§ 4.  ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШ ЕН И Е УРАВНЕНИ Й

100
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИ КО В
В задачах 1478— 1481 исследовать и построить линии, предвари­
тельно приведя их уравнения к полярным координатам.
1478. ( * * + / ) * = 4аV y * . 
1479. ( х * у * ) х = а*у.
1480. x*- {-/ = a2(x'2- f / ). 
1481. 
( j c*
-j-j>») (лс»— y*)* = 4x*y*
Р е ш е н и е у р а в н е н и й
1482. Проверить, что уравнение х 3 — х 9— 8х-}-12 = 0 имеет один 
простой корень Х\ = — 3 и один двукратный корень х2 = 2.
1483. Проверить, что уравнение x i -j- 2х*— Зх'2 — 4x-f-4 = 0 имеет 
два двукратных корня Х\ —  1 и х 2 = — 2.
1484. Убедиться в том, что уравнение х arcsin х = 0 имеет только 
один действительный корень х = 0 и притом двукратный.
1485. Показать, что корни уравнения x s in x = 0 имеют вид у = /гк 
(k = 0, z t l, i t 2, ...), причем значению/г = 0 соответствует двукратный 
корень. Какова кратность остальных корней?
1486. Показать, что уравнение х 3— Зх2 -}- б х — 1 = 0 имеет един­
ственный действительный простой корень, принадлежащий интервалу (0,1), 
и найти этот корень с точностью до 0,1, пользуясь методом проб.
1487. Показать, что уравнение х* -{- Зх2 — х — 2 = 0 имеет два 
(и только два) действительных простых корня, принадлежащих соответ­
ственно интервалам (— 1, 0) и (0, 1). С помощью метода проб найти 
эти корни с точностью до 0,1.
1488. Показать, что уравнение /(х) = а ^ 0 , где /(х ) — многочлен 
с положительными коэффициентами, показатели степеней всех членов 
которого нечетны, имеет один и только один действительный корень 
(который может быть и кратным). Рассмотреть случай, когда а = 0. 
Найти с точностью до 0,01 корень уравнения х 34~ З х — 1= 0, комби­
нируя метод проб с методом хорд.
1489. Доказать теорему: для того чтобы уравнение х 3 -j- рх -f- q = 0
имело три простых действительных корня, необходимо и достаточно, 
чтобы коэффициенты р и q удовлетворяли неравенству 
—
|—
27г/2<^0.
Найти с точностью до 0,01 все корни уравнения х 3 — 9х-}-2 = 0, ком­
бинируя метод проб с методом хорд.
1490. Показать, что уравнение х*-|-2х8 — б х -|-2 = 0 имеет два 
(и только два) действительных простых корня, принадлежащих соответ­
ственно интервалам (0, 1) и (1, 2). Комбинируя метод хорд с методом 
касательных, найти эти корни с точностью до 0,01.
1491. Показать, что уравнение x s-}-5x-f- 1 = 0 имеет единственный 
действительный простой корень, принадлежащий интервалу ( — 1, 0), и 
найти этот корень с точностью до 0,01, комбинируя метод хорд с ме­
тодом касательных.
В задачах 1492— 1497 приближенные значения корней уравнения 
следует находить комбинированием трех методов: метода проб, метода 
хорд и метода касательных. (При необходимости следует пользоваться 
таблицами значений функций, входящих в уравнение.)

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: