—
(-v>0).
1206. sin -v —
{—
tg jc 2> 2л' 
(o <1 * <1 -£) •
1207. ch лг > 1 -j- -y- 
(
jc
^ 0).
86 
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ Ф УН КЦ И Я И ИХ ГРАФИКО В

§ 2. П Р П М Е Н П Н И Ғ П П Р В ^ П П Р О І П В О Д Н О Й
87
3 а да ч п на о т ы с к а и г е и а и б о л ь ш и х 
и и а и м е н ь ш и х з п а ч е и и Н ф у и к ц и й
1208. 
Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их 
кубов была наименьшей.
1200. 
Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему 
числом, дает наименьшую сумму?
1210. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их 
квадратов была наименьшей.
1211. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был 
бы равен 72 с,и\ причем стороны основания относились бы, как 1 :2. 
Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность 
была наименьшей?
1212. Из углов квадратного листа картона размером 18 
см%
нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунк­
тирным линиям (рис. 29), получить коробку наибольшей вместимости. 
Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?
1213. Решить предыдущую задачу для прямоуголь­
ного листа размером 8 X 5 см'2.
1214. Объем правильной треугольной призмы равен г;.
Какова должна быть сторона основания, чтобы полная 
поверхность призмы была наименьшей?
1215. Открытый чан имеет форму цилиндра. При 
данном объеме v каковы должны быть радиус основа­
ния и высота цилиндра, чтобы его поверхность была 
наименьшей?
1216. Найти соотношение между радиусом R и вы­
сотой Н  цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную 
поверхность.
1217. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, 
равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем 
был наибольшим?
1218. Из круга вырезан сектор с центральным углом а. Из сектора 
свернута коническая поверхность. При каком значении угла а объем 
полученного конуса будет наибольшим?
1219. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы 
должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением 
этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?
1220. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Какова 
должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного враще­
нием этого треугольника вокруг высоты, опущенной па основание, был 
наибольшим?
1221. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно 
вписать в шар радиуса R.
1222. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно 
вписать в шар радиуса R.
Рис. 29,

88
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ
1223. Дождевая капля, начальная масса которой ///0, падает под дей­
ствием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы про­
порциональна времени (коэффициент пропорциональности равен к). Через 
сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет 
наибольшей и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
1224. Рычаг второго рода имеет точку опоры в Л; в точке В  
(А В  = а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага равен к. 
Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р  уравновешивался 
наименьшей силой? (Момент уравновешивающей силы должен равняться 
сумме моментов груза Р  и рычага.)
1225. Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны 
кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/час расходы 
на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зави­
сящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости 
парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? 
Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
1226. Три пункта А, В и С расположены так, что /_ A B C = 60°. 
Из пункта Л выходит автомобиль, а одновременно из пункта В  — поезд. 
Автомобиль движется по направлению к В  со скоростью 80 км/час, 
поезд — по направлению к С со скоростью 50 км/час. В какой момент 
времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем 
будет наименьшим, если Л£ = 200 км?
1227. На окружности дана точка Л. Провести хорду В С  парал­
лельно касательной в точке Л так, чтобы площадь треугольника A BC  
была наибольшей.
1228. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, впи­
санного в полуокружность радиуса R.
1229. В данный сегмент круга вписать прямоугольник наибольшей 
площади.
1230. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема 
(плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать).
1231. Найти высоту прямого круглого конуса наименьшего объема, 
описанного около шара радиуса R.
1232. Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей 
боковой поверхности, описанного около данного шара.
1233. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного тре­
угольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треуголь­
ник круга был наибольшим?
1234. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около 
полушара 
радиуса 
R (центр 
основания 
конуса лежит в центре 
шара).
1235. Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар ра­
диуса R, для того чтобы его боковая поверхность была наибольшей?
1236. Доказать, что конический шатер данной вместимости требует 
наименьшего количества материи, когда его высота в 
V
2 раз больше 
радиуса основания.

