§ 5. Повторное дифференцирование

§ 5. ПОВТОРНОЕ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е
77
Ф у н к ц и и , з а д а н н ы е в н е я в н о м в иде
1056. Ь2х 2 + а2у 2 = а2Ь2\ 
= ?
1057. х 2+ У = г2; § = ? 
1058. _у = tg (х ~Ку); 0 = ?
1059. s = l + /е*; ~ = ? 
1060. у 3 -}- х 3 - Залу = 0; у " = ?
1061. у = sin (х + у); У = ? 
1062. ’ = Ху; у " = ?
1063. Вывести формулу для второй производной функции, обратной 
данной у = / (х ).
1064. e-v -j- ху — е; найти у " (х ) при х  = 0.
ляп
1065. у 2 = 2рх; определить выражение k
к =
]/(1 + у
2)3 *
1066. Убедиться в том, что из y 2-\-x2 = R 2 следует /с = 
где 
I/ '
|/(1+уа)3 *
1067. Доказать, что если
ах2 + ‘2Ьху + су2 -f 2gx + 2fy 4 - Һ = 0,
то
4У _
flJg + 6j>+g 
О _
A
dx 
Ьх
-f- 
су
- f / 
dv2 
(^a:-|-6^-|-/)3 ’
где A — постоянная (не зависящая от х  и у).
V
1063. Доказать, что если (а-\-Ьх) ех = х, то
d2v 
( dy
х
і
* = [ * Т
х
-
у
Ф у н к ц и и, з а д а н н ы е п а р а м е т р и ч е с к и
1069.
C
I 
'
С2
II
Ц
V = Ы3;
d2.* 
р
dy® —
1070. х — a cos t,
у  = a sin /;
II •-U
1071. х — a cos t,
у  = b sin /;
Лл'а
1072. х — а (ср 
—
sin ср), у = а ( 1 — cos fp);
ri2j» 
о 
d x *
1073. 1) х = a cos3/,
у  = a sin3 /;
«X
! 
^
'«
ІЧ
Г
II
2) х — a cos2/,
у = а sin2/;
ru
II
^ 
i чЗ

