Перспектива и проективная геометрия
Принцип двойственности для поляр
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Принцип двойственности для полярРассмотрим две точки А и В, гармонически разделяющие концы хорды МР. Будем называть точки А и В сопряженными относительно окружности. Пусть прямые а и b – поляры точек А и В соответственно. Поляра точки А проходит через точку В, а поляра точки В проходит через точку А. Прямые а и b также будем называть сопряженными относительно окружности. Может показаться, что уже доказана главная теорема о полярах: Теорема (принцип двойственности) Если поляра точки А проходит через точку В, то и поляра точки В проходит через точку А. Увы, приведенное рассуждение нельзя считать доказательством. Дело в том, что прямая АВ может не пересекать окружность. В этом случае теорема также верна, но доказательство придется изменить. Заметим, что поляра точки А проходит перпендикулярно прямой ОА через точку А', симметричную точке А относительно окружности, то есть . Это верно независимо от того, где лежит точка А, внутри или снаружи окружности. Пусть В – произвольная точка на поляре а. Проведем из точки А перпендикуляр b к прямой ОВ и покажем, что прямая b является полярой точки В. Для этого достаточно показать, что прямая b пересекает ОВ в точке В', симметричной точке В относительно окружности, то есть что . Это следует из подобия треугольников ОАВ' и ОВА'. Значит, прямая b, проходящая через точку А, является полярой точки В. Это доказательство сохраняет силу при любом расположении точек А и В относительно окружности. Переведя полученный результат на «школьный язык», без использования полюсов и поляр, получаем две достаточно сложные задачи. Пусть А и В – две точки вне окружности. AP, AQ, BM, BN – касательные. Если прямая PQ проходит через точку В, то прямая MN проходит через точку А. Если прямая АВ параллельна PQ,, то прямая MN делит отрезок PQ пополам. Легко видеть, что в одном случае прямые PQ и MN являются полярами точек А и В, а в другом случае прямые АВ и MN являются полярами точек С и В. Таким образом перед нами просто иллюстрации к доказанной теореме. Попробуйте решить эти задачи, используя только факты, известные из школьного курса геометрии. Это возможно, хотя и не очень просто. жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|