Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 5. Формула Тейлора и ее применение
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 5. Формула Тейлора и ее применение Ф о р м у л а Т е й л о р а для м н о г о ч л е н о в 1498. Разложить многочлен х 1 — 5л3 -[- х2— Зх-}-4 по степеням двучлена х — 4. 1499. Разложить многочлен х'л -]- Зх~— 2x~f-4 по степеням дву члена х-}- 1. 1500. Разложить многочлен х 10— 3x5-f-1 по степеням двучлена х — 1. 1501. Функцию /(х ) = (х3— Зх — }— 1 ),J разложить по степеням х, пользуясь формулой Тейлора. 1502. / ( х ) — многочлен четвертой степени. Зная, что /(2) = — I, f (2) = 0, Г (2) = 2, /"' (2) = — 12, / ‘V (2) = 24, вычислить / ( — 1), f (0), Г О ) . Ф о р м у л а Т е й л о р а 1503. Написать формулу Тейлора п-го порядка для функции У = ~ при х0 = — 1. 1504. Написать формулу Тейлора (формулу Маклорена) н-го порядка •для функции у — хех при хо = 0. 1505. Написать формулу Тейлора «-го порядка для функции у — V x при х0 = 4. 102 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКО В 1506. Написать формулу Тейлора 2п-го порядка для функции сх 4- е~х = 0. У — -- 2--- ПРН -Vo 1507. Написать формулу Тейлора я-го порядка для функции у = х ‘л In х при Л"0 == 1. 1508. Написать формулу Тейлора 2я-го порядка для функции у = sin2 JC Iipil Л'о = : 0. 1509. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у = -^ —1 при Л'0 = 2 и построить графики данной функции и ее много- члена Тейлора 3-й степени. 1510. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции у — tg„v при .v0 = 0 и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 2-й степени. 1511. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у ==■ arcsin х при Л'0 = 0 и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 1512. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции = у х при л'о= 1 и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 1513*. Доказать, что число 0 в остаточном члене формулы Тейлора 1-го порядка / (а + Һ) = / (а ) + h f (a) + (а + Щ стремится к 1/3 при li-> 0, если f " { x ) непрерывна при х — а и Г ( а ) ф 0. Н е к о т о р ы е п р и м е н ен и я ф о р м у л ы Т е й л о р а В задачах 1514— 1519 выяснить поведение данных функций в указан ных точках. 1514. у — 2хй — х'л -[- 3 в точке х = 0. 1515. у = д:11 — {- Зл*с -j- 1 в точке л = 0. 1516. у = 2 c o s х -|- X 2 в точке х — 0. 1517. >' = 0 1n.v — 2хл 9jc2— 18л" в точке лг=1. 1518. у = 6 sin -V -}- х 2 в точке л* = 0. 1519. у = 242х~ — Ах* — x l — 20 в точке х = 0. 1520. f ( x ) ~ x U)— Зл-0 -[- х~ -{- 2. Найти первые три члена разложе ния но формуле Тейлора при х 0= 1. Подсчитать приближенно /(1,03). 1521. f ( x ) = x H— 2х"‘ -f- 5дги — х -|- 3. Найти первые трп члена раз ложения по формуле Тейлора при Л'(, = 2. Подсчитать приближенно /(2,02) и /(1,97). ' 1522. f (x) = x*{' — д*‘° Л"°. Найти первые трп члена разложения / (л*) по степеням х — 1 и найти приближенно /(1,005). 1523. f(x ) = x s— охл~{-х. Найти первые три члена разложения по степеням х — 2. Вычислить приближенно / ( 2, 1). Вычислить /(2,1) точно и найти абсолютную и относительную ошибки. 1524. Проверить, что при вычислении значений функции ех при 0 х ^ 1 /2 по приближенной формуле + * + т + т допускаемая погрешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти \/~е с тремя верными цифрами. х3 1525. Пользуясь приближенной формулой ех ^ 1 -j- х ү , найти 1 jyrz и оценить погрешность. \/ е 1526. Проверить, что для углов, меньших 28°, ошибка, которая • V3 X* получится, если вместо sinx взять выражение х — g f h g f » будет меньше 0,000001. Пользуясь этим, вычислить sin 20° с шестью верными цифрами. 1527. Найти cos 10° с точностью до 0,001. Убедиться в том, что для достижения указанной точности достаточно взять соответствующую формулу Тейлора 2-го порядка. 1528. Пользуясь приближенной формулой у 2 »/»3 In (1 4- х) *** X — ү -j- ~ — - J, найти In 1,5 и оценить погрешность. жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|