Перспектива и проективная геометрия
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Конические сеченияВнимательный читатель мог заметить, что приведенное определение полярного преобразования проективной плоскости не является, мягко говоря, вполне корректным. Главную роль в этом «определении» играет окружность. Но для проективной плоскости не определены понятия расстояния между точками и угла между прямыми. Ведь при центральной проекции не сохраняются ни углы ни расстояния. Значит все рассуждения и доказательства, в которых встречаются биссектрисы, перпендикуляры, окружности, не могут быть использованы в проективной геометрии. Все, что мы можем себе позволить – это сложные отношения точек и прямых, в частности, гармонические четверки. И, прежде всего, необходимо найти проективный аналог окружности. Рассмотрим центральную проекцию окружности на плоскость. Пучок прямых, осуществляющих проекцию, образует коническую поверхность. След, который образует эта коническая поверхность при пересечении с плоскостью и есть центральная проекция окружности. Из евклидовой геометрии известно, что конические сечения бывают трех различных типов: эллипс, парабола, гипербола. С проективной точки зрения никакой разницы между ними нет. Различие состоит лишь во взаимном расположении конического сечения (или, как часто говорят «коники») и бесконечно удаленной прямой. Эллипсом назовем коническое сечение, пересекающее бесконечно удаленную прямую, параболой – коническое сечение, касающееся бесконечно удаленной прямой, и гиперболой – если оно пересекает бесконечно удаленную прямую. Асимптоты гиперболы – это касательные в бесконечно удаленных точках. Поскольку бесконечно удаленная прямая ничем не отличается от любой другой прямой проективной плоскости, то и различия между эллипсом, параболой и гиперболой на проективной плоскости нет. Теперь дадим определение поляры точки относительно произвольного конического сечения. Поскольку при любой проекции гармоническая четверка остается гармонической четверкой, определение не претерпит существенных изменений. Возьмем произвольную точку А на проективной плоскости и проведем через нее все прямые, пересекающие коническое сечение. Будем для каждой хорды МР строить точку В так, чтобы точки АВ,МР образовали гармоническую четверку. Все такие точки лежат на одной прямой, которая называется полярой точки А относительно конического сечения. Действительно, при центральной проекции окружность переходит в коническое сечение, гармоническая четверка – в гармоническую четверку, прямая – в прямую. Для построения поляры можно было бы использовать касательную к коническому сечению, по крайней мере в том случае, когда полюс лежит вне коники, но мы поступим наоборот. Используем независимое построение поляры для того, чтобы провести касательные к коническому сечению. жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|