1074. 1) лг = In t, 
v = f2 — 1; 
$ £ = ?
2) 
лг = arcsin _y = l n ( l — z!-); 
^ - = ?
1075. je=«^cos£, 
y = a£sintf; 
^ 4 - = ?
'
с/л-
1076. Доказать, что функция y = f ( x ) ,  заданная параметрическими 
уравнениями у = е‘ cos t, х = el sin t, 
удовлетворяет соотношению 
У " {х -j- у)- =  2 (х /  — у).
1077. Доказать, что функция у = /(х), заданная параметрически 
уравнениями у = 3t — і л, x = 3t'\ удовлетворяет соотношению
36/' ( у — ] / % ? ) = х -f 3.
1078. Доказать, что функция, заданная параметрически уравнениями
ЛГ = sin 
у =  sin kt, 
удовлетворяет соотношению
1079. Доказать, что если
л* = / (t) cos t — / '(t) sin t, 
y = f { t ) sin t -f- f (I) cos t,
TO
ds- = dx2 -J- dy1 =  [/ (0 -]- f "  (Oj- dt\
У с к о р е н и е л в п ж e н и я
1080. Точка движется прямолинейно, причем 
— t -j- 5. Найти
ускорение а в конце второй секунды (s выражено в метрах, t — 
в секундах).
1081. Прямолинейное движение происходит в соответствии с фор­
мулой s = t- — 4t 
1.
Найти скорость и ускорение движения.
2 
~t
1082. Точка движется прямолинейно, причем s =
sin 
-j- % Найти 
ускорение в конце первой секунды (s выражено в см, t — в сек).
1033. Точка движется прямолинейно, причем s = V ^ . Доказать, что 
движение— замедленное и что ускорение а пропорционально кубу ско­
рости 
V.
1084. Тяжелую балку длиной 13 м спускают на землю так, что
нижний ее конец прикреплен к вагонетке (рис. 28), а верхний удержи­
вается канатом, намотанным на ворог. Канат сматывается со скоростью
2 м/мин. С каким ускорением откатывается вагонетка в момент, когда 
она находится на расстоянии 5 м от точки О?
78 
ГЛ. III. ПРОІІЗВОДНЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 5. ПОВТОРНОЕ Д ИФ Ф ЕРЕНЦ И РО ВА Н И Е
79
1085. Баржу, палуба которой на 4 м ниже уровня пристани, под­
тягивают к ней при помощи каната, наматываемого на ворот со ско­
ростью 2 м/сек. С каким ускорением движется баржа в момент, когда 
она удалена от пристани на 8 м (по горизонтали).
1086. Точка движется прямолинейно так, что скорость ее изменяется 
пропорционально квадратному корню пз пройденного пути. Показать, что 
движение происходит под действием постоянной силы.
1087. Дано, что сила, действующая на материальную точку, обратно 
пропорциональна скорости движения точки. Дока­
зать, что кинетическая энергия точки является 
линейной функцией времени.
Ф о р м у л а Л е й б н иц а
1088. Применить формулу Лейбница для вы­
числения производной:
1) [(дг2-|-l)s in x J(‘:o); 
2) (e^sin х )(Л);
3) („г* sin ах)(п\
1089. Показать, что если у = (1 — х)~яе~ах, то
dy
Применив формулу Лейбница, показать, что
(1 _ Х) у ія+1) _ (/г _|_ а;с) / " ) _ „а / "- 1) = 0.
1090.
Функция у = е* arcsi" х удовлетворяет соотношению 
(1 
— х*)у"—
— ху' — сгу = 0 (см. задачу 
1051). 
Применив формулу Лейбница и диф­
ференцируя это равенство п раз, показать, что
(1 — x-)y(nvl) — (2п 
1) ху(п*1) — (м3 -|- а-)у(п) =  0.
1091. Показать, что
(enx cos bx)(n) = r!leax cos (Ьх -]- /;?), 
где 
r = Va~-\-b\ 
=
Используя формулу Лейбница, получить следующие формулы: 
г" cos но = а'1 — Cfan~-b- -j- Cflan"ibi — ...,
г" sin щ = C)an~ib — C y - W  -j- C y i 
— ...
l
Xя-1* * ) 
= ( - 1 Г^пТГ-
1093. 
Показать, что функция у =  arcsin х  удовлетворяет соотноше­
нию ( 1— х ‘)у " = ху'. Применяя к обеим частям этого уравнения фор­
мулу Лейбница, найти у (,1) (0) (// ^ 2).
1092. Доказать, что

1094. Применяя формулу Лейбница п раз, показать, что 
у  = cos (/я arcsin х) удовлетворяет соотношению
(1 _ * 2)/л+2>
_ (2П - f 1) х / " +1>
+ (Art2 — П~)у^ =  0.
1095. Если у =  (arcsin х)2, то
(1 _ х 2)у«+ 1) _ ( 2я _ 1) х У ">— ( « — l)2/ n-1) = 0. 
Найти У (0), /'(0 ), 
j/<” >(0).
Д и ф фе р е н ц и алы в ы с ш и х п о р я д к о в
1096. у  = У х2; dry —  ? 
1097. у = х т ; dAy =  ?
1098. у  = (х-|- 1 ):| (х — 1 У’; d y =  ? 
1099. у — 4~v"; d*y
1100. у =  arctg 
tg x j ; d y = ?  
1101. у = V hr x — 4;
1102. у  = sin2 x; d:' y = ?  1103. p2 cos:i ? — a2sin:t cp = 0; dy -
l
l
2
1104. x 3 
у  3 = я 3; d y = ?
1105. y =  hi j ~ 
; x = tg t\ выразить d*y через: 1) j
2) t и dt.
1106. у =  sin z\ z =  a v; х = Р\ выразить d y  через: 1)
2) x и dx, 3) t и dt.
80 
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ
функция
-
?
d.-y =  ? 
■
? 
и dx, 
и dz,