ПӘндердің ОҚУ-Әдістемелік кешені
Поляр координаттарындағы аудан
жүктеу/скачать 2,26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 19.20. ДӘРІС. Анықталған интегралдың кейбір физикалық және механикалық қолданулары.
- . Қисық доғасының ауданын табу
- Анықтама .
- Салдар .
- Ескерту .
- А нықталған интегралдың көмегімен айналу денесінің көлемін табу
Поляр координаттарындағы аудан Жазықтықтағы кейбір қисықтарды полярлық деп аталатын координаталар жүйесінде қарастырған қолайлы. Жазықтықта декарттық координаталар жүйесі берілсін. нүктесінен нүктесіне дейінгі қашықтықты осы нүктенің полярлық радиусы деп аталады. Полярлық өс пен
және сандарына мынадай шектеулер қолданылады. 
(немесе 19.20. ДӘРІС. Анықталған интегралдың кейбір физикалық және механикалық қолданулары. нүктесінің декарттық және полярлық координаталарының арасындағы байланыс келесі теңдіктің көмегімен анықталады 
Координат төбесінен шығатын сәулелермен  және  (мұндағы  ) және теріс емес  функциясының  кесіндідегі үзіліссіз графигімен шектелген жазықтықтағы облысын қисықсызықты үшбұрыш деп атаймыз (7 сурет).
         
кесіндісін бөлікке бөліп және әрбір бөліктегі қисық сызықты үшбұрыштың ауданы  , радиусы  , бұрышы болатын дөңгелек сектордың ауданына ауыстыра отырып келесі жуықтау формуласын аламыз
 .
Мұндағы қосынды Соңғы теңдікте  -дің ең үлкені 0-ге ұмтылғанда қисықты үшбұрыштың ауданы ретінде келесі өрнекті аламыз:
 .
. Қисық доғасының ауданын табу Жазықтықта  ,  үзіліссіз дифференциалданатын функцияның графигімен берілген ұштары және нүктелерінде болатын қисығын қарастырайық. Осы қисықты бөлікке бөлеміз.  ,  - нүктесінің координаталары 
 ,  (9 сурет).
Төбелері таңдап алынған нүктелерде жататын қисығына іштей сызылған сынықтың ұзындығын деп белгілейміз:  .
Анықтама.  - дің ең үлкені 0-ге ұмтылғандағы қисыққа іштей сызылған сынықтың ұзындықтарының қосындысының шегі қисығының ұзындығы деп аталады.
Оны  .
Қисықтың ұзындығы болатын болса (егер жоғарғы шек бар болса), онда оны түзуленетін қисық деп атаймыз. Теорема. Түзуленетін функциясының  -да үзіліссіз дифференциалданатын графигі және оның ұзындығы мына формула арқылы анықталады
 .
Салдар. Үзіліссіз дифференциалданатын параметрлік функция жазықтықта -қисығының көмегімен берілген 
Онда түзуленетін қисықтың және оның ұзындығы мына формула арқылы анықтаймыз  .
Ескерту. Алынған формула кеңістіктегі қисығы үшін де орындалатынын тексеру қиын емес. Егер кеңістіктегі қисығы үзіліссіз дифференциалданатын параметрлік функциялар арқылы берілсе 
онда ұзындығы мына формуламен табылады.  .
2 салдар. Айталық қисығы полярлық координата үзіліссіз дифференциалданатын теріс емес ( ) функциялармен берілсін. Бұл түзуленетін қисық және оның ұзындығы былай табылады:
 .
Анықталған интегралдың көмегімен айналу денесінің көлемін табу жүктеу/скачать 2,26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
оң жарты осін полярлық ось деп, ал нүктесін полюс деп атаймыз. нүктесі – жазықтықтағы кез келген нүкте болсын.
векторының арасындағы бұрышты арқылы белгілейміз. және сандары нүктесінің полярлық координаттары деп аталады (6 суретті қара).
). 
функциясы үшін интегралдық қосынды болып табылады. 
арқылы белгілейміз.