<і 2. П РИ М ЕН ЕН И Е ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
89
1237. Через данную точку Р (  1, 4) провести прямую так, чтобы 
сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных 
осях, была наименьшей.
1238. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписан-
л:2 
у~
НОГО В ЭЛЛИПС —з--4-тз-=1.
а- 1
0-
1239. Найти наименьший по площади эллипс, описанный около дан­
ного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и Ь равна %ab).
х- 
у-
1240. Через какую точку эллипса —
^
= 1 следует провести
касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой каса­
тельной и осями координат, была наименьшей?
1241. На эллипсе ‘2хі -\-уі —  18 даны две точки /1( 1, 4) и В ( 3, 0). 
Найти на данном эллипсе третью точку С такую, чтобы площадь 
треугольника A BC  была бы наибольшей.
1242. На осп параболы у- = 2рх дана точка на расстоянии 
а от
вершины. Указать абсциссу х  ближайшей к пей точки 
кривой.
1243. Полоса железа шириной а должна быть 
согнута в 
виде
открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги 
кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося 
на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей.
1244. Бревно длиной в 20 м имеет форму усеченного конуса,
диаметры оснований которого равны соответственно 2 и 1 м. Тре­
буется вырубить пз бревна балку с квадратным поперечным сечением, 
ось которой совпадала бы с осыо бревна и объем которой был бы 
наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?
1245. Ряд опытов привел к п различным значениям х и х.ъ ..., хп 
для исследуемой величины А. Часто принимают в качестве значения А 
такое значение х, что сумма квадратов отклонений его от л'ь Х о ,...,х п 
имеет наименьшее значение. Найти х, удовлетворяющее этому требо­
ванию.
1246. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; 
с 
миноносца нужно 
послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, 
считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь рас­
положен па берегу). Если гонец может делать пешком но 5 км/час, 
а на веслах по 4 км/час, то в каком пункте берега он должен пристать, 
чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
1247. Прямо над центром круглой площадки радиуса R нужно пове­
сить фонарь. На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наилучшим 
образом освещал дорожку, которой обведена площадка. (Степень освещения 
некоторой площадки прямо пропорциональна косинусу угла падения лу­
чей н обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)
1248. На отрезке длиной I, соединяющем два источника света силы 
1\ и /о, найти наименее освещенную точку.
1249. Картина в 1,4 м высотой повешена на стену так, что ее нижний 
край па 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии or стены

90
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
должен стать наблюдатель, чтобы его положение было иапболее благо­
приятным для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения был наибольшим)?
1250. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости, должен 
быть сдвинут приложенной к нему силой Ғ. Сила трения пропорцио­
нальна силе, прижимающей тело к плоскости, и направлена против сдви­
гающей силы. Коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) 
равен к. Под каким углом ср к горизонту надо приложить силу Ғ, чтобы 
величина ее оказалась наименьшей? Определить наименьшую величину 
сдвигающей силы.
1251. Скорость течения воды по круглой трубе прямо пропорцио­
нальна так называемому гидравлическому радиусу R , вычисляемому
по формуле R = — , где S’— площадь сечеиия потока воды в трубе,
а р — смоченный (подводный) периметр сечения трубы. Степень запол­
нения трубы водой характеризуется нейтральным углом, опирающимся 
на горизонтальную поверхность текущей воды. При какой степени запол­
нения трубы скорость течения воды будет наибольшей? (Корни полу­
чающегося при решении задачи трансцендентного уравнения найти гра­
фически.)
1252. На странице книги печатный текст должен занимать S’ квадрат­
ных сантиметров. Верхнее и нижнее поля должны быть по а см, правое и 
левое — по b см. Если принимать во внимание только экономию бума­
ги, то какими должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
1253*. Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота Н, 
наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть 
радиус шара, чтобы объем воды, вытесненной из воронки погруженной 

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: