§ 3. Применение второй производной

92
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ! ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКО В
1276. При каком значении а функция
/(х) = a sin л; -j- -у sin Зх
имеет экстремум при х = ~/3? Будет ли это максимум или минимум?
1277. Найти значения а и Ь, при которых функция
имеет экстремумы п точках Х\ =  1 и х.> = 2. Показать, что при этих 
значениях а и Ь данная функция имеет минимум в точке Х\ и максимум 
в точке х2.
1278. Выяснить, выпукла или вогнута линия у = х "л— 5х:|— 1
3О 
в окрестностях точек ( 1, 11) и (3, 3).
1279. Выяснить, выпукла или вогнута линия у  = arctg х в окрест­
ностях точек ( 1, ^г/4) и (— 1, — -/-1).
1280. Выяснить, выпукла или вогнута линия у = х'-1п х в окрестностях 
точек ( 1, 0) и (1 /1281. Показать, что график функции у = х arctg х везде погнутый.
1282. Показать, что график функции у = 1п(х2— 1) везде выпуклый.
1283. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде 
вогнутый, то эта функция не может иметь более одного экстремума.
1284. Пусть Р (х )— многочлен с положительными коэффициентами 
и четными показателями степеней. Показать, что график функции 
у = Р  (х) 
ах -j- b везде вогнутый.
1285. Линии у = о (х) и у = <Ь(х) вогнуты на интервале {а, Ь).
Доказать, что на данном интервале: а) линия у =  ср (х) 
^ (х) вогнута;
б) если ср(х) и ^(х) положительны и имеют общую точку минимума, 
то линия у  = ср(х)^(х) вогнута.
1286. Выяснить вид графика функции, если известно, что в интер­
вале (а, b):
В задачах 1287— 1300 найти точки перегиба и интервалы вогну­
тости и выпуклости графиков данных функций.
у = а In х -f- bx- -\- х
В ы п у к л о с т ь, в о г н у т о с т ь , т о ч к и п е р е г и б а
1) У > 0, / > 0, у" < 0; 
2) у > 0, У < 0, / ' > 0;
3) J '< 0 , / > 0 , у " > 0 ; 
4) у > 0 , У < 0 , У '< 0 .
1287. у =  х 3 — 5х- -{- Зх — 5. 
^ 1288. у  = (х + 1)4 + е*.
1289. у =  х 4 — 12х3 -j- 48х2 — 50.
1290. у = х -|- 36х2 — 2х3 — х 4. 1291. у = Зх5 — 5х4 -|- Зх — 2.
1292. у = ( х +  2)4-2-^ + 2. 
1293. 
х, ^ 3да- (а > 0)-

